2019-2020年高中數(shù)學 變量間的相關關系教案 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 變量間的相關關系教案 新人教A版必修3 一、教材分析 本節(jié)知識內容不多，但分析本節(jié)內容，至少有下列特點： 1）知識的聯(lián)系面廣，應用性強，概念的真正理解有難度，教學既要承前啟后，完成統(tǒng)計必修基礎知識的構建；也要知道知識的來龍去脈，提升學生運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，更要抓住本質，正確理解統(tǒng)計推斷的結論。 2）通過典型案例進行教學，使知識形成的過程中具有可操作性，易于創(chuàng)設問題情境，引導學生參與，而學生借助解決問題，通過自主思維活動，會產(chǎn)生感悟、發(fā)現(xiàn)，能提出問題，思考交流，不僅能正確、全面地理解基礎知識和基本方法，而且能促進、發(fā)展學生的統(tǒng)計意識、統(tǒng)計思想。 二、教學目標 1. 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 三、教學重點難點 重點：作出散點圖和根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 難點：對最小二乘法的理解。 四、學情分析 本節(jié)是一種對樣本數(shù)據(jù)的處理方法，但側重的是由樣本推斷總體，其方法是學生初識的、知識的作用也是學生初見的。知識量并不大，但涉及的數(shù)學方法、數(shù)學思想較充分，同時，在教材中留有供發(fā)現(xiàn)的點，設有開放性問題，既具有體驗數(shù)學方法、數(shù)學思想的功能，也具有培養(yǎng)學生從具體到抽象能力、鍛煉創(chuàng)造性思維能力的作用。 五、教學方法 1．自主探究，互動學習 2．學案導學：見后面的學案。 3．新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發(fā)導學案、布置預習 六、課前準備 1．學生的學習準備：預習課本，初步把握必須的定義。 2．教師的教學準備：多媒體課件制作，課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。七、課時安排：1課時 八、教學過程 〖復習回顧〗 標準差的公式為：______________________________________________________ 〖創(chuàng)設情境〗 1、函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數(shù)關系 2、在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題?！卑凑者@種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關系，我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？ 3、“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數(shù)關系嗎？ 〖新知探究〗 思考：考察下列問題中兩個變量之間的關系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？ 一、相關關系： 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系，叫做相關關系。 【說明】函數(shù)關系是一種非常確定的關系，而相關關系是一種非確定性關系。 思考探究： 1、有關法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語。吸煙是否一定會引起健康問題？你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 2、某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒出生率低，于是他得出了一個結論：天鵝能夠帶來孩子。你認為這樣的結論可靠嗎？如何證明這個問題的可靠性？ 分析：（1）吸煙只是影響健康的一個因素，對健康的影響還有其他的一些因素，兩者之間非函數(shù)關系即非因果關系； （2）不對，這也是相關關系而不是函數(shù)關系。 上面提到了很多相關關系，那它們之間的相關關系強還是弱？我們下面來研究一下。 二、散點圖 探究：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)。 思考探究： 1、對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 2、為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？ 在平面直角坐標系中， 表示具有相關關系的 兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖 形稱為散點圖。 3、觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本，這種相關關系我們稱為什么？還有沒有其他的相關關系？它又有怎樣的特點？ 三、線性相關、回歸直線方程和最小二乘法 在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線。 我們所畫的回歸直線應該使散點圖中的各點在整體上盡可能的與其接近。我們怎么來實現(xiàn)這一目的呢？說一說你的想法。 設所求的直線方程為=bx+a，其中a、b是待定系數(shù)。 則i=bxi+a（i=1，2，…，n）.于是得到各個偏差 yi－i =yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n） 顯見，偏差yi－i 的符號有正有負，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應直線在整體上的接近程度，故采用n個偏差的平方和 Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2 表示n個點與相應直線在整體上的接近程度。 記Q= 這樣，問題就歸結為：當a、b取什么值時Q最小，a、b的值由下面的公式給出： 其中=，=，a為回歸方程的斜率，b為截距。 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。 【例題精析】 有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 攝氏溫度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）畫出散點圖； （2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律； （3）求回歸方程； （4）如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)。 解： （4）當x=2時，y=143.063 （四）反思總結，當堂檢測。 1、求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行： （1）計算平均數(shù)，； （2）求a，b； （3）寫出回歸直線方程。 2、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.。 3、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具線性相關關系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的。因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應先作散點圖，在具有線性相關關系的前提下再求回歸方程 教師組織學生反思總結本節(jié)課的主要內容，并進行當堂檢測。 設計意圖：引導學生構建知識網(wǎng)絡并對所學內容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄） （五）發(fā)導學案、布置預習。 完成本節(jié)的課后練習及課后延伸拓展作業(yè)。 設計意圖：布置下節(jié)課的預習作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓練。 九、板書設計 一、相關關系 二、散點圖 三、線性相關、回歸直線方程和最小二乘法 例題講解 小結 十、教學反思 本課的設計采用了課前下發(fā)預習學案，學生預習本節(jié)內容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學生學習過程中易忘、易混點等，最后進行當堂檢測，課后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。 本節(jié)課學習了變量間的相互關系和兩個變量的線性相關,以及最小二乘法和回歸直線的定義,體會了用最小二乘法解決兩個變量線性相關的方法,在解決問題中要熟練掌握求回歸系數(shù)b、a的公式,精確計算.同時,要注意培養(yǎng)學生的觀察分析兩變量的關系和抽象概括的能力 在后面的教學過程中會繼續(xù)研究本節(jié)課，爭取設計的更科學，更有利于學生的學習，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進步! 2.3變量間相關關系 課前預習學案 一、預習目標 1. 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二、預習內容 1.舉例說明函數(shù)關系為什么是確定關系？ 2.一個人的身高與體重是函數(shù)關系嗎? 3. 相關關系的概念： 4. 什么叫做散點圖？ 5.回歸分析，（1）求回歸直線方程的思想方法；（2）回歸直線方程的求法 三、提出疑惑 同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容 課內探究學案 一、學習目標 1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系. 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程，知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 二、學習重難點： 重點：作出散點圖和根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 難點：對最小二乘法的理解。 三、學習過程 思考：考察下列問題中兩個變量之間的關系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎？ （一）、相關關系： 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系，叫做相關關系。 【說明】函數(shù)關系是一種非常確定的關系，而相關關系是一種非確定性關系。 思考探究： 1、有關法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語。吸煙是否一定會引起健康問題？你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 2、某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒出生率低，于是他得出了一個結論：天鵝能夠帶來孩子。你認為這樣的結論可靠嗎？如何證明這個問題的可靠性？ （二）、散點圖 探究：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)。 思考探究： 1、對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 2、為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？ 3、觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本，這種相關關系我們稱為什么？還有沒有其他的相關關系？它又有怎樣的特點？ （三）、線性相關、回歸直線方程和最小二乘法 在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線。 我們所畫的回歸直線應該使散點圖中的各點在整體上盡可能的與其接近。我們怎么來實現(xiàn)這一目的呢？說一說你的想法。 這樣，問題就歸結為：當a、b取什么值時Q最小，a、b的值由下面的公式給出： 其中=，=，a為回歸方程的斜率，b為截距。 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。 【例題精析】 【例1】下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 （1）將上表中的數(shù)據(jù)制成散點圖. （2）你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)溫度與飲料杯數(shù)近似成什么關系嗎? （3）如果近似成線性關系的話，請求出回歸直線方程來近似地表示這種線性關系. （4）如果某天的氣溫是－5℃時，預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù). （四）反思總結 1、求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行： （1）計算平均數(shù)，； （2）求a，b； （3）寫出回歸直線方程。 2、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.。 3、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關關系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的。因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應先作散點圖，在具有線性相關關系的前提下再求回歸方程。 (五)當堂檢測 1.有關線性回歸的說法，不正確的是 A.相關關系的兩個變量不是因果關系 B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關程度 C.回歸直線最能代表線性相關的兩個變量之間的關系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程 2.下面哪些變量是相關關系 A.出租車費與行駛的里程 B.房屋面積與房屋價格 C.身高與體重 D.鐵的大小與質量 3.回歸方程=1.5x－15，則 A.=1.5－15 B.15是回歸系數(shù)a C.1.5是回歸系數(shù)a D.x=10時，y=0 4.r是相關系數(shù)，則結論正確的個數(shù)為 ①r∈［－1，－0.75］時，兩變量負相關很強 ②r∈［0.75，1］時，兩變量正相關很強 ③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）時，兩變量相關性一般 ④r=0.1時，兩變量相關很弱 A.1 B.2 C.3 D.4 5.線性回歸方程=bx+a過定點________. 6.一家工廠為了對職工進行技能檢查,對某位職工進行了10次實驗,收集數(shù)據(jù)如下: 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 60 70 80 加工時間y(分鐘) 12 25 33 48 55 61 64 70 (1)畫出散點圖； (2)求回歸方程. 參考答案： 1. 答案：D解析：只有線性相關的數(shù)據(jù)才有回歸直線. 2. 答案：C解析：A、B、D都是函數(shù)關系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關關系. 3. 答案：A解析：D中x=10時=0，而非y=0，系數(shù)a、b的意義要分清. 4. 答案：D解析：相關系數(shù)r的性質. 5.答案：（，）解析：=bx+a，=bx+－b，（－）=b（x－） 課后練習與提高 1.下列兩個變量之間的關系不具有線性關系的是（ ） A.小麥產(chǎn)量與施肥值 B.球的體積與表面積 C.蛋鴨產(chǎn)蛋個數(shù)與飼養(yǎng)天數(shù) D.甘蔗的含糖量與生長期的日照天數(shù) 2.下列變量之間是函數(shù)關系的是（ ） A.已知二次函數(shù),其中,是已知常數(shù),取為自變量,因變量是這個函數(shù)的判別式： B.光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C.降雪量和交通事故發(fā)生率 D.每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量 3．下面現(xiàn)象間的關系屬于線性相關關系的是（ ） A.圓的周長和它的半徑之間的關系 B.價格不變條件下,商品銷售額與銷售量之間的關系 C.家庭收入愈多,其消費支出也有增長的趨勢 D.正方形面積和它的邊長之間的關系 4．下列關系中是函數(shù)關系的是（ ） A.球的半徑長度和體積的關系 B.農(nóng)作物收獲和施肥量的關系 C.商品銷售額和利潤的關系 D.產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成品成本的關系 5.設有一個回歸方程為,則變量x增加一個單位時（ ） A.平均增加1.5單位 B. 平均增加2單位 C. 平均減少1.5單位 D. 平均減少2單位 6.工人月工資（元）與勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸直線方程為,下列判 斷不正確的是（ ） A．勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資約為130元 B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,則工資平均提高80元 C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,則工資平均提高130元 D.當月工資為210元時,勞動生產(chǎn)率約為xx元 7．某城市近10年居民的年收入x與支出y之間的關系大致符合（單位：億元），預計今年該城市居民年收入為15億元，則年支出估計是 ． 8、在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間對應的一組數(shù)據(jù)： 時間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫出散點圖； (2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。