2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第六課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第六課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(二) 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo): 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,了解等差數(shù)列的一些性質(zhì),并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題;提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). 教學(xué)重點(diǎn): 熟練掌握等差數(shù)列的求和公式. 教學(xué)難點(diǎn): 靈活應(yīng)用求和公式解決問題. 教學(xué)過程: Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d,求和公式:Sn==na1+d Ⅱ.講授新課 下面結(jié)合這些例子,來看如何應(yīng)用上述知識(shí)解決一些相關(guān)問題. [例1]求集合M={m|m=7n,n∈N*,且m<100}的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和. 分析:滿足條件的n的取值個(gè)數(shù)即為集合M的元素個(gè)數(shù),這些元素若按從小到大排列,則是一等差數(shù)列. 解:由m<100,得7n<100,即n<=14 所以滿足上面不等式的正整數(shù)n共有14個(gè),即集合M中的元素共有14個(gè),將它們從小到大可列出,得:7,72,73,74,…714,即:7,14,21,28,…98 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,記為{an},其中a1=7,a14=98,n=14 則S14==735 答:集合M中共有14個(gè)元素,它們和等于735. 這一例題表明,在小于100的正整數(shù)中共有14個(gè)數(shù)是7的倍數(shù),它們的和是735. [例2]已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎? 分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可得到兩個(gè)關(guān)于a1與d的關(guān)系,然后確定a1與d,從而得到所求前n項(xiàng)和的公式. 解:由題意知S10=310,S20=1220 將它們代入公式Sn=na1+d,得到 解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組,得到a1=4,d=6 所以Sn=4n+6=3n2+n 這就是說,已知S10與S20,可以確定這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式, 這個(gè)公式是Sn=3n2+n. 下面,同學(xué)們?cè)賮硭伎歼@樣一個(gè)問題: [例3]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和. 求證:S6,S12-S6,S18-S12成等差數(shù)列,設(shè)其k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差數(shù)列嗎? 解:設(shè){an}的首項(xiàng)是a1,公差為d,則S3=a1+a2+a3 S6-S3=a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=S3+9d S9-S6=a7+a8+a9=(a4+3d)+(a5+3d)+(a6+3d) =(a4+a5+a6)+9d=(S6-S3)+9d=S3+18d ∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列. 同理可得Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差數(shù)列. Sk=a1+a2+…+ak (S2k-Sk)=ak+1+ak+2+…+a2k=(a1+kd)+(a2+kd)+…+(ak+kd) =(a1+a2+…+ak)+k2d=Sk+k2d (S3k-S2k)=a2k+1+a2k+2+…+a3k=(ak+1+kd)+(ak+2+kd)+…+(a2k+kd) =(ak+1+ak+2+…+a2k)+k2d=(S2k-Sk)+k2d ∴Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是以Sk為首項(xiàng),k2d為公差的等差數(shù)列. [例4]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1>0,S9=S17,試問n為何值時(shí),數(shù)列的前n項(xiàng)和最大?最大值為多少? 分析:要研究一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大(?。﹩栴},有兩條基本途徑;其一是利用Sn是n的二次函數(shù)關(guān)系來考慮;其二是通過考察數(shù)列的單調(diào)性來解決. 解法一:∵S9=S17,S9=9a1+36d,S17=17a1+136d ∴9a1+36d=17a1+136d,8a1=-100d,即d=-a1<0 Sn=na1+d=na1+(-a1) =na1-a1=-a1 (n2-26n)=-a1 (n-13)2+a1 ∵a1>0, ∴當(dāng)n=13,Sn有最大值.最大值為a1. 解法二:由a1>0,d<0,可知此數(shù)列為從正項(xiàng)開始的遞減數(shù)列:a1>a2>a3>a4>…… 故n在某一時(shí)刻,必然會(huì)出現(xiàn)負(fù)項(xiàng),此時(shí)前n項(xiàng)的和開始減少,因此,要使Sn最大,n必須使得an≥0,且an+1≤0. 即 解得 ≤n≤. ∴n=13 此時(shí),Sn最大,S13=13a1+d=a1. 評(píng)述:解法一利用Sn是n的二次函數(shù)關(guān)系,歸納為求二次函數(shù)的最值問題,不過要注意自變量n是正整數(shù);解法2是從研究數(shù)列的單調(diào)性及項(xiàng)的正負(fù)進(jìn)而研究前n項(xiàng)和Sn的最大值,方法更具有一般性. [例5]在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和. 分析:要求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和,需要先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解:由已知得=+ ∴{}為首項(xiàng)為 =1,公差為的等差數(shù)列. ∴=1+(n-1)=,∴an= Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+ =4[(-)+(-)+…+(-)]=4(-)=. [例6]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大?并說明理由. (1)分析:由S12>0,S13<0列不等式組求之. 解:依題設(shè)有 即將a3=12,即a1=12-2d代入上式得 解得-<d<-3 (2)分析一:寫出Sn的表達(dá)式Sn=f(n)=An2+Bn.配方確定Sn的最大值. 解法一:Sn=na1+d=n(12-2d)+d =[n-(5-)]2-[(5-)]2 ∵d<0,∴[n- (5-)]2最小時(shí),Sn最大. 當(dāng)-<d<-3時(shí),6<(5-)<6.5 ∴正整數(shù)n=6時(shí),[n- (5-)]2y最小,∴S6最大. 分析二:由d<0知{an}是單調(diào)遞減的,要使Sn最大,應(yīng)有an≥0,an+1<0. 解法二:由d<0,可知a1>a2>…>a12>a13 ∴要使1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+1<0,則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由 知a6+a7>0,a7<0 ∴a6>-a7>0,∵a6>0,a7<0. 故在S1,S2,…,S12中S6的值最大. 解法三:由S12>0,S13<0 得, 即 也即a6>0且a7<0,∴S6最大. 解法四:由a1=12-2d,-<d<-3 得,即5.5<n<7 ∵n∈N*,∴n=6,即S6最大. [例7]首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an},它的前三項(xiàng)之和與前十一項(xiàng)之和相等,問此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大? 解法一:由S3=S11 得:3a1+d=11a1+d, 解之得d=-a1<0 ∴Sn=na1+d=-a1n2+a1n=-a1(n-7)2+a1 故當(dāng)n=7時(shí),Sn最大,即前7項(xiàng)之和最大. 解法二:由 解得:<n<,∴n=7,即前7項(xiàng)之和最大. 解法三:由d=-a1<0,知:{an}是遞減等差數(shù)列. 又S3=S11 ∴a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0, ∴a7+a8=0 ∴必有a7>0,a8<0. ∴前7項(xiàng)之和最大. 評(píng)述:解法三利用等差數(shù)列的性質(zhì),解得簡單,易懂. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,在d<0時(shí)有最大值,求當(dāng)n為何值時(shí),使Sn取最大值,有兩種方法:一是滿足an>0且an+1<0的n值;二是由Sn=na1+d=n2+(a1-)n,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值. [例8]數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=50,d=-0.6. (1)求從第n項(xiàng)開始有an<0;(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值. 分析:對(duì)于(1)實(shí)質(zhì)上是解一個(gè)不等式 ,但要注意n∈N*.對(duì)于(2)實(shí)際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律,由于等差數(shù)列中Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),可以用二次函數(shù)方法處理,也可以由an的變化,推測(cè)Sn的變化. 解:(1)∵a1=50,d=-0.6 ∴an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.6≤0,解之得:n≥≈84.3 由n∈N*.故當(dāng)n≥85時(shí),an<0, 即從第85項(xiàng)起以后的各項(xiàng)均小于0. (2)解法一:∵d=-0.6<0,a1=50>0 由(1)知a84>0,a85<0. ∴S1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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