2019-2020年高中數(shù)學 橢圓的幾何性質(zhì) 教案 蘇教版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 橢圓的幾何性質(zhì) 教案 蘇教版選修1-1 教學目標 (1)掌握橢圓的基本幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率; (2)掌握橢圓標準方程中、、、的幾何意義及相互關(guān)系; (3)感受如何運用方程研究曲線的幾何性質(zhì). 教學重點,難點 運用方程研究曲線的幾何性質(zhì). 教學過程 一.問題情境 1.情境: 復習回顧:橢圓的定義;橢圓的標準方程;橢圓中、、的關(guān)系 2.問題: 在建立了橢圓的標準方程之后,就可以通過方程來研究橢圓的幾何性質(zhì).那么橢圓有哪些幾何性質(zhì)呢? 二.學生活動 學生通過橢圓的標準方程,以及橢圓的圖象嘗試觀察、、在圖象中的體現(xiàn). 三.建構(gòu)數(shù)學 1.范圍 由方程可知,橢圓上點的坐標都適合不等式, 即,所以 .同理可得. 這說明橢圓位于直線和所圍成的矩形內(nèi). 2.對稱性: 從圖形上看:橢圓關(guān)于軸、軸、原點對稱. 從方程上看:(1)把換成方程不變,說明當點在橢圓上時,點關(guān)于軸的對稱點也在橢圓上,所以橢圓的圖象關(guān)于軸對稱; (2)把換成方程不變,所以橢圓的圖象關(guān)于軸對稱; (3)把換成,同時把換成方程不變,所以橢圓的圖象關(guān)于原點成中心對稱. 綜上:坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心. 3.頂點: 在方程中,令,得,說明點,是橢圓與軸的兩個交點.同理,是橢圓與軸的兩個交點. (1)頂點:橢圓與它的對稱軸的四個交點,叫做橢圓的頂點; (2)長軸、短軸:線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于和; (3) 、的幾何意義:是長半軸的長,是短半軸的長. 4.離心率: 橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率. 說明:(1)因為所以. (2)越接近,則越接近,從而越小,因此橢圓越扁; 反之,越接近于,越接近于,從而越接近于,這時橢圓就接近于圓; (3)當且僅當時,,這時兩焦點重合,圖形變?yōu)閳A,但本教材規(guī)定圓與橢圓是不同的曲線,有些書將圓看成特殊的橢圓; (4)試讓學生通過探究的大小變化來發(fā)現(xiàn)"扁"的程度. 四.數(shù)學運用 1.例題: 例1.求橢圓的長軸長,短軸長,離心率,焦點和頂點坐標,并用描點法畫出這個橢圓. 分析:由橢圓的標準方程可知,,則橢圓位于四條直線,所圍成的矩形內(nèi).又橢圓以兩坐標軸為對稱軸,所以只要畫出第一象限的圖形就可以畫出整個圖象. 解:根據(jù)橢圓的方程,得,,.因此,長軸長,短軸. 焦點為和,頂點為,,,. 離心率. 將方程變形為,根據(jù)算出橢圓在第一象限的幾個點的坐標: 說明:①本題在畫圖時,利用了橢圓的對稱性,利用圖形的幾何性質(zhì),可以簡化畫圖過程,保證圖形的準確性. ②根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),用下面方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖:以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形;由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點;用曲線將四個頂點連成一個橢圓,畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性. 例2.求符合下列條件的橢圓標準方程: (1)焦距為,離心率為. (2)焦點與長軸較接近的端點的距離為,焦點與短軸兩端點的連線互相垂直. 解:(1)由題意:因為,所以;又因為,所以,所以, 焦點在軸上時橢圓標準方程:;焦點在軸上時橢圓標準方程:. (2)由題意:,,,所以解得,, 焦點在軸上時橢圓標準方程:;焦點在軸上時橢圓標準方程:. 五.回顧小結(jié): 1.橢圓的基本幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率; 2.橢圓標準方程中、、、的幾何意義及相互關(guān)系.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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