2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版 自主梳理 1．向量數(shù)量積的定義 (1)向量數(shù)量積的定義： 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量___.|a||b|cos θ_____叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作__ ab＝|a||b|cos θ_____，其中向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影； 注意 在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0≤q≤180。 C 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)__　0_____. 即 （2）平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影____|b|cos θ_____的乘積. (3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： ①如果e是單位向量，則ae＝ea＝__ |a|cos θ________； ②非零向量a，b，a⊥b?____ab＝0____________； ③當(dāng)a與b同向時(shí)，ab＝__|a||b|___；（兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是__ ab＝0__） 當(dāng)a與b反向時(shí)，ab＝__－|a||b|______，aa＝__ a2___＝_|a|2___，|a|＝_______； （兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是__ ab＝|a||b|___） ④cos θ＝__________； ⑤|ab|_≤___|a||b|. 2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律：ab＝__ ba ______； (2)分配律：(a＋b)c＝___________ ac＋bc _____； (3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)b＝__λ(ab)______________. 3．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則ab＝ x1x2＋y1y (2) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b? x1x2＋y1y2＝0 . (3) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 cos θ＝__________. (4)若a＝(x，y)，則|a|2＝ 或|a|＝ . (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），則 ＝______(x2－x1，y2－y1)　___， 所以||＝___________. 點(diǎn)評(píng)： 1.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍. 2.ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 3.一般地，(ab)c≠(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個(gè)數(shù)量，所以(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，同理右邊(bc)a表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(ab)c≠(bc)a. 4.ab＝ac(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立. 5.向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，〈，〉應(yīng)為120，而不是60. 自我檢測(cè) 1.已知向量a和向量b的夾角為135，|a|＝2， |b|＝3，則向量a和向量b的數(shù)量積ab＝___－3　_____. 2.在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,則等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 3．已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝ (　　) A．0 B．2 C．4 D．8 B?。剑剑?. 4.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______. 5.已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為_(kāi)_____. 6.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有____②④____ ①(ab)c－(ca)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|； ③(bc)a－(ac)b不與c垂直；④(3a＋4b)(3a－4b)＝9|a|2－16|b|2. 7.平面上有三個(gè)點(diǎn)A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_______________． 解析　由題意得＝， ＝，又⊥，∴＝0， 即＝0，化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)． 8.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足＝＋，則＝________. 解析　合理建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得＝，＝，＝，所以＝－2. 　題型一　平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 例1?。?）已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是________. (2)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ， ||＝1，則等于 (　　) 　A.2 B. C. D. 解法1基底法:　∵＝，∴＝－＝－＝(－)＋ ＝＋(1－). 又AD⊥AB，||＝1. ∴＝＋(1－)＝. 法2定義法設(shè)BD＝a，則BC＝a，作CE⊥BA交的延長(zhǎng)線于E，可知∠DAC＝∠ACE， 在Rt△ABD與Rt△BEC中， Rt△ABD∽R(shí)t△BEC中，,CE＝， ∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝. ∴＝||||cos∠DAC ＝|||| cos∠ACE＝. 法3坐標(biāo)法 變式訓(xùn)練1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|＝|b|＝1，則 (－3a)(a＋b)＝___－3___. (2)如下圖，在中，，，是邊上的高，則的值等于 （ ） A．0 B． C．4 D． 【思路點(diǎn)撥】充分利用已知條件的，，借助數(shù)量積的定義求出． 【答案】B【解析】因?yàn)?，，是邊上的?. （3）設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，ab＝－，〈a－c，b－c〉＝60，則|c|的最大值等于(　　) A．2　　　　B.　　　　C.　　　　D．1 【解析】　∵ab＝－，且|a|＝|b|＝1， ∴cos〈a，b〉＝＝－. ∴〈a，b〉＝120. 如圖所示，將a，b，c的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn)O， 則a－c＝，b－c＝，∠ACB＝60，于是四 點(diǎn)A，O，B，C共圓，即點(diǎn)C在△AOB的外接圓上，故當(dāng)OC為直徑時(shí)，|c|取最大值．由余弦定理，得AB＝＝，由正弦定理，得2R＝＝2，即|c|的最大值為2. 題型二　向量的夾角與向量的模 例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61， (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積. 例2　解　(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6. ∴cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積. |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝42＋2(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝. (3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝43＝3. 變式訓(xùn)練2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值； (2)已知三個(gè)向量a、b、c兩兩所夾的角都為120，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c與向量a的夾角. 　解　(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α(α－2β)＝α2－2αβ＝1－2αβ＝0.∴αβ＝. ∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4αβ＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝. (2)由已知得(a＋b＋c)a＝a2＋ab＋ac ＝1＋2cos 120＋3cos 120＝－， |a＋b＋c|＝＝ ＝＝. 設(shè)向量a＋b＋c與向量a的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝－，即θ＝150， 故向量a＋b＋c與向量a的夾角為150. (3)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_______． 解析　∵〈a，b〉∈(0，)，∴ab>0且ab不同向． 即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<. 當(dāng)ab同向時(shí)，由a＝kb(k>0)得λ＝－2.∴λ<且λ≠－2. （4）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為_(kāi)_______ 解　以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng). ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)， ＝(2，－y)，＝(1，a－y)， ∴＋3＝(5,3a－4y)， |＋3|2＝25＋(3a－4y)2， ∵點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，∴0≤y≤a， 因此當(dāng)y＝a時(shí)，|＋3|2的最小值為25， ∴|＋3|的最小值為5. 題型三　平面向量的垂直問(wèn)題 例3　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實(shí)數(shù)) (1)證明　∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直. (2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝=， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α). 又k≠0，∴cos(β－α)＝0. 而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 變式訓(xùn)練3 (1) 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. ①證明：a⊥b； ② 若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t). ?、?證明　∵ab＝－1＝0，∴a⊥b. ②解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴cd＝[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]ab＝0， 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，ab＝0， ∴cd＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝ (t≠0). （2）　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的長(zhǎng)度是a－kb的長(zhǎng)度的倍(k>0)． ① 求證：a＋b與a－b垂直； ②用k表示ab； ③ 求ab的最小值以及此時(shí)a與b的夾角θ. 點(diǎn)撥：　1.非零向量a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運(yùn)算技巧，有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，要因題而異． 解　 ①由題意得，|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0， ∴a＋b與a－b垂直． ②|ka＋b|2＝k2a2＋2kab＋b2＝k2＋2kab＋1， (|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6kab. 由條件知，k2＋2kab＋1＝3(1＋k2)－6kab， 從而有，ab＝(k>0)． ③由(2)知ab＝＝(k＋)≥， 當(dāng)k＝時(shí)，等號(hào)成立，即k＝1. ∵k>0，∴k＝1. 此時(shí)cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，∴θ＝. 故ab的最小值為，此時(shí)θ＝. （3）設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． ① 若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； ②求|b＋c|的最大值； ③ 若tan αtan β＝16，求證：a∥b. ① 解　因?yàn)閍與b－2c垂直， 所以a(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2. ②解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b＋c|＝ ＝≤4. 又當(dāng)β＝－時(shí)，等號(hào)成立，所以|b＋c|的最大值為4. ③證明　由tan αtan β＝16得即 所以a∥b. （4）如圖4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90，CA＝CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB.求證：AD⊥CE. 解?。?＋)(＋) ＝－||2＋＋＋ ＝－||2＋||||cos 90＋||2cos 45＋||2cos 45 ＝－||2＋||2＝0， ∴⊥，即AD⊥CE., （5） 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值 解：當(dāng)A = 90時(shí)，= 0，∴21 +3k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90時(shí)，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3) ∴2(-1) +3(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C= 90時(shí)，= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 題型四　　向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例4　已知向量a＝， b＝，且x∈. (1)求ab及|a＋b|； (2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 解　(1)ab＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2|cos x|， ∵x∈，∴cos x>0， ∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1 ＝22－. ∵x∈，∴≤cos x≤1， ∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最小值－； 當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1. 變式遷移4 （1）已知△ABC的面積S， ＝3S，且cos B＝，求cos C. 解　由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c， 則S＝bcsin A ＝bccos A＝3S＝bcsin A >0， ∴A∈，cos A＝3sin A. 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝. 由題意cos B＝，得sin B＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝. ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－. （2）．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，G是△ABC的重 心，且56sin A＋40sin B＋35sin C＝0. (1)求角B的大小； (2)設(shè)m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k,1)(k>1)，mn的最大值為5，求實(shí)數(shù)k的值． 解：(1)由G是△ABC的重心，得＋＋＝0， ∴，由正弦定理，可將已知等式轉(zhuǎn)化為 整理，得(56a－35c)＋(40b－35c)＝0. ∵，不共線，∴由此， 得a∶b∶c＝5∶7∶8. 不妨設(shè)a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理， 得cos B＝＝＝. ∵01時(shí)，f(t)在(0,1]上為增函數(shù)，所以，當(dāng) t＝1時(shí)，mn取得最大值5.于是有：－2＋4k＋1＝5，解得k＝，符合題意，所以，k＝. （3）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑， ①判斷的值是否會(huì)隨點(diǎn)P的變化而變化，請(qǐng)說(shuō)明理由； ②求的最大值。 1．一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論： (1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(5)|ab|＝|a||b|；(6)(ab)c＝a(bc)；(7)若ab＝ac，則b＝c.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意． 2．平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a與b的夾角. 向量表示 坐標(biāo)表示 向量a的模 |a|＝＝ |a|＝ a與b的數(shù)量積 ab＝|a||b|cos θ ab＝x1x2＋y1y2 a與b共線的充要條件 A∥b(b≠0)?a＝λb a∥b?x1y2－x2y1＝0 非零向量a，b垂直的充要條件 a⊥b?ab＝0 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 向量a與b的夾角 cos θ＝ cos θ＝ 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問(wèn)題的基本方法有： （1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明2＝2或||＝||. （2）要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)≠0，使等式＝λ成立即可． （3）要證兩線段AB⊥CD，只需證＝0. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一 一、選擇題 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，ab＝0，則實(shí)數(shù)m的值為 (　　) A．－ B. C．2 D．6 1．D　[因?yàn)閍b＝6－m＝0，所以m＝6.] 2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實(shí)數(shù)k的值為 (　　) A．－6 B．－3 C．3 D．6 2．D　[由(2a＋3b)(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.] 3.已知△ABC中，＝a，＝b，ab<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于 (　　) A．30 B．－150 C．150 D．30或150 3．C　[∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝， ∴sin∠BAC＝.又ab<0， ∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150.] 4．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為 (　　) A．30 B．60 C．120 D．150 4．C　[由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2. cos〈a，b〉＝＝＝－. ∵〈a，b〉∈[0，180]，∴〈a，b〉＝120.] 5.設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，ab＝－，則|a＋2b|等于 (　　) 　A. B. C. D. 6.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于(　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則等于 (　　) A.－ B.－ C. D. 8.若a，b，c均為單位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　) A.－1 B.1 C. D.2 9.已知|a|＝6，|b|＝3，ab＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是 (　　) A.－4 B.4 C.－2 D.2 10.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，它們兩兩之間的夾角均為120，且|ka＋b＋c|>1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　) A.(－∞，0) B.(2，＋∞) C.(－∞，0)∪(2，＋∞) D.(0,2) 二、填空題 11．設(shè)a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若ab＝，則sin α＝________. 解析　∵ab＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝， ∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，∴sin α＝ 12．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______． 解析　設(shè)a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a， ∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0. 又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0. ∴cos θ＝－，θ∈[0，180]即θ＝120. 13．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為，且mn＝－1，則向量n＝__________________. 解析　設(shè)n＝(x，y)，由mn＝－1，有x＋y＝－1.① 由m與n夾角為，有mn＝|m||n|cos ， ∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.②由①②解得或， ∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)． 14.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1b2＝____－6____. 三、解答題 15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解　e＝4，e＝1， e1e2＝21cos 60＝1， ∴(2te1＋7e2)(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1e2＋7te＝2t2＋15t＋7. ∵向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，∴2t2＋15t＋7<0.∴－71)，∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6). (2)由(1)知，ab＝10，|a|2＝5. 又c與b同向，故可設(shè)c＝λb (λ>0)， (c－a)a＝0， ∴λba－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，∴c＝b＝(－1,3).