2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 新人教A版 自主梳理 1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充 數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)是：________→________→________，用集合符號(hào)表示為_(kāi)_______?________?________，實(shí)際上前者是后者的真子集． 自然數(shù)系　有理數(shù)系　實(shí)數(shù)系　N　Q　R　 2．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1) 復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的________和________． 實(shí)部 虛部 　　 復(fù)數(shù)a＋bi (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)． a＝c，b＝d (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?____________(a，b，c，d∈R)．為z的共軛復(fù)數(shù)。 a＝c，b＝－d　 3．復(fù)數(shù)的幾何意義 (1) 建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面．______叫做實(shí)軸，______叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)表示________；，虛軸上的點(diǎn)（除原點(diǎn)外）都表示________；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示____________． x軸　y軸　實(shí)數(shù)　純虛數(shù)　非純虛數(shù)　 （2）復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．_____平面 向量________ (3)復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________. |z|　|a＋bi|　 4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________； ④除法：＝＝ ＝________________________(c＋di≠0)． ① (a＋c)＋(b＋d)i?、?a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i?、? (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________， (z1＋z2)＋z3＝______________________. z2＋z1　 z1＋(z2＋z3) 5．進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，熟記以下結(jié)果有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程 (1) (abi)2＝a22abi－b2＝a2－b22abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2 (2) i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N) (3) (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式的加減運(yùn)算(合并同類項(xiàng))，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，此時(shí)要注意區(qū)分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2與(a＋b)(a－b)＝a2－b2 失誤與防范 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當(dāng)z＝3i時(shí)z2＝－9<0. 自我檢測(cè) 1．復(fù)數(shù)等于(　　) A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i C　[＝＝＝＝＝－i.] 2．復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z－z－1等于(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i B　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z＝|z|2＝2， ∴z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.] 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部是________. 解析　設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i， 得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足＝2－i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (－，－)， 5．已知復(fù)數(shù)z滿足＝1－2i，則復(fù)數(shù)z＝__.－＋ i __________. 題型一　復(fù)數(shù)的分類 例1　已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限；(4)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上． 11．解　(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有m2＋2m－3＝0且m－1≠0 得m＝－3，故當(dāng)m＝－3時(shí)，z∈R. (2)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有解得m＝0，或m＝2. ∴當(dāng)m＝0或m＝2時(shí)，z為純虛數(shù)． (3)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限時(shí)，則有， 解得m<－3或1， 其中當(dāng)c＝9時(shí)，＝(6,8)＝－2，三點(diǎn)共線，故c≠9. c>且c≠9 (3)已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為_(kāi)_______． 　　妙解]　由|z－2|＝可得，|z－2|2＝(x－2)2＋y2＝3.設(shè)＝k，即得直線方程為kx－y＝0，∴圓(x－2)2＋y2＝3的圓心(2,0)到直線kx－y＝0的距離d＝≤.解得k∈[－，]，即得的最大值為. 　題型四 用待定系數(shù)法解決復(fù)數(shù)問(wèn)題 例4（1）已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. （2）已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根，求m. 解　設(shè)x＝a＋bi (a，b∈R)，則y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等得， 解得或或或. 故所求復(fù)數(shù)為 或或或. 點(diǎn)評(píng) 復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件．利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．應(yīng)用復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)化策略可解決求復(fù)系數(shù)方程的實(shí)數(shù)解、求復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡等問(wèn)題。對(duì)于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實(shí)數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立．因此解此類方程的解，一般都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解． 變式訓(xùn)練4 （1）若z＝cos θ＋isin θ，則使z2＝－1的θ值可能是 (　　) A.　　　　　 B. 　　 C. D. 解析：z2＝cos2θ－sin2θ＋isin 2θ＝cos 2θ＋isin 2θ， 當(dāng)θ＝時(shí)，z2＝cos π＋isin π＝－1. （2）已知|z|－z＝1－2i，求復(fù)數(shù)z. 解　設(shè)z＝a＋bi (a、b∈R)，則－(a＋bi)＝1－2i. 由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得 解得所以所求復(fù)數(shù)為z＝＋2i. 一、選擇題 1．若復(fù)數(shù)z＝，則復(fù)數(shù)等于(　　) A．－i B.i C．－i D．i 2．若復(fù)數(shù)(a∈R，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 (　　) A．2 B．4 C．－6 D．6 3．對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 4．復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．－11 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)<－1或a>1 5．若θ∈(，)，則復(fù)數(shù)(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由三角函數(shù)線知識(shí)得當(dāng)θ∈(，)時(shí)， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故選B.] 6．下面四個(gè)命題： ①0比－i大； ②兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)； ③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1； ④如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A　[(1)中實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大??； (2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù)； (3)x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆](méi)有標(biāo)明x，y是否是實(shí)數(shù)； (4)當(dāng)a＝0時(shí)，沒(méi)有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng)．] 7．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 二、填空題 8．已知復(fù)數(shù)z與(z＋2)2－8i均是純虛數(shù)，則z＝_____－2i _______ 9．若復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝1＋bi，a，b∈R，且z1＋z2與z1z2均為純虛數(shù)，則＝ ___________.－＋ i 10．已知復(fù)數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________. 解析?。剑? ＝是實(shí)數(shù)，∴6＋4m＝0，故m＝－. 11．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2－3i)＝6＋4i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為_(kāi)2_______． 12．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____． 解析　＝＝＝－i， 故虛部為－1. 13．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若＝x＋y，則x＋y的值是__5______． 14．復(fù)數(shù)z＝x＋yi (x，y∈R)滿足|z－1|＝x，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x，y)的軌跡方程為_(kāi)_________． 解析　由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x， 故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1. 三、解答題 15．已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實(shí)數(shù)，求z2. 解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.(4分) 設(shè)z2＝a＋2i，a∈R， 則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分) 16．已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)z＝x＋yi (x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i. 由題意得x＝4，∴z＝4－2i. ∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 由于(z＋ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限， ∴，解得2

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