2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版 1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__（答：）； （2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為___（答：）； （3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）； （4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）（答：A） A B C D 2.等差數(shù)列的有關(guān)概念： （1）等差數(shù)列的判斷方法： 定義法：或。 公式法：①通項(xiàng)； ②前項(xiàng)和. 如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列. 提醒：解答題多用定義法. （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)： 或. 通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，以（n,an）為坐標(biāo)的一群離散點(diǎn)均勻地分布在直線上. 公差d=是相應(yīng)直線的斜率.當(dāng)d>0時，數(shù)列遞增；當(dāng)d<0時，數(shù)列遞減；當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)數(shù)列. 提醒：時，可用來快速求公差. 如(1)等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)　　　?。ù穑海? （2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______ （答：） （3）等差數(shù)列｛an｝中， 若， 則（答：0） （3）等差數(shù)列的前和： ，. 從函數(shù)的角度理解，Sn=na1+d變形為Sn= n2+(a1-)n，當(dāng)d≠0時是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項(xiàng)），它的圖象是過原點(diǎn)的拋物線上的一群孤立點(diǎn).點(diǎn)（n，））在一條直線上，此時，可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問題。當(dāng)d=0時，{an}是常數(shù)列，Sn=na1,此時，若a1≠0,則Sn是關(guān)于n的一次式；若a1=0,則Sn=0。 如（1）數(shù)列 中，，， 前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿（答：，）； （2）等差數(shù)列｛an｝中，若，則.（答：） （3）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）. （4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。 提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）.（3）任何兩個數(shù)都有等差中項(xiàng). 3.等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 提醒：可設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前和公式. （2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。 （3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有. 如（1）等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）； （2）在等差數(shù)列中，，且，是其前項(xiàng)和，則 A、都小于0，都大于0　　 B、都小于0，都大于0　　 C、都小于0，都大于0　　 D、都小于0，都大于0?。ù穑築） (4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 .（答：225） （5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，，（這里即）；。 如（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）； （2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）. （6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則 . 如設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么___________（答：） (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。 法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）； 法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？ 如（1）等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）； （2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是　　　　 （答：4006）． (8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 提醒：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究. 4.等比數(shù)列的有關(guān)概念： （1）等比數(shù)列的判斷方法： 定義法：，其中　　　或． 　公式法：①通項(xiàng)；②時，前n項(xiàng)和可寫成 　　如（1）一個等比數(shù)列{}共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為____（答：）； （2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。 提醒：解答題多用定義法. （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)： 或。 當(dāng)q>0且q≠1時，是指數(shù)函數(shù)，而是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此 的圖象是函數(shù)y=的圖象上的一群孤立點(diǎn)．很明顯，若>0,當(dāng)q>1時，數(shù)列遞增；當(dāng)0<q<1時，數(shù)列遞減． 提醒：可用來求公比. 如設(shè)等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和＝126，求和公比. （答：，或2） （3）等比數(shù)列的前和： 如（1）等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為__________（答：2046）； 提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為． 如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解． （4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。 提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個． 如已知兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B） 5.等比數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)時，則有，特別地，當(dāng)時，則有. 　如（１）在等比數(shù)列中，， ，公比q是整數(shù)，則=___（答：512）； （2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 ＝ （答：10）． (2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則　　　　　. （答：）； （2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為______（答：40） (3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列； 若 ，則為遞減數(shù)列； 若, 則為遞增數(shù)列； 若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列. (4) 當(dāng)時，，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。 如若是等比數(shù)列，且，則＝ （答：－1） (5) . 如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_____（答：－2） (6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，. (7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。 如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個命題： ①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列； ②若，則是等差數(shù)列； ③若，則是等比數(shù)列．這些命題中，真命題的序號是 （答：②③） 6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法： ⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。 如已知數(shù)列試寫出其一個通項(xiàng)公式：__________（答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。如（１）已知的前項(xiàng)和滿足，求 （答：）； （２）數(shù)列滿足，求 解：（i）令時， （ii） （1） （2） （1）－（2）得：，即所以 提醒：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（只有時，才有，當(dāng)時，；注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨(dú)列出）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。 如數(shù)列滿足，求（答：） ⑶已知求，用作商法：。 如數(shù)列中，對所有的都有，則______（答：） ⑷若求用累加法：。 如已知數(shù)列滿足，，則=________（答：） ⑸已知求，用累乘法：。 如已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，若，求（答：） ⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地， （1）形如：（為p,q為常數(shù)且）的數(shù)列 （Ⅰ）可化為，利用等比數(shù)列求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出 （Ⅱ）可由得兩式相減可得：，利用成等比數(shù)列求出，再利用迭代或迭加求出 （Ⅲ） ,先用累加法求再求 如已知，求（答：）； （２）形如（為常數(shù)）也可通過類似方式來求得. 更一般地，遞推數(shù)列an=kan－1+f（n）（k≠0,k≠1）（f（n）為等比或等差）） 還可由an=kan－1+b派生出an+1=kan+b，兩式相減得：an+1-an=k（an- an-1）依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式（這是二階線性遞歸數(shù)列an+1+pan+qan－1=0的解法），從而形如的數(shù)列可變形為就是則可從，解得于是是公比為的等比數(shù)列. 如（１）數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：在兩邊減去得 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列， 令上式，再把個等式累加得: == . （２）已知，求（答：）； ?。ǎ常┬稳纾ǎ? （為常數(shù)且）的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)?？苫癁?求出的表達(dá)式，再求． 如（１）已知，求（答：）； （２）已知數(shù)列滿足=1，，求 （答：） 這種類型還有如：可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成為形式解決；又如已知數(shù)列中且，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式可采用兩邊取對數(shù)方法即則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （７）猜想—?dú)w納—證明（數(shù)學(xué)歸納法） 與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征，其步驟是：（1）驗(yàn)證命題對于第一個自然數(shù)n＝n0 (k≥n0)時成立；(2)假設(shè)n =k時成立，從而證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，（3）得出結(jié)論。 注：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可。 （2）在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時，要注意起點(diǎn) n，并非一定取 1，也可能取 0，2 等值，要看清題目 . （3）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由 k 到 k+ 1 時命題變化情況 .證明時要一湊假設(shè)，二湊結(jié)論； 7.數(shù)列求和的常用方法： （1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，. 如（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______（答：） （2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 如求：（答：） （3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如①求證：； ②已知，則＝______（答：） 一般地，,（｛an｝為等差數(shù)列）可通過此法來求. 提醒：觀察通項(xiàng)、 注意首項(xiàng)、 點(diǎn)清項(xiàng)數(shù)； （4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）：兩邊同乘以公比錯位相減（但要區(qū)分公比是否為1）. 如（1）設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：①，；②）； （2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足： ，①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令 ，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小。（答：①略；②，當(dāng)時，＝；當(dāng)時，<；當(dāng)時，>） （5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 常用裂項(xiàng)形式有： ①； ②； ③， ④ ⑤； ⑥.如（1）求和： （答：）； （2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）； （3）等差數(shù)列｛an｝的公差d（d≠0），則.的求和也可用此法. （6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。 如（１）求數(shù)列14，25，36，…，，…前項(xiàng)和= 　（答：）； （２）求和： （答：） 8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題 (1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. (2)利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為： （等差數(shù)列問題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足： （等比數(shù)列問題）. p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)