2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 13.數(shù)列教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 13.數(shù)列教案 新人教A版 1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_(kāi)_（答：）； （2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)__（答：）； （3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）； （4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）（答：A） A B C D 2.等差數(shù)列的有關(guān)概念： （1）等差數(shù)列的判斷方法： 定義法：或。 公式法：①通項(xiàng)； ②前項(xiàng)和. 如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列. 提醒：解答題多用定義法. （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)： 或. 通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，以（n,an）為坐標(biāo)的一群離散點(diǎn)均勻地分布在直線上. 公差d=是相應(yīng)直線的斜率.當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列遞減；當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)數(shù)列. 提醒：時(shí)，可用來(lái)快速求公差. 如(1)等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)　　　?。ù穑海?； （2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______ （答：） （3）等差數(shù)列｛an｝中， 若， 則（答：0） （3）等差數(shù)列的前和： ，. 從函數(shù)的角度理解，Sn=na1+d變形為Sn= n2+(a1-)n，當(dāng)d≠0時(shí)是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項(xiàng)），它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的一群孤立點(diǎn).點(diǎn)（n，））在一條直線上，此時(shí)，可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問(wèn)題。當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列，Sn=na1,此時(shí)，若a1≠0,則Sn是關(guān)于n的一次式；若a1=0,則Sn=0。 如（1）數(shù)列 中，，， 前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿（答：，）； （2）等差數(shù)列｛an｝中，若，則.（答：） （3）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）. （4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。 提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）.（3）任何兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng). 3.等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 提醒：可設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前和公式. （2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。 （3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有. 如（1）等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）； （2）在等差數(shù)列中，，且，是其前項(xiàng)和，則 A、都小于0，都大于0　　 B、都小于0，都大于0　　 C、都小于0，都大于0　　 D、都小于0，都大于0?。ù穑築） (4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 .（答：225） （5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，（這里即）；。 如（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）； （2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）. （6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則 . 如設(shè){}與{}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么___________（答：） (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。 法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）； 法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？ 如（1）等差數(shù)列中，，，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）； （2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是　　　　 （答：4006）． (8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 提醒：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究. 4.等比數(shù)列的有關(guān)概念： （1）等比數(shù)列的判斷方法： 定義法：，其中　　　或． 　公式法：①通項(xiàng)；②時(shí)，前n項(xiàng)和可寫成 　　如（1）一個(gè)等比數(shù)列{}共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_(kāi)___（答：）； （2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。 提醒：解答題多用定義法. （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)： 或。 當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此 的圖象是函數(shù)y=的圖象上的一群孤立點(diǎn)．很明顯，若>0,當(dāng)q>1時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)0） （5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 常用裂項(xiàng)形式有： ①； ②； ③， ④ ⑤； ⑥.如（1）求和： （答：）； （2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）； （3）等差數(shù)列｛an｝的公差d（d≠0），則.的求和也可用此法. （6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。 如（１）求數(shù)列14，25，36，…，，…前項(xiàng)和= ?。ù穑海? （２）求和： （答：） 8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題 (1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. (2)利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為： （等差數(shù)列問(wèn)題）；②復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足： （等比數(shù)列問(wèn)題）. p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)