2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版 1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函數(shù),數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 如(1)已知,則在數(shù)列的最大項為__(答:); (2)數(shù)列的通項為,其中均為正數(shù),則與的大小關(guān)系為___(答:); (3)已知數(shù)列中,,且是遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍(答:); (4)一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對任意,由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是 ()(答:A) A B C D 2.等差數(shù)列的有關(guān)概念: (1)等差數(shù)列的判斷方法: 定義法:或。 公式法:①通項; ②前項和. 如設(shè)是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列. 提醒:解答題多用定義法. (2)等差數(shù)列的通項: 或. 通項公式是n的一次函數(shù),以(n,an)為坐標(biāo)的一群離散點均勻地分布在直線上. 公差d=是相應(yīng)直線的斜率.當(dāng)d>0時,數(shù)列遞增;當(dāng)d<0時,數(shù)列遞減;當(dāng)d=0時,{an}為常數(shù)數(shù)列. 提醒:時,可用來快速求公差. 如(1)等差數(shù)列中,,,則通項 (答:); (2)首項為-24的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是______ (答:) (3)等差數(shù)列{an}中, 若, 則(答:0) (3)等差數(shù)列的前和: ,. 從函數(shù)的角度理解,Sn=na1+d變形為Sn= n2+(a1-)n,當(dāng)d≠0時是n的二次函數(shù)(缺常數(shù)項),它的圖象是過原點的拋物線上的一群孤立點.點(n,))在一條直線上,此時,可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問題。當(dāng)d=0時,{an}是常數(shù)列,Sn=na1,此時,若a1≠0,則Sn是關(guān)于n的一次式;若a1=0,則Sn=0。 如(1)數(shù)列 中,,, 前n項和,則=_,=_(答:,); (2)等差數(shù)列{an}中,若,則.(答:) (3)已知數(shù)列 的前n項和,求數(shù)列的前項和(答:). (4)等差中項:若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項,且。 提醒:(1)等差數(shù)列的通項公式及前和公式中,涉及到5個元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2。(2)為減少運算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為…,…(公差為);偶數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為…,,…(公差為2).(3)任何兩個數(shù)都有等差中項. 3.等差數(shù)列的性質(zhì): (1)當(dāng)公差時,等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0. 提醒:可設(shè)等差數(shù)列的通項公式為,前和公式. (2)若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。 (3)當(dāng)時,則有,特別地,當(dāng)時,則有. 如(1)等差數(shù)列中,,則=____(答:27); (2)在等差數(shù)列中,,且,是其前項和,則 A、都小于0,都大于0 B、都小于0,都大于0 C、都小于0,都大于0 D、都小于0,都大于0?。ù穑築) (4) 若、是等差數(shù)列,則、 (、是非零常數(shù))、、、 ,…也成等差數(shù)列,而成等比數(shù)列;若是等比數(shù)列,且,則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3n和為 .(答:225) (5)在等差數(shù)列中,當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時,,;項數(shù)為奇數(shù)時,,(這里即);。 如(1)在等差數(shù)列中,S11=22,則=______(答:2); (2)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中,奇數(shù)項和為80,偶數(shù)項和為75,求此數(shù)列的中間項與項數(shù)(答:5;31). (6)若等差數(shù)列、的前和分別為、,且,則 . 如設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列,它們的前項和分別為和,若,那么___________(答:) (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前項和的最大值是所有非負(fù)項之和;“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前項和的最小值是所有非正項之和。 法一:由不等式組確定出前多少項為非負(fù)(或非正); 法二:因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想?(函數(shù)思想),由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎? 如(1)等差數(shù)列中,,,問此數(shù)列前多少項和最大?并求此最大值。(答:前13項和最大,最大值為169); (2)若是等差數(shù)列,首項,,則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是 (答:4006). (8)如果兩等差數(shù)列有公共項,那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 提醒:公共項僅是公共的項,其項數(shù)不一定相同,即研究. 4.等比數(shù)列的有關(guān)概念: (1)等比數(shù)列的判斷方法: 定義法:,其中 或. 公式法:①通項;②時,前n項和可寫成 如(1)一個等比數(shù)列{}共有項,奇數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120,則為____(答:); (2)數(shù)列中,=4+1 ()且=1,若 ,求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列。 提醒:解答題多用定義法. (2)等比數(shù)列的通項: 或。 當(dāng)q>0且q≠1時,是指數(shù)函數(shù),而是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積,因此 的圖象是函數(shù)y=的圖象上的一群孤立點.很明顯,若>0,當(dāng)q>1時,數(shù)列遞增;當(dāng)0) (5)裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項相消法求和. 常用裂項形式有: ①; ②; ③, ④ ⑤; ⑥.如(1)求和: (答:); (2)在數(shù)列中,,且Sn=9,則n=_____(答:99); (3)等差數(shù)列{an}的公差d(d≠0),則.的求和也可用此法. (6)通項轉(zhuǎn)換法:先對通項進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運用分組求和法求和。 如(1)求數(shù)列14,25,36,…,,…前項和= (答:); (2)求和: (答:) 8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題 (1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. (2)利率問題:①單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為: (等差數(shù)列問題);②復(fù)利問題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清。如果每期利率為(按復(fù)利),那么每期等額還款元應(yīng)滿足: (等比數(shù)列問題). p——貸款數(shù),r——利率,n——還款期數(shù)
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