2019-2020年高考數(shù)學總復習 第九章 解析幾何教案 理 新人教A版.DOC

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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第九章 解析幾何教案 理 新人教A版 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 考綱要求：1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式． 2．掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．直線的傾斜角 (1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)． 2．直線的斜率 (1)定義：若直線的傾斜角θ不是90，則斜率k＝tan_θ. (2)計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 條件 方程 適用范圍 點斜式 斜率k與點(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 斜率k與截距b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 兩點(x1，y1)，(x2，y2) 不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2) 截距式 截距a與b ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 — Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (2)過點M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45.(　　) (3)傾斜角越大，斜率越大．(　　) (4)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) (6)直線的截距即是直線與坐標軸的交點到原點的距離．(　　) (7)若直線在x軸，y軸上的截距分別為m，n，則方程可記為＋＝1.(　　) 答案：(1)　(2)　(3)　(4)　(5)√　(6)　(7) 2．若過兩點A(－m,6)，B(1,3m)的直線的斜率為12，則m＝________. 答案：－2 3．直線x－y＋a＝0的傾斜角為________． 答案：60 4．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為____________． 答案：x＋13y＋5＝0 5．直線l經(jīng)過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為________． 答案：3x＋4y－14＝0 [典題1]　(1)直線2xcos α－y－3＝0α∈，的傾斜角的取值范圍是(　　) A.　　　 　　B. C. D. (2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________． [聽前試做]　(1)直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因為α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1， ]．設直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1， ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈，即傾斜角的取值范圍是. (2)如圖，∵kAP＝＝1， kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 答案：(1)B　(2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞) [探究1]　若將題(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍． 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)， ∴kAP＝＝， kBP＝＝. 如圖可知，直線l斜率的取值范圍為. [探究2]　若將題(2)條件改為“經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點”，求直線l的傾斜角α的范圍． 解：法一：如圖所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由圖可觀察出：直線l傾斜角α的范圍是∪. 法二：由題意知，直線l存在斜率．設直線l的斜率為k， 則直線l的方程為y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B兩點在直線的兩側(cè)或其中一點在直線l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直線l的傾斜角α的范圍是∪. 直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當α∈時，斜率k∈[0，＋∞)；當α＝時，斜率不存在；當α∈時，斜率k∈(－∞，0)． [典題2]　根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12； (3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5. [聽前試做]　(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式． 設傾斜角為α，則sin α＝(0<α<π)， 從而cos α＝， 則k＝tan α＝. 故所求直線方程為y＝(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設知截距不為0，設直線方程為＋＝1， 又直線過點(－3,4)，從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)當斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0； 當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0. 由點線距離公式，得＝5，解得k＝. 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0. 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 求直線方程的注意點 (1)用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在； (2)兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，注意分類討論，判斷截距是否為零． 已知點A(3,4)，求滿足下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點A且在兩坐標軸上截距相等； (2)經(jīng)過點A且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形． 解：(1)設直線在x，y軸上的截距均為a. ①若a＝0，即直線過點(0,0)及(3,4)． ∴直線的方程為y＝x，即4x－3y＝0. ②若a≠0，設所求直線的方程為＋＝1， 又點(3,4)在直線上，∴＋＝1，∴a＝7. ∴直線的方程為x＋y－7＝0. 綜合①②可知所求直線的方程為4x－3y＝0或x＋y－7＝0. (2)由題意可知，所求直線的斜率為1. 又過點(3,4)，由點斜式得y－4＝(x－3)． 所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. [典題3]　已知直線l過點P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程． [聽前試做]　依題意知，直線l的斜率k存在且k<0. 則直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)，且有A，B(0,2－3k)， ∴S△ABO＝(2－3k)＝≥ ＝(12＋12)＝12. 當且僅當－9k＝，即k＝－時，等號成立． 即△ABO的面積的最小值為12. 此時直線l的方程為2x＋3y－12＝0. (1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”． (2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本(均值)不等式求解最值． 已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程． 解：(1)證明：直線l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)． (2)由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k>0； 當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0. 即k的取值范圍是[0，＋∞)． (3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)． 依題意得解得k>0. ∵S＝|OA||OB| ＝|1＋2k| ＝＝ ≥(22＋4)＝4， “＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0. ———————————[課堂歸納——感悟提升]———————————————— [方法技巧] 1．直線的斜率k與傾斜角θ之間的關(guān)系 θ 0 0<θ<90 90 90<θ<180 k 0 k>0 不存在 k<0 2.求直線方程的方法 (1)直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程． (2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程． [易錯防范] 1．利用兩點式計算斜率時易忽視x1＝x2時斜率k不存在的情況． 2．用直線的點斜式求方程時，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會造成失誤． 3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當截距為0時可用點斜式． 4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時易忽視判斷B是否為0的情況，當B＝0時，k不存在；當B≠0時，k＝－. 一、選擇題 1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是(　　) A．m≠－ B．m≠0 C．m≠0且m≠1 D．m≠1 解析：選D　由解得m＝1，故m≠1時方程表示一條直線． 2．直線l：xsin 30＋ycos 150＋1＝0的斜率是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A　設直線l的斜率為k，則k＝－＝. 3．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解析：選D　由題意可知a≠0.當x＝0時，y＝a＋2. 當y＝0時，x＝.∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 4．直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應滿足(　　) A．a(chǎn)b＞0，bc＜0 B．a(chǎn)b＞0，bc＞0 C．a(chǎn)b＜0，bc＞0 D．a(chǎn)b＜0，bc＜0 解析：選A　由于直線ax＋by＋c＝0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．兩直線－＝a與－＝a(其中a為不為零的常數(shù))的圖象可能是(　　) 　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：選B　直線方程－＝a可化為y＝x－na，直線－＝a可化為y＝x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號． 二、填空題 6．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為________． 解析：設P(xP,1)，由題意及中點坐標公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5,1)，所以k＝－. 答案：－ 7．過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________________． 解析：(1)當直線過原點時，直線方程為y＝－x； (2)當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1， 即x－y＝a.代入點(－3,5)，得a＝－8. 即直線方程為x－y＋8＝0. 答案：y＝－x或x－y＋8＝0 8．直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45，則a的取值范圍是________． 解析：當a＝－1時，直線l的傾斜角為90，符合要求；當a≠－1時，直線l的斜率為－，只要－>1或－<0即可，解得－10. 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是∪(0，＋∞)． 答案：∪(0，＋∞) 三、解答題 9．已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程： (1)過定點A(－3,4)； (2)斜率為. 解：(1)設直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,3k＋4， 由已知，得(3k＋4)＝6， 解得k1＝－或k2＝－. 故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)設直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b， 由已知，得|－6bb|＝6，∴b＝1. ∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程． 解：由題意可得kOA＝tan 45＝1， kOB＝tan(180－30)＝－， 所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 設A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中點C， 由點C在直線y＝x上，且A，P，B三點共線得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為(　　) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 解析：選D　因為AO＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線AB的點斜式方程為：y－3＝－3(x－1)． 2．若直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選C　∵直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，∴a＋b＝ab，即＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 當且僅當a＝b＝2時上式等號成立． ∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4. 3．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為________． 解析：根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為＋＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0. 根據(jù)基本(均值)不等式ab＝－2(a＋b)≥4，從而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，當且僅當a＝b＝－4時取等號．即ab的最小值為16. 答案：16 4．已知直線PQ的斜率為－，將直線繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60所得的直線的斜率為________． 解析：直線PQ的斜率為－，則直線PQ的傾斜角為120，所求直線的傾斜角為60，tan 60＝. 答案： 5．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是________． 解析：直線AB的方程為＋＝1， 設P(x，y)，則x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即當P點坐標為時，xy取最大值3. 答案：3 6．設點A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________． 解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1,0)時，b分別取得最小值和最大值． ∴b的取值范圍是[－2,2]． 答案：[－2,2] 第二節(jié)　兩直線的位置關(guān)系 考綱要求：1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直． 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標． 3．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2； ②當不重合的兩條直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2的關(guān)系為平行． (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則l1⊥l2?k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，l1與l2的關(guān)系為垂直． 2．兩條直線的交點 3．三種距離 點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (4)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，當k1≠k2時，l1與l2相交．(　　) (5)過l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)．(　　) (6)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (7)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．(　　) 答案：(1)　(2)　(3)√　(4)√　(5)　(6)　(7)√ 2．已知直線l過點P(1,2)，直線l1：2x＋y－10＝0. (1)若l∥l1，則直線l的方程為________； (2)若l⊥l1，則直線l的方程為________． 答案：(1)2x＋y－4＝0　(2)x－2y＋3＝0 3．經(jīng)過兩直線2x＋y－8＝0與x－2y＋1＝0的交點，且平行于直線4x－3y－7＝0的直線方程為____________． 答案：4x－3y－6＝0 4．原點到直線x＋2y－5＝0的距離是________． 答案： 5．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為________． 答案： [典題1]　(1)已知過點A(－2，m)和點B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為________． (2)已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． ①l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)； ②l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等． [聽前試做]　(1)∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴(－2)＝－1. 解得n＝－2，∴m＋n＝－10. (2)①由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，則1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 又∵l1過點(－3，－1)， ∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)， ∴此種情況不存在，∴k2≠0， 即k1，k2都存在． ∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.(*) 又∵l1過點(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.(**) 由(*)(**)聯(lián)立，解得a＝2，b＝2. ②∵l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a.(ⅰ) 又∵坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b.(ⅱ) 聯(lián)立(ⅰ)(ⅱ)，解得或 ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 答案：(1)－10 (1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件． (2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論． [典題2]　經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________________． [聽前試做]　法一：由方程組得即P(0,2)． ∵l⊥l3，∴直線l的斜率k1＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直線l過直線l1和l2的交點， ∴可設直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l與l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案：4x＋3y－6＝0 [探究]　若將本例中的“垂直”改為“平行”，如何求解？ 解：法一：由方程組得即P(0,2)． ∵l∥l3，∴直線l的斜率k1＝， ∴直線l的方程為y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 法二：∵直線l過直線l1和l2的交點， ∴可設直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l與l3平行， ∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，∴λ＝， ∴直線l的方程為3x－4y＋8＝0. (1)兩直線交點的求法 求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點． (2)常見的三大直線系方程 ①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． ②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． ③過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. [典題3]　已知點P(2，－1)． (1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程． (2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由． [聽前試做]　(1)過點P的直線l與原點的距離為2，而點P的坐標為(2，－1)，顯然，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件， 此時l的斜率不存在，其方程為x＝2. 若斜率存在，設l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得＝2，解得k＝. 此時l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖． 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 所以直線2x－y－5＝0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為＝. (3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離超過的直線，因此不存在過點P且到原點的距離為6的直線． 利用距離公式應注意： (1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|； (2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． 1．已知兩條平行直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為，則直線l1的方程為_________________________________________． 解析：∵l1∥l2，∴＝≠，∴或 ①當m＝4時，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0， ∴＝，解得n＝－22或18. 故所求直線l1的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②當m＝－4時，直線l1的方程為4x－8y－n＝0， 把l2的方程寫成為4x－8y－2＝0， ∴＝，解得n＝－18或22. 故所求直線l1的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 答案：2x4y＋9＝0或2x4y－11＝0 2．直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． 解析：法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－. ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當AB∥l時，有k＝kAB＝－，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當l過AB中點時，AB的中點為(－1,4)． ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1 對稱問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查學生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型，且主要有以下幾個命題角度： 角度一：點關(guān)于點的中心對稱問題 [典題4]　過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________． [聽前試做]　設l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 角度二：點關(guān)于直線的對稱問題 [典題5]　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為________． [聽前試做]　設A′(x，y)，由已知得 解得 故A′. 答案： 角度三：直線關(guān)于直線的對稱問題 [典題6]　已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程． [聽前試做]　在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設對稱點M′(a，b)，則 解得 ∴M′. 設直線m與直線l的交點為N，則 由得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過點N(4,3)， ∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. 角度四：對稱問題的應用 [典題7]　在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點．光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于________． [聽前試做]　以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，設AP＝x，P(x,0)，x∈(0,4)， 由光的反射定理，知點P關(guān)于直線BC、AC的對稱點P1(4,4－x)、P2(－x,0)，與△ABC的重心D，共線，所以＝，求得x＝，AP＝. 答案： (1)點P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足 (如角度一) (2)解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直．(如角度二) (3)若直線l1、l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上．(如角度三) (4)解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關(guān)鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解．(如角度四) ——————————[課堂歸納——感悟提升]———————————————— [方法技巧] 1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1k2＝－1. 2．與已知直線垂直及平行的直線系的設法 與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設為： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. 3．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，則： (1)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0； (2)l1∥l2?＝≠(A2B2C2≠0)； (3)l1與l2相交?≠(A2B2≠0)； (4)l1與l2重合?＝＝(A2B2C2≠0)． 4．對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱，利用坐標轉(zhuǎn)移法． [易錯防范] 1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮； 2．運用兩平行直線間的距離公式d＝的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為對應相等． 一、選擇題 1．當0＜k＜時，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選B　解方程組得交點為.因為0＜k＜，所以＜0，＞0.故交點在第二象限． 2．若直線l1：ax＋2y＋6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，則實數(shù)a＝(　　) A. B．－1　　　　 C．2　　　　 D．－1或2 解析：選A　∵a1＋(a－1)2＝0，∴a＝. 3．若直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：選A　∵直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與直線l2：x＋ny－3＝0之間的距離為， ∴∴n＝－2，m＝2(負值舍去)．∴m＋n＝0. 4．已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對稱，則直線l2的斜率為(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：選A　因為l1，l2關(guān)于直線y＝－x對稱，所以l2的方程為－x＝－2y＋3，即y＝x＋，即直線l2的斜率為. 5．已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點為P，則線段AB的長為(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：選B　依題意，a＝2，P(0,5)，設A(x,2x)，B(－2y，y)，故則A(4,8)，B(－4,2)，∴|AB|＝＝10. 二、填空題 6．已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8, l1∥l 2，則實數(shù)m的值為________． 解析：由(3＋m)(5＋m)－42＝0，得m＝－1或m＝－7， 當m＝－1時，直線l1與l2重合，舍去； 當m＝－7時，＝≠，兩直線平行． 答案：－7 7．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________． 解析：由得 ∴點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0， 即m1＋22＋5＝0，∴m＝－9. 答案：－9 8．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是__________________________． 解析：當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大．因為A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 三、解答題 9．正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程． 解：點C到直線x＋3y－5＝0的距離d＝＝. 設與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 則點C到直線x＋3y＋m＝0的距離 d＝＝， 解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0. 設與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0， 則點C到直線3x－y＋n＝0的距離 d＝＝，解得n＝－3或n＝9， 所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 10．已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程． 解：依題意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0， 聯(lián)立lAC，lCM得∴C(4,3)． 設B(x0，y0)，AB的中點M為， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)， ∴kBC＝，∴直線BC的方程為y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0. 1．若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是(　　) A. B．5 C. D．15 解析：選B　由題意得P1P2的中點P的軌跡方程是x－y－10＝0，則原點到直線x－y－10＝0的距離為d＝＝5. 2．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 解析：選B　直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)． 3．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為3，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 解析：選D　由|PA|＝|PB|知點P在AB的垂直平分線上．由點P的橫坐標為3，且PA的方程為x－y＋1＝0，得P(3，4)．直線PA，PB關(guān)于直線x＝3對稱，直線PA上的點(0,1)關(guān)于 直線x＝3的對稱點(6,1)在直線PB上，∴直線PB的方程為x＋y－7＝0. 4．若在平面直角坐標系內(nèi)過點P(1，)，且與原點的距離為d的直線有兩條，則d的取值范圍為________． 解析：因為原點到點P的距離為2，所以過點P的直線與原點的距離都不大于2，故d∈(0,2)． 答案：(0,2) 5.如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍為________． 解析：從特殊位置考慮．如圖， ∵點A(－2,0)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對稱點為A1(2,4)， ∴kA1F＝4.又點E(－1,0)關(guān)于直線AC：y＝x＋2的對稱點為E1(－2，1)，點E1(－2,1)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對稱點為E2(1,4)，此時直線E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 6．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA||PB|的最大值是________． 解析：易求定點A(0,0)，B(1,3)．當P與A和B均不重合時，因為P為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點，且易知兩直線垂直，則PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|≤＝5(當且僅當|PA|＝|PB|＝時，等號成立)；當P與A或B重合時，|PA||PB|＝0，故|PA||PB|的最大值是5. 答案：5 第三節(jié)　圓 的 方 程 考綱要求：1.掌握確定圓的幾何要素． 2．掌握圓的標準方程與一般方程． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C：(a，b) 半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心： 半徑：r＝ 2.點與圓的位置關(guān)系 (1)理論依據(jù)：點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系． (2)三種情況 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)， ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外； ③(x0－a)2＋(y0－b)20.(　　) (4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) (5)已知圓的方程為x2＋y2－2y＝0，過點A(1,2)作該圓的切線只有一條．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)　(4)√　(5) 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪ B. C．(－2,0) D. 解析：選D　由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜. 3．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 解析：選C　要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，圓心坐標為(1,2)．A，B，C，D四個選項中，只有C選項中的直線經(jīng)過圓心． 4．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4. 即a2<1，故－10)， 則解得 ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P、Q兩點的坐標分別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 設x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4， F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (3)法一：如圖，設圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標為(1，－4)，半徑r＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：設所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2， 根據(jù)已知條件得解得 因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 求圓的方程的方法 (1)方程選擇原則 求圓的方程時，如果由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要用圓心坐標列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關(guān)系，常選用一般方程． (2)求圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟如下： ①根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標準方程或一般方程． (xx江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________________． 解析：直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(2，－1)． 當圓與直線相切于點(2，－1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．歸納起來常見的命題角度有： 角度一：斜率型最值問題 [典題2]　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則的最大值為________，最小值為________． [聽前試做]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值(如圖)，此時＝，解得k＝，所以的最大值為，最小值為－. 答案：　－ 角度二：截距型最值問題 [典題3]　在典題2條件下，求y－x的最大值． [聽前試做]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示圓心為(2,0)，半徑r＝ 的圓． 設y－x＝b，y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2. 所以y－x的最大值為－2＋. 角度三：距離型最值問題 [典題4]　在典題2條件下，求x2＋y2的最大值和最小值． [聽前試做]　x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖)． 又因為圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 角度四：利用對稱性求范圍 [典題5]　設點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45，則x0的取值范圍是________． [聽前試做]　由題意可知M在直線y＝1上運動，設直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當x0＝0即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(1，0)符合要求；當x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45，只需∠OMP≥45.特別地，當∠OMP＝45時，有x0＝1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1] (1)形如μ＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過定點的動直線的斜率的最值問題．(如角度一) (2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，也可用三角代換求解．(如角度二) (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題．(如角度三) (4)與圓相關(guān)的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質(zhì)，借助幾何直觀求解．否則可用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值．(如角度四) [典題6]　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求線段PQ中點的軌跡方程． [聽前試做]　(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設PQ的中點為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． (2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． (4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等． 已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． 解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16， 所以圓心為C(0,4)，半徑為4.