2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算教案 理 新人教A版 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念 (1)了解向量的實(shí)際背景; (2)理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義; (3)理解向量的幾何表示. 2.向量的線性運(yùn)算 (1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義; (2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義; (3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意義; (2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示; (3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算; (4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 4.平面向量的數(shù)量積 (1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義; (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系; (3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算; (4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.向量的應(yīng)用 (1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題; (2)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題. 本章重點(diǎn): 1.向量的各種運(yùn)算; 2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想; 3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問(wèn)題中的應(yīng)用. 本章難點(diǎn): 1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問(wèn)題中的應(yīng)用; 2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用. 向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景,同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范,正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”,所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中,不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識(shí)和方法,而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查. 在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算 典例精析 題型一 向量的有關(guān)概念 【例1】 下列命題: ①向量的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度相等; ②向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反; ③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量,其終點(diǎn)必相同; ④向量與向量是共線向量,則A、B、C、D必在同一直線上. 其中真命題的序號(hào)是 . 【解析】①對(duì);零向量與任一向量是平行向量,但零向量的方向任意,故②錯(cuò);③顯然錯(cuò);與是共線向量,則A、B、C、D可在同一直線上,也可共面但不在同一直線上,故④錯(cuò).故是真命題的只有①. 【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵,注意到特殊情況,否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可. 【變式訓(xùn)練1】下列各式: ①|(zhì)a|=; ②(ab) c=a (bc); ③-=; ④在任意四邊形ABCD中,M為AD的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),則+=2; ⑤a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a與b不共線,則(a+b)⊥(a-b). 其中正確的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.| a|=正確;(ab) c≠a (bc); -=正確;如下圖所示, =++且=++, 兩式相加可得2=+,即命題④正確; 因?yàn)閍,b不共線,且|a|=|b|=1,所以a+b,a-b為菱形的兩條對(duì)角線, 即得(a+b)⊥(a-b). 所以命題①③④⑤正確. 題型二 與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題 【例2】如圖,ABCD是平行四邊形,AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)M在線段DO上,且=,點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示,,. 【解析】在?ABCD中,AC,BD交于點(diǎn)O, 所以==(-)=(a-b), ===(+)=(a+b). 又=, =, 所以=+=b+ =b+(a-b)=a+b, =+=+ ==(a+b)=(a+b). 所以=- =(a+b)-(a+b)=a-b. 【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示,即平面向量基本定理的應(yīng)用,在運(yùn)用向量解決問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形. 【變式訓(xùn)練2】O是平面α上一點(diǎn),A、B、C是平面α上不共線的三點(diǎn),平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ(+),若λ=時(shí),則(+)的值為 . 【解析】由已知得-=λ(+), 即=λ(+),當(dāng)λ=時(shí),得=(+), 所以2=+,即-=-, 所以=, 所以+=+=0, 所以 (+)=0=0,故填0. 題型三 向量共線問(wèn)題 【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. (1)若=a+b, =2a+8b, =3(a-b), 求證:A,B,D三點(diǎn)共線; (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線. 【解析】(1)證明:因?yàn)椋絘+b, =2a+8b, =3(a-b), 所以=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5, 所以, 共線.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B, 所以A,B,D三點(diǎn)共線. (2)因?yàn)閗a+b和a+kb共線, 所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb), 所以(k-λ)a=(λk-1)b. 因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量, 所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=1. 【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中,要注意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想. (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn),+2+3=0,則△OAC的面積與△OAB的面積之比是( ) A. B. C.2 D. 【解析】如圖,在三角形ABC中, +2+3=0,整理可得++2(+)=0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E,BC邊的中點(diǎn)為F,則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的處,即OE=2OF. 設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h,則S△OAC=S△OAE+S△OEC=OE (+)=OEh, S△OAB=ABh=ABh, 由于AB=2EF,OE=EF,所以AB=3OE, 所以==.故選B. 總結(jié)提高 1.向量共線也稱向量平行,它與直線平行有區(qū)別,直線平行不包括共線(即重合)的情形,而向量平行則包括共線(即重合)的情形. 2.判斷兩非零向量是否平行,實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù),使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出來(lái). 3.當(dāng)向量a與b共線同向時(shí),|a+b|=|a|+|b|; 當(dāng)向量a與b共線反向時(shí),|a+b|=||a|-|b||; 當(dāng)向量a與b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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