2019-2020年高中數(shù)學第3章概率3.3幾何概型名師導航學案蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學第3章概率3.3幾何概型名師導航學案蘇教版必修3 三點剖析 一、幾何概型的定義 在古典概型中，利用等可能性的概念，成功地計算了某一類問題的概率；不過，古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限.這不能不說是一個很大的限制，人們當然要竭力突破這個限制，以擴大自己的研究范圍.因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到有無限多個結(jié)果而又有某種等可能性的場合.這類問題一般可以通過幾何方法來求解. 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型. 對于這一定義也可以作以下理解：設在空間上有一區(qū)域D，又區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)（如圖7-3所示），而區(qū)域D與d都是可以度量的（可求面積、長度、體積等），現(xiàn)隨機地向D內(nèi)投擲一點M，假設點M必落在D中，且點M可能落在區(qū)域D的任何部分,那么落在區(qū)域d內(nèi)的概率只與d的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與d的位置和形狀無關.具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型. 圖7-3 二、幾何概型的概率計算 1．幾何概型的概率計算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地抽取一點，記“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率 P(A)= 這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等. 2．幾何概型的概率的取值范圍 同古典概型概率的取值范圍一樣,幾何概型的概率的取值范圍也是0≤P(A)≤1．這是因為區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)，則區(qū)域d的“測度”不大于區(qū)域D的“測度”.當區(qū)域d的“測度”為0時，事件A是不可能事件，此時P(A)=0；當區(qū)域d的“測度”與區(qū)域D的“測度”相等時，事件A是必然事件，此時P(A)=1． 3．求古典概型概率的步驟： （1）求區(qū)域D的“測度”； （2）求區(qū)域d的“測度”； （3）代入計算公式. 問題探究 問題1:利用幾何概型求概率應注意哪些問題？ 探究：應該注意到: （1）幾何型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型； （2）幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關的題目； （3）公式為P(A)= ； （4）計算幾何概率要先計算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應的長度（角度、面積、體積）. 問題2:如圖7-4所示,設M為線段AB的中點，在AB上任取一點C，則AC、CB、AM三個線段能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率是多少？ 圖7-4 探究：由于C點是線段AB上的任意點，所以這三條線段有可能構(gòu)成三角形.又由于點C落在AB上的哪個位置都是隨機的、等可能的，故此問題屬于幾何概型. 把“能構(gòu)成三角形”記為事件A．由于構(gòu)成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊，而點C在線段AB上，則AC+CB=AB>AM，所以要AC、CB、AM三個線段能構(gòu)成三角形只需|AC-BC|
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