34直線的投影

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1、1.直 線 的 投 影 特 性3.4 直 線 的 投 影 a bBA(3)類 似 性 ： 直 線 傾斜 于 投 影 面 時 ， 其投 影 小 于 實 長 ；a bA B a(b)AB(1)真 實 性 ： 直 線 平行 于 投 影 面 時 ， 其投 影 等 于 實 長 ； (2)積 聚 性 ： 直 線 垂直 于 投 影 面 時 ， 其投 影 積 聚 為 一 點 。 YZHVX o W 直 線 的 三 面 投 影 ， 可 由 直 線 上 不 同 位 置 的 兩 個 點的 同 面 投 影 的 連 線 來 確 定 。3.4.1 直 線 的 三 面 投 影 ba BAa b ba b bb YWYHo

2、ZXaa aA、 B兩 點 的 三面 投 影 圖連 接 AB兩 點 的 同面 投 影 ， 即 為 直線 AB的 投 影 b bb YWYHo ZXaa a 空 間 位 置 直 線 在 三 面 體 系 中 ,對 投 影 面 的 相 對 位置 有 三 類 ： 一 般 位 置 直 線 投 影 面 平 行 線 投 影 面 垂 直 線 統(tǒng) 稱 為 特 殊 位 置 直 線1. 一 般 位 置 直 線 對 三 個 投 影 面 都 傾 斜 的 直 線 為 一 般 位 置 直 線 。 其 投 影 特 性 ： （ 1） 一 般 位 置 直 線 的 各 面 投 影 都 與 投 影 軸 傾 斜 。 （ 2） 一 般

3、位 置 直 線 的 各 面 投 影 長 度 都 小 于 實 長 。3.4.2 各 種 位 置 直 線 的 投 影 一 般 位 置 直 線 a sa s aszx 圖 2-24 一 般 位 置 直 線 的 投 影 特 性 投 影 特 性 ：三 個 投 影 為 傾 斜 線 ，均 小 于 實 長 ；各 投 影 與 投 影 軸 的 夾角 不 反 映 直 線 對 投 影面 的 夾 角 。y H yW (1) 投 影 面 平 行 線 :平 行 于 某 一 投 影 面 而 與 另 兩 投 影 面傾 斜 的 直 線 。 水 平 線 （ H 面 ） 、 正 平 線 （ V面 ） 、 側(cè) 平 線 （ W面 ） (

4、2) 投 影 面 垂 直 線 :垂 直 于 某 一 投 影 面 的 直 線 。 鉛 垂 線 （ H 面 ） 、 正 垂 線 （ V面 ） 、 側(cè) 垂 線 （ W面 ） 2. 特 殊 位 置 直 線投 影 面 平 行 線 的 投 影 特 性 ：1) 在 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 實 長 ；2) 其 它 投 影 平 行 于 相 應(yīng) 的 投 影 軸 ；3） 反 映 實 長 的 投 影 與 投 影 軸 所 夾 的 角 度 等 于 空 間 直 線 對 相 應(yīng)投 影 面 的 傾 角 。投 影 面 垂 直 線 的 投 影 特 性 ：1) 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 的 投

5、影 有 積 聚 性 ；2) 其 他 投 影 反 映 實 長 ， 且 垂 直 于 相 應(yīng) 的 投 影 軸 。 ZX YV H WOa b a b X ZY H YWOA Ba b a b baabab與 OX和 OYH的 夾 角 、 等 于 AB對 V、 W面 的 傾 角 水 平 線 ab=AB a b OX、a b OYW都 不 反 映 實 長 ZX YOV H Wc dC D c d X ZY H YWOc dc d dcdc cd OX、a b OY W都 不 反 映 實 長 c d 與 OX和 OZ的 夾 角 、 等 于 CD對 H、 W面 的 傾 角 正 平 線 c d =CD ZX

6、YOV WH fe f eX ZY H YWO FE e f 側(cè) 平 線 e f =EF ef OYH、 e f OZ 都 不 反 映 實 長e f 與 OYW和 OZ的 夾角 、 等 于 EF對 H、V面 傾 角 fef e ef 投影面平行線 名 稱 立 體 圖 投 影 圖 投 影 特 性水 平 線（ H）正 平 線（ V）側(cè) 平 線（ W） (1)ab OX,ab OYW；(2)ab=AB；(3)反 映 夾 角、 大 小(1)ab OX,ab OZ；(2)ab=AB；(3)反 映 夾 角、 大 小(1)ab OY H,ab OZ；(2)ab=AB；(3)反 映 夾 角、 大 小 ZX Y

7、OHV WABab a(b)ab YWX ZY HO abbaa(b) a b = a b =AB,且a b OX、a b OYW鉛 垂 線 :水 平 投 影a（ b） 積 聚 一 點 ZX YOHV Wc( d) CDd c X ZY H YWOc( d)dc cddc 正 垂 線 :正 面 投 影c （ d ） 積 聚 一 點cd=c d =CD,且cd OX、 a b OZ ZX YOHV Wfe fe fe feX ZY H YWO ( )e kFE ( )ek 側(cè) 垂 線 :側(cè) 面 投 影e （ f ） 積 聚 一 點ef=e f =EF,且ef OY H、 e f OZ 投影面垂直

8、線 名 稱 立 體 圖 投 影 圖 投 影 特 性鉛 垂 線（ H ）正 垂 線（ V ）側(cè) 垂 線（ W ） (1)H投 影 為 一點 ， 有 積 聚 性 ；(2)abOX, abOYW ；(3)ab=ab =AB(1)V投 影 為 一點 ， 有 積 聚 性 ；(2)abOX, abOZ ；(3)ab=ab =AB(1)W投 影 為 一點 ， 有 積 聚 性 ；(2)abOY H, abOZ ；(3)ab=ab =AB AB、 BC為 水 平 線 ； AC為 側(cè) 垂 線 ；SB為 側(cè) 平 線 ； SA、 SC為 一 般 位 置 直 線 。 直 線 投 影 練 習 ： 一 般位 置 側(cè) 平 側(cè)

9、 垂 鉛 垂 nm ba水 平 一 般位 置 a b a b a b 3.4.3 直 線 上 點 的 投 影 zx y H yW k k k 圖 2-25 直 線 上 點 的 投 影投 影 特 性 ： 直 線 上 點 ， 其 各 面 投 影必 在 該 直 線 同 面 投 影 上 ，反 之 ， 如 點 的 各 面 投 影 在直 線 的 同 面 投 影 上 ， 則 該點 必 在 直 線 上 。 點 分 割 線 段 之 比 ， 等 于點 的 各 面 投 影 分 割 線 段 的同 面 投 影 之 比 。 AK : KB = ak : kb = ak : kb = ak : kb 解 ： 分 析 ： C

10、D為 側(cè) 平 線 ， K在 直 線 上 ， 必 在 直 線 AB的 同 面 投 影 上 ，作 圖 ： X cd Odk c X cd Odk ck 例 3-1 已 知 直 線 CD的 正 面 投 影 和 水 平 投 影 和 點 K的 水 平 投影 ， 求 點 K的 正 面 投 影 。 圖 2-26 求 直 線 上 點 的 投影 l2l1 l2l1k1 d1 X ab Obmam z b am例 3-2 已 知 直 線 AB和 點 M的 正 面 投 影 和 水 平 投 影 ， 問點 M是 否 在 直 線 上 ？解 ： 分 析 ： AB為 側(cè)平 線 ， M在 直 線 上 ，必 在 直 線 AB的

11、同 面投 影 上 ， 并 滿 足 定比 規(guī) 律 。作 圖 ：方 法 一分 割 線 段 成 定 比方 法 二 畫 第 三 投 影 圖 2-27 判 斷 點 是 否 在 直 線 上結(jié) 論 ： 點 M不 在 直 線 上 。 yWyH H空 間 兩 直 線 的 相 對 位 置 有 :平 行 、 相 交 、 交 叉 。1 . 平 行 兩 直 線 ： 空 間 相 互 平行 的 兩 直 線 ,它 們 的 各 組 同 面投 影 也 一 定 相 互 平 行 。3.4.4 兩 直 線 的 相 對 位 置a bc d X ZYH YWOc dc d d ca ba b baA BC DAB CD， 則 ab cd、

12、a b c d 、a b c d 。反 之 亦 成 立 。 例 3-3 判 斷 兩 直 線 是 否 平 行 ？結(jié) 論 ： 兩 直 線 不 平 行 空 間 兩 直 線 AB， CD相 交于 點 K ， 則 交 點 K 是 兩 直 線 的共 有 點 。 同 時 K 要 符 合 點 的 投影 規(guī) 律 。 X ZY H YWOa ba b abc dc d c dk kk A BC DKc da bkab 、 cd交 于 ka b 、 c d 交 于 k a b 、 c d 交 于 k2. 相 交 兩 直 線 例 3-4 判 斷 兩 直 線 是 否 相 交 ？ 結(jié) 論 ： 兩 直 線 不 相 交 。 a bc da bc dV H OX 在 空 間 既 不 平 行 也 不 相 交 的 兩 直線 ， 叫 交 叉 直 線 。 它 們 的 三 面 投 影 不具 有 平 行 或 相 交 兩 直 線 的 投 影 特 性 。 43 21X O(4)3a bc d2(1)A BDC c da b3(4) 交 點 是 一 對 重影 點 的 投 影 。3. 交 叉 兩 直 線 2(1) 作 業(yè)練 習 冊 ： P6 4、 5、 6