2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十三節(jié) 函數(shù)的應(yīng)用教材.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十三節(jié) 函數(shù)的應(yīng)用教材 教 材 面 面 觀 常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)變化情況: (1)一次函數(shù)模型:f(x)=________(k,b為常數(shù),k≠0),當(dāng)k>0時(shí),f(x)為增函數(shù),這個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度是均勻的,我們常常用“直線上升”來(lái)形容一次函數(shù)模型的這個(gè)增長(zhǎng)性質(zhì); (2)反比例函數(shù)模型:f(x)=________(k,b為常數(shù),k≠0),當(dāng)k>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)(根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知,f(x)在(-∞,0)上也是減函數(shù)),而且在(0,+∞)上,f(x)遞減的速度越來(lái)越緩慢; (3)二次函數(shù)模型:f(x)=________(a,b,c為常數(shù),a≠0),當(dāng)a>0時(shí),f(x)在[-,+∞)上是增函數(shù),且增長(zhǎng)速度是變化的; (4)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=________(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1),當(dāng)a>0,b>1時(shí),f(x)是增函數(shù),且增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快,底數(shù)越大,增長(zhǎng)速度越驚人.我們常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容這個(gè)性質(zhì); (5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:f(x)=________(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1),當(dāng)m>0,a>1時(shí),f(x)是增函數(shù),但是增長(zhǎng)的速度越來(lái)越緩慢,底數(shù)越大,這個(gè)情況越明顯.我們常用“對(duì)數(shù)平緩”來(lái)形容這個(gè)性質(zhì); (6)冪函數(shù)模型:f(x)=________(a,n,b為常數(shù),a≠0,n≠0).當(dāng)a>0,n>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且增長(zhǎng)的快慢程度與指數(shù)n密切相關(guān). 答案 kx+b +b ax2+bx+c abx+c mlogax+n axn+b 考 點(diǎn) 串 串 講 1.三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的增減性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增長(zhǎng)的速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn) 圖象的變化 隨x增大逐漸上升 隨x增大逐漸上升 隨n值而不同 2.函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)增長(zhǎng)速度的對(duì)比 (1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間(0,+∞)上,無(wú)論n比a大多少,盡管在x的一定范圍內(nèi),ax會(huì)小于xn,但由于指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度快于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有ax>xn. (2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間(0,+∞)上,盡管在x的一定范圍內(nèi),logax可能會(huì)大于xn,但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng),因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有xn>logax. (3)在區(qū)間(0,+∞)上,盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但它們的增長(zhǎng)速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有l(wèi)ogax<xn<ax. 3.解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是 第一步:閱讀題目中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鲋兴从车膶?shí)際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).尤其是理解敘述中的新名詞、新概念,進(jìn)而把握住新信息. 在此基礎(chǔ)上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知識(shí),確定自變量與函數(shù)值的意義.審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量,要勇于探索,敏于發(fā)現(xiàn)、歸納,善于聯(lián)想、化歸,實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 第二步:引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型. 一般地,設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量,然后根據(jù)已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化,即所謂建立數(shù)學(xué)模型. 第三步:利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果. 第四步:再轉(zhuǎn)設(shè)成具體問(wèn)題作出解答. 這個(gè)過(guò)程也可用以下框圖表示: 4.解答應(yīng)用題的關(guān)鍵 解答應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題上,而要準(zhǔn)確理解題意,又必須過(guò)好三關(guān): (1)通過(guò)閱讀、理解,明白問(wèn)題講的是什么,熟悉實(shí)際背景,為解題打開(kāi)突破口. (2)將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)式子表示數(shù)學(xué)關(guān)系. (3)在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索,從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,完成由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型之后,要真正解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,就需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力. 5.函數(shù)模型的確定 利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法: (1)根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系; (2)利用待定系數(shù)法,確定具體函數(shù)模型; (3)對(duì)選定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)、比較、并選擇最恰當(dāng)?shù)哪P停? (4)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚? 6.?dāng)?shù)學(xué)擬合過(guò)程中的假設(shè) 就一般的數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō),是離不開(kāi)假設(shè)的,如果在問(wèn)題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè),將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去.對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題就無(wú)法下手了,假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面: (1)進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩?wèn)題中的作用.通常,初步接觸一個(gè)問(wèn)題,會(huì)覺(jué)得圍繞它的因素非常多,經(jīng)仔細(xì)分析觀察,發(fā)現(xiàn)有的因素并無(wú)實(shí)質(zhì)聯(lián)系,有的因素是無(wú)關(guān)緊要的,排除這些因素,問(wèn)題則越發(fā)清晰明朗,在假設(shè)時(shí)就可以設(shè)這些因素不需考慮. (2)降低解題難度.雖然每一個(gè)解題者的能力不同,但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就都可以有能力建立數(shù)學(xué)模型,并且得到相應(yīng)的解. 一般情況下,是先在最簡(jiǎn)單的情形下組建模型,然后通過(guò)不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實(shí)際,從而得到更滿意的解. 典 例 對(duì) 對(duì) 碰 題型一 二次函數(shù)模型 例1某旅游公司有客房300間,每間日房租為20元,每天都客滿,公司欲提高檔次,并提高租金.如果每間客房每日增加2元,客房出租數(shù)就會(huì)減少10間,若不考慮其他因素,公司將房間租金提高到多少時(shí),每天客房的租金總收入最高. 解析 設(shè)客房租金每間提高x個(gè)2元,則將有10x間客房空出,客房租金總收入為y=(20+2x)(300-10x),x∈N.這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x==10,20+2x=40. 當(dāng)x=10時(shí),y最大值=(20+20)(300-100)=8000. 答:將房間租金提高到40元/間時(shí),客房租金總收入最高,每天為8000元. 點(diǎn)評(píng) 本題中自變量為正整數(shù),要結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性,確定何時(shí)取最大值,若求出對(duì)稱軸為x=a+,n是整數(shù),則x=n,n+1可能都符合題意,總之要注意二次函數(shù)的對(duì)稱性并結(jié)合定義域來(lái)解決問(wèn)題. 變式遷移1 有一批材料可以圍成200米長(zhǎng)的圍墻,現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地,且內(nèi)部用此材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示),則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為( ) A.1000米2 B.2000米2 C.2500米2 D.3000米2 答案 C 解析 設(shè)三個(gè)面積相等的矩形的長(zhǎng)、寬分別為x米、y米,如題圖所示,則4x+3y=200,又S=3xy=3x=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500,∴當(dāng)x=25時(shí),Smax=2500. 題型二 分段函數(shù)模型 例2某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為xx0元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知每月總收益滿足函數(shù): R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量. (1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x); (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益=總成本+利潤(rùn)) 分析 本題考查二次函數(shù)的解析式和最值問(wèn)題.由總收益=總成本+利潤(rùn),可知利潤(rùn)=總收益-總成本.由R(x)是分段函數(shù),所以f(x)也要分段求出.分別求出f(x)在各段中的最大值,通過(guò)比較,就能確定f(x)的最大值. 解析 (1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為xx0+100x,從而 f(x)= (2)當(dāng)0≤x≤400時(shí), f(x)=-x2+300x-xx0=-(x-300)2+25000, ∴當(dāng)x=300時(shí),f(x)max=25000. 當(dāng)x>400時(shí),f(x)=-100x+60000,此時(shí)f(x)在定義域上是減函數(shù), ∴f(x)<f(400)=xx0. 綜合以上情形可知,當(dāng)x=300時(shí),f(x)的最大值為25000. 答:每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25000元. 點(diǎn)評(píng) 在函數(shù)的應(yīng)用題中,已知的等量關(guān)系是解題的依據(jù).像此題中的利潤(rùn)=總收益-總成本,又如銷售額=銷售價(jià)格銷售數(shù)量等.另外,幾何中的面積、體積公式,物理學(xué)中的一些公式等,也常用來(lái)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系. 變式遷移2 已知A、B兩地相距150千米,某人開(kāi)汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地前往B地,到達(dá)B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地,把汽車離開(kāi)A地的距離x(千米)表示為時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù),則下列正確的是( ) A.x=60t+50t(0≤t≤6.5) B.x= C.x= D.x= 答案 D 解析 依題意,函數(shù)為分段函數(shù),求出每一段上的解析式即可. 題型三 指數(shù)函數(shù)模型 例3若某廠去年年產(chǎn)值為a萬(wàn)元,以后計(jì)劃每年按年增長(zhǎng)率為p%增長(zhǎng),則x年后的年產(chǎn)值y為多少呢? 解析 我們先看看特例: 經(jīng)過(guò)1年后其年產(chǎn)值為a(1+p%); 經(jīng)過(guò)2年后其年產(chǎn)值為a(1+p%)+a(1+p%)p%=a(1+p%)2; 經(jīng)過(guò)3年后其生產(chǎn)值為a(1+p%)3; 歸納到一般有:經(jīng)過(guò)x年后其生產(chǎn)值為y=a(1+p%)x. 因而得到增長(zhǎng)率的計(jì)算公式為y=a(1+p%)x. 類似地有下降率的計(jì)算公式為y=a(1-p%)x. 點(diǎn)評(píng) 類似地有儲(chǔ)蓄中復(fù)利的計(jì)算公式為y=a(1+r)x. 變式遷移3 為了預(yù)防甲型H1N1流感,某學(xué)校用某種藥物對(duì)教室進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=()t-a(a為常數(shù)),如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題: (1)求從藥物釋放開(kāi)始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放開(kāi)始,至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí),學(xué)生才能回到教室. 解析 (1)由于圖中直線的斜率k==10,所以圖象中線段的方程為y=10t(0≤t≤0.1), 又點(diǎn)(0.1,1)在曲線y=()t-a上,所以1=()0.1-a,所以a=0.1,因此含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y=. (2)因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中室內(nèi)藥量一直在增加,即使藥量小于0.25毫克,學(xué)生也不能進(jìn)入教室,所以只有當(dāng)藥物釋放完畢后,室內(nèi)藥量減少到0.25毫克以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室,即()t-0.1<0.25,解得t>0.6,所以從藥物釋放開(kāi)始,至少需要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí),學(xué)生才能回到教室. 題型四 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 例4有時(shí)可用函數(shù) f(x)=描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*),f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān). (1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降; (2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí),掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科. 分析 (1)只要根據(jù)函數(shù)解析式作差,判斷其單調(diào)遞減即可;(2)即當(dāng)自變量等于6,函數(shù)值等于0.85時(shí),確定正實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 (1)當(dāng)x≥7時(shí),f(x+1)-f(x)=,而當(dāng)x≥7時(shí),函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增,且(x-3)(x-4)>0,故f(x+1)-f(x)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降. (2)由題意可知0.1+15ln=0.85,整理得=e0.05, 解得a=6≈20.56=123,而123∈(121,127],由此可知,該學(xué)科是乙學(xué)科. 變式遷移4 在不考慮空氣阻力的條件下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是v=xxln(1+),要使火箭的最大速度可達(dá)12 km/s,則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是__________. 答案 e6-1 解析 v=12 km/s=1.2104 m/s, 代入v=xxln(1+)中得: 1.2104=xxln(1+)?=e6-1,即燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是e6-1. 題型五 對(duì)號(hào)函數(shù)模型 例5圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位:m),修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位:元). (1)將y表示為x的函數(shù); (2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用. 解析 (1)如圖所示,設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am, 則y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360, 由已知xa=360,得a=. 所以y=225x+-360(x>0). (2)∵x>0,∴225x+≥2=10800. ∴y=225x+-360≥10440. 當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立. 即當(dāng)x=24m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10440元. 變式遷移5 某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=-48x+8000,已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最大為210噸. (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元,那么年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少? 解析 (1)生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為f(x)==+-48(0<x≤210), 由于+-48≥2 -48=240-48=32, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=200時(shí)等號(hào)成立. 故年產(chǎn)量為200噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬(wàn)元. (2)設(shè)年利潤(rùn)為s,則s=40x-(-48x+8000)=-+88x-8000=-(x-220)2+1680(0<x≤210), 由于s在(0,210]上為增函數(shù),故當(dāng)x=210時(shí),s取得最大值為1660. 故年產(chǎn)量為210噸時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)為1660萬(wàn)元. 【教師備課資源】 題型六 一次函數(shù)模型 例6商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只定價(jià)20元,茶杯每只定價(jià)5元,該商店現(xiàn)推出兩種優(yōu)惠辦法: (1)買(mǎi)一只茶壺贈(zèng)送一只茶杯; (2)按購(gòu)買(mǎi)總價(jià)的92%付款. 某顧客需購(gòu)買(mǎi)茶壺4只,茶杯若干只(不少于4只),若以購(gòu)買(mǎi)x只茶杯的付款為y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出如果該顧客需購(gòu)買(mǎi)茶杯40只,應(yīng)選擇哪種優(yōu)惠辦法? 解析 由優(yōu)惠辦法(1)得函數(shù)關(guān)系式為y1=204+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*). 由優(yōu)惠辦法(2)得函數(shù)關(guān)系式為y2=(204+5x)92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*). 當(dāng)該顧客需購(gòu)買(mǎi)茶杯40只時(shí),采用優(yōu)惠辦法(1)應(yīng)付款y1=540+60=260(元);采用優(yōu)惠辦法(2)應(yīng)付款y2=4.640+73.6=257.6(元),由于y2<y1,因此應(yīng)選擇優(yōu)惠辦法(2). 點(diǎn)評(píng) 注意分析問(wèn)題時(shí)要抓住實(shí)質(zhì),本題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)一次函數(shù)問(wèn)題. 變式遷移6 某超市銷售一種奧運(yùn)紀(jì)念品,每件售價(jià)11.7元,后來(lái),此紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)降低了6.4%,售價(jià)不變,從而超市銷售這種紀(jì)念品的利潤(rùn)提高了8%.則這種紀(jì)念品的原進(jìn)價(jià)是________元. 答案 6.5 解析 設(shè)原進(jìn)價(jià)為x元,則依題意有(11.7-x)(1+8%)=11.7-(1-6.4%)x,解得x=6.5. 題型七 函數(shù)模型的確定 例7以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性體重的平均值表: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 體重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 15.70 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),能否從我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)y=ax+b,y=alnx,y=abx中選擇一種函數(shù),使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?試求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式; (2)若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么該地區(qū)某一中學(xué)生身高為175cm,體重為78kg,他的體重是否正常? 解析 根據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)關(guān)系式. (1)記身高為x,體重為y,作(x,y)的散點(diǎn)圖(略).根據(jù)變化趨勢(shì);增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快,事實(shí)上不畫(huà)散點(diǎn)圖,從表中也能觀察出這個(gè)變化趨勢(shì),再根據(jù)“對(duì)數(shù)增長(zhǎng),直線上升,指數(shù)爆炸”這個(gè)規(guī)律,應(yīng)選擇指數(shù)函數(shù)模型:y=abx,反映上述數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 把(70,7.90),(160,47.25)兩組數(shù)據(jù)代入上述關(guān)系,得 利用計(jì)算器,得a=2,b=1.02. 所以,該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的近似函數(shù)關(guān)系式可選為y=21.02x. 將沒(méi)有使用的表中自變量代入檢驗(yàn),可知所求函數(shù)模型能較好地反映題中關(guān)系. (2)把x=175代入y=21.02x得y=21.02175≈63.98. 由于7863.98≈1.22>1.2,因此可認(rèn)為這名男生體型偏胖. 點(diǎn)評(píng) 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),作出散點(diǎn)圖,然后通過(guò)觀察散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,再利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)擬合功能得出具體的函數(shù)關(guān)系式,再用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問(wèn)題,這是函數(shù)應(yīng)用的基本過(guò)程,但由于選擇函數(shù)模型的多種性,造成考查這種能力有一定困難,因此本題采用限定函數(shù)模型,若是進(jìn)一步限定所取散點(diǎn),則所得具體函數(shù)將是唯一的,這樣的題型是可以在考試中出現(xiàn)的,因?yàn)榇鸢肝ㄒ唬喚硪簿捅容^方便,也基本達(dá)到了考查應(yīng)用函數(shù)模型解題的能力這一目的. 變式遷移7 南方某地市場(chǎng)信息中心為了分析本地區(qū)蔬菜的供求情況,通過(guò)調(diào)查得到家種野菜“蘆蒿”的市場(chǎng)需求量和供應(yīng)量數(shù)據(jù)(見(jiàn)下表). 蘆蒿的市場(chǎng)需求量信息表(表1) 需求量y噸 40 38 37.1 36 32.8 30 價(jià)值x千元/噸 2 2.4 2.6 2.8 3.4 4 蘆蒿的市場(chǎng)供應(yīng)量信息表(表2) 價(jià)值y千元/噸 2 2.5 3.2 4.46 5 5.3 供應(yīng)量x噸 29 32 36.3 40.9 44.6 47 (1)試寫(xiě)出描述蘆蒿市場(chǎng)需求量y關(guān)于價(jià)格x的近似函數(shù)關(guān)系式; (2)試根據(jù)這些信息,探求市場(chǎng)對(duì)蘆蒿的供求平衡量(需求量與供應(yīng)量相等,又稱供求平衡),近似到噸. 解析 (1)在直角坐標(biāo)系中,由表(1)描出數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),由圖可知這些點(diǎn)近似地構(gòu)成一條直線(其中四個(gè)點(diǎn)在一條直線上),所以蘆蒿的市場(chǎng)需求量關(guān)于價(jià)格的近似函數(shù)關(guān)系式為y-40=(x-2),即y=50-5x?、?表(2)同理可知蘆蒿的市場(chǎng)價(jià)格關(guān)于供應(yīng)量的近似函數(shù)關(guān)系式為y=x-,所以蘆蒿的市場(chǎng)供應(yīng)量關(guān)于價(jià)格的近似函數(shù)關(guān)系為y=6x+17 ②. (2)解①、②聯(lián)立的方程組,得x=3,y=35,則市場(chǎng)對(duì)蘆蒿的供求平衡量為35噸. 題型八 幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)差異 例8研究函數(shù)y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在[0,+∞)上的增長(zhǎng)情況. 分析 畫(huà)出函數(shù)的圖象,先觀察圖象,然后給出具體的計(jì)算,或者給出一個(gè)粗略的估計(jì),如本題中令f(x)=0.5ex-x2-1,計(jì)算知f(2)<0,f(3)>0,則可以取x0=3,即當(dāng)x>3時(shí),不等式ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2恒成立. 解析 分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,從圖象上可以看出函數(shù)y=0.5ex-2的圖象首先超過(guò)了函數(shù)y=ln(x+1)的圖象,然后又超過(guò)了y=x2-1的圖象,即存在一個(gè)滿足0.5ex0-2=x-1的x0(這個(gè)x0的近似值可以用二分法求得),當(dāng)x>x0時(shí),ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2. 變式遷移8 研究函數(shù)y=0.1x與函數(shù)y=lgx在(0,+∞)上的變化情況. 解析 在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,可以看出,兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù),只在某一段區(qū)域上函數(shù)y=lgx的圖象位于函數(shù)y=0.1x圖象的上方,而當(dāng)x>10時(shí),恒有l(wèi)gx<0.1x. 方 法 路 路 通 1.分析不同類型函數(shù)增長(zhǎng)差異的方法是 (1)在同一坐標(biāo)系下正確、規(guī)范地作圖; (2)找到不同函數(shù)圖象的交點(diǎn); (3)注重每種函數(shù)自身的單調(diào)性; (4)整體把握. 2.幾類常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)是 (1)直線型y=kx+b(k>0)函數(shù)平穩(wěn)增長(zhǎng); (2)對(duì)數(shù)型y=logax(a>1)函數(shù)增長(zhǎng)緩慢; (3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)函數(shù)增長(zhǎng)迅速. 一般稱為直線上升,對(duì)數(shù)增長(zhǎng),指數(shù)爆炸. 3.解答應(yīng)用題的基本思想和程序 (1)解應(yīng)用題的基本思想 (2)解答應(yīng)用問(wèn)題的程序概括為“四步八字”,即 ①審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇模型. ②建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. ③求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論. ④還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原. 正 誤 題 題 辨 例如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b).在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x,當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?求出這個(gè)最大面積. 錯(cuò)解 設(shè)四邊形EFGH的面積為S, 由題意得S△AEH=S△CFG=x2, S△BEF=S△DHG=(a-x)(b-x). 由此得S=ab-2[x2+(a-x)(b-x)] =-2x2+(a+b)x =-2(x-)2+. 當(dāng)x=時(shí),S取得最大值. 點(diǎn)擊 錯(cuò)誤的原因在于忽略了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值范圍:0<x≤b.由于a>b>0,所以當(dāng)a>3b時(shí),>b,自變量x不能取得,面積S不能取得最大值. 正解 由前面的計(jì)算可得S=-2(x-)2+, 由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0<x≤b},因?yàn)閍>b>0,所以0<b<. 若≤b,即a≤3b,當(dāng)x=時(shí)面積S取得最大值; 若>b,即a>3b時(shí),函數(shù)S=-2(x-)2+在(0,b]上是增函數(shù),因此,當(dāng)x=b時(shí),面積S取得最大值ab-b2.綜上可知,若a≤3b,當(dāng)x=時(shí),四邊形EFGH的面積取得最大值;若a>3b,當(dāng)x=b時(shí),四邊形EFGH的面積取得最大值ab-b2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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