2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第六課時 解三角形應(yīng)用舉例教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第六課時 解三角形應(yīng)用舉例教案(二) 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo): 進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明確解斜三角形知識在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化,通過解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué),繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力;通過解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題,以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn),生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用.教學(xué)重點(diǎn): 1.實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化; 2.解斜三角形的方法. 教學(xué)難點(diǎn): 實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定. 教學(xué)過程: Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了解三角形問題在實(shí)際中的應(yīng)用,了解了一些把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題的方法,掌握了一定的解三角形的方法與技巧.這一節(jié),我們給出三個例題,要求大家嘗試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決. Ⅱ.例題指導(dǎo) [例1]如圖所示,為了測量河對岸A、B兩點(diǎn)間的距離,在這一岸定一基線CD,現(xiàn)已測出CD=a和∠ACD=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ADC=δ,試求AB的長. 分析:如圖所示,對于AB求解,可以在△ABC中或者是△ABD中求解,若在△ABC中,由∠ACB=α-β,故需求出AC、BC,再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD內(nèi)利用正弦定理求解,BC可在△BCD內(nèi)由正弦定理求解. 解:在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=α,∠ADC=δ,由正弦定理得 AC== 在△BCD中,由正弦定理得 BC== 在△ABC中,已經(jīng)求得AC和BC,又因?yàn)椤螦CB=α-β,所以用余弦定理.就可以求得AB= 評述:(1)要求學(xué)生熟練掌握正、余弦定理的應(yīng)用; (2)注意體會例1求解過程在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用. [例2]據(jù)氣象臺預(yù)報(bào),距S島300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成,并以每小時30 km的速度向北偏西30的方向移動,在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響.問:S島是否受其影響?若受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風(fēng)的影響?持續(xù)時間多久?說明理由. 分析:設(shè)B為臺風(fēng)中心,則B為AB邊上動點(diǎn),SB也隨之變化.S島是否受臺風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB≤270這一不等式是否有解的判斷,則需表示SB,可設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t小時到達(dá)B點(diǎn),則在△ABS中,由余弦定理可求SB. 解:設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t小時到達(dá)B點(diǎn), 由題意,∠SAB=90-30=60 在△SAB中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60, 由余弦定理得: SB2=SA2+AB2-2SAABcosSAB =3002+(30t)2-230030tcos60 若S島受到臺風(fēng)影響,則應(yīng)滿足條件 |SB|≤270,即SB2≤2702 化簡整理得,t2-10t+19≤0 解之得,5-≤t≤5+ 所以從現(xiàn)在起,經(jīng)過5-小時S島開始受到影響,(5+)小時后影響結(jié)束. 持續(xù)時間:(5+)-(5-)=2小時. 答:S島受到臺風(fēng)影響,從現(xiàn)在起,經(jīng)過(5-)小時,臺風(fēng)開始影響S島,且持續(xù)時間為2小時. 評述:此題為探索性命題,可以假設(shè)命題成立去尋求解存在條件,也可假設(shè)命題不成立去尋求解存在條件.本題求解過程采用了第一種思路.SB≤270是否有解最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式是否有解,與一元二次不等式解法相聯(lián)系. 說明:本節(jié)兩個例題要求學(xué)生在教師指導(dǎo)下自己完成,以逐步提高解三角形應(yīng)用題的能力. 練習(xí): 1.海中有一小島B,周圍3.8海里有暗礁,軍艦由西向東航行到A,望見島在北75東,航行8海里到C,望見島B在北60東,若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn),有無觸礁危險? 答案:不會觸礁. 2.直線AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60,AB=200 km,汽車以80 km/h速度由A向B行駛,同時摩托車以50公里的時速由B向C行駛,問運(yùn)動開始幾小時后,兩車的距離最小. 答案:約1.3小時. Ⅲ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明確解斜三角形知識在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用,熟練掌握由實(shí)際問題向解斜三角形類型問題的轉(zhuǎn)化,逐步提高數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力. Ⅳ.課后作業(yè) 課本P21習(xí)題 4,5,6. 解三角形應(yīng)用舉例 [例1]某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出求救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處,并測得漁船正沿方位角為105的方向,以9 n mile/h的速度向某小島B靠攏,我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時間. [例2]如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船,奉命以10海里/時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/時的速度,從B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間. [例3]用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空,分別測得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a,測角儀的高度是b,求氣球的高度. [例4]如圖所示,已知半圓的直徑AB=2,點(diǎn)C在AB的延長線上,BC=1,點(diǎn)P為半圓上的一個動點(diǎn),以DC為邊作等邊△PCD,且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè),求四邊形OPDC面積的最大值. [例5]如圖所示,為了測量河對岸A、B兩點(diǎn)間的距離,在這一岸定一基線CD,現(xiàn)已測出CD=a和∠ACD=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ADC=δ,試求AB的長. [例6]據(jù)氣象臺預(yù)報(bào),距S島300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成,并以每小時30 km的速度向北偏西30的方向移動,在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響.問:S島是否受其影響?若受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風(fēng)的影響?持續(xù)時間多久?說明理由. 練習(xí): 1.海中有一小島B,周圍3.8海里有暗礁,軍艦由西向東航行到A,望見島在北75東,航行8海里到C,望見島B在北60東,若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn),有無觸礁危險? 2.直線AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60,AB=200 km,汽車以80 km/h速度由A向B行駛,同時摩托車以50公里的時速由B向C行駛,問運(yùn)動開始幾小時后,兩車的距離最小. 解三角形應(yīng)用舉例 1.在△ABC中,下列各式正確的是 ( ) A. = B.asinC=csinB C.asin(A+B)=csinA D.c2=a2+b2-2abcos(A+B) 2.已知三角形的三邊長分別為a、b、,則這個三角形的最大角是 ( ) A.135 B.120 C.60 D.90 3.海上有A、B兩個小島相距10 nmile,從A島望B島和C島成60的視角,從B島望A島和C島成75角的視角,則B、C間的距離是 ( ) A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 4.如下圖,為了測量隧道AB的長度,給定下列四組數(shù)據(jù),測量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù) A.α、a、b B.α、β、a C.a、b、γ D.α、β、γ 5.某人以時速a km向東行走,此時正刮著時速a km的南風(fēng), 那么此人感到的風(fēng)向?yàn)? ,風(fēng)速為 . 6.在△ABC中,tanB=1,tanC=2,b=100,則c= . 7.某船開始看見燈塔在南偏東30方向,后來船沿南偏東60 的方向航行30 nmile后看見燈塔在正西方向,則這時船與燈 塔的距離是 . 8.甲、乙兩樓相距20 m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00,則甲、乙兩樓的高分別是 . 9.在塔底的水平面上某點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫棣龋纱它c(diǎn)向塔沿直線行走30米,測得塔頂?shù)难鼋菫?θ,再向塔前進(jìn)10米,又測得塔頂?shù)难鼋菫?θ,則塔高是 米. 10.在△ABC中,求證:-=-. 11.欲測河的寬度,在一岸邊選定A、B兩點(diǎn),望對岸的標(biāo)記物C,測得∠CAB=45,∠CBA=75,AB=120 m,求河寬.(精確到0.01 m) 12.甲艦在A處,乙艦在A的南偏東45方向,距A有9 nmile,并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛,若甲艦以28 nmile/h的速度行駛,應(yīng)沿什么方向,用多少時間,能盡快追上乙艦? 解三角形應(yīng)用舉例答案 1.C 2.B 3.D 4.C 5.東南 a 6.40 7.10 8.20, 9.15 10.在△ABC中,求證:-=-. 提示:左邊=-=(-)-2(-)=右邊. 11.欲測河的寬度,在一岸邊選定A、B兩點(diǎn),望對岸的標(biāo)記物C,測得∠CAB=45,∠CBA=75,AB=120 m,求河寬.(精確到0.01 m) 解:由題意C=180-A-B=180-45-75=60 在△ABC中,由正弦定理= ∴ BC====40 S△ABC=ABBCsinB=ABh ∴h=BCsinB=40=60+20≈94.64 ∴河寬94.64米. 12.甲艦在A處,乙艦在A的南偏東45方向,距A有9 nmile,并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行駛,若甲艦以28 nmile/h的速度行駛,應(yīng)沿什么方向,用多少時間,能盡快追上乙艦? 解:設(shè)th甲艦可追上乙艦,相遇點(diǎn)記為C 則在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120 由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC (28t)2=81+(20t)2-2920t(-) 整理得128t2-60t-27=0 解得t= (t=-舍去) 故BC=15(nmile),AC=21( nmile) 由正弦定理 ∴sinBAC== ∠BAC=arcsin 故甲艦沿南偏東-arcsin的方向用0.75 h可追上乙艦.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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