§3模擬方法—概率的應(yīng)用

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1、 3 模 擬 方 法 概 率 的 應(yīng) 用 1. 會(huì) 用 模 擬 方 法 估 計(jì) 概 率 ,近 似 計(jì) 算 不 規(guī) 則 圖 形 的 面 積 , 求 的 近 似 值 ;2. 通 過(guò) 解 決 具 體 問(wèn) 題 的 實(shí) 例 感 受 ,體 會(huì) 模 擬 方 法 的 基 本 思想 ,學(xué) 會(huì) 依 據(jù) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 試 驗(yàn) 結(jié) 果 設(shè) 計(jì) 合 理 的 模 擬 方 法 ,通過(guò) 模 擬 試 驗(yàn) 加 深 對(duì) 隨 機(jī) 事 件 頻 率 的 隨 機(jī) 性 和 概 率 的 穩(wěn) 定 性的 認(rèn) 識(shí) 以 及 用 頻 率 去 估 計(jì) 概 率 的 方 法 ; 3.通 過(guò) 模 擬 方 法 的 設(shè) 計(jì) 體 驗(yàn) 數(shù) 學(xué) 的 重 要 性 和

2、 信 息 技 術(shù) 帶給 數(shù) 學(xué) 的 幫 助 ;通 過(guò) 動(dòng) 手 模 擬 ,動(dòng) 腦 思 考 ,體 會(huì) 做 數(shù) 學(xué) 題 的樂(lè) 趣 ,提 高 學(xué) 習(xí) 興 趣 ;通 過(guò) 合 作 試 驗(yàn) ,培 養(yǎng) 學(xué) 生 愿 意 合 作 與交 流 的 團(tuán) 隊(duì) 精 神 ， 情 感 態(tài) 度 與 價(jià) 值 觀 增 強(qiáng) .本 節(jié) 課 的 主 要特 點(diǎn) 是 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 多 ， 學(xué) 習(xí) 時(shí) 養(yǎng) 成 勤 學(xué) 嚴(yán) 謹(jǐn) 的 學(xué) 習(xí) 習(xí) 慣 .重 點(diǎn) 與 難 點(diǎn) ： 幾 何 概 型 的 概 念 、 公 式 及 應(yīng) 用 . 1、 知 識(shí) 回 顧 ： 我 們 已 經(jīng) 學(xué) 習(xí) 了 兩 種 計(jì) 算 事 件 發(fā) 生 的 概 率的 方 法 :（ 1）

3、 通 過(guò) 試 驗(yàn) 方 法 得 到 事 件 發(fā) 生 的 頻 率 ,來(lái) 估 計(jì) 概 率 .(一種 近 似 估 計(jì) ,需 通 過(guò) 大 量 重 復(fù) 試 驗(yàn) )（ 2） 用 古 典 概 型 的 公 式 來(lái) 計(jì) 算 概 率 .(僅 適 用 于 基 本 事 件 為有 限 個(gè) 的 情 況 ) 在 概 率 論 發(fā) 展 的 早 期 ， 人 們 就 已 經(jīng) 注 意 到 只 考 慮 那 種僅 有 有 限 個(gè) 等 可 能 結(jié) 果 的 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 是 不 夠 的 ， 還 必 須 考 慮有 無(wú) 限 多 個(gè) 試 驗(yàn) 結(jié) 果 的 情 況 .常 常 會(huì) 遇 到 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能結(jié) 果 (即 基 本 事 件 )為 無(wú)

4、 窮 多 的 情 況 ,且 這 無(wú) 窮 多 個(gè) 基 本 事 件保 持 這 古 典 概 型 的 “ 等 可 能 性 ” .這 時(shí) 用 大 量 試 驗(yàn) 的 方 法 很難 獲 得 一 個(gè) 符 合 要 求 的 概 率 ,也 不 能 用 古 典 概 型 的 方 法 求解 .例 如 一 個(gè) 人 到 單 位 的 時(shí) 間 可 能 是 8： 00至 9： 00之 間 的 任何 一 個(gè) 時(shí) 刻 ； 往 一 個(gè) 方 格 中 投 一 個(gè) 石 子 ， 石 子 可 能 落 在 方格 中 的 任 何 一 點(diǎn) 這 些 試 驗(yàn) 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 都 是 無(wú) 限 多個(gè) .那 怎 么 辦 呢 ? 請(qǐng) 觀 察 下 列 問(wèn)

5、題 并 思 考 如 何 確 定 其 概 率 ? 問(wèn) 題 1： 如 圖 所 示 在 邊 長(zhǎng) 為 a的 正 方形 內(nèi) 有 一 個(gè) 不 規(guī) 則 的 陰 影 部 分 ， 那么 怎 樣 求 這 陰 影 部 分 的 面 積 呢 ？問(wèn) 題 2:一 個(gè) 人 上 班 的 時(shí) 間 可 以 是 8:00 9:00之 間 的 任 一 時(shí) 刻 ， 那 么 他 在8:30之 前 到 達(dá) 的 概 率 是 多 大 呢 ？問(wèn) 題 3:已 知 在 邊 長(zhǎng) 為 a的 正 方 形 內(nèi) 有一 個(gè) 半 徑 為 0.5的 圓 .向 正 方 形 內(nèi) 隨 機(jī)地 投 石 頭 ， 那 么 石 頭 落 在 圓 內(nèi) 的 概 率是 多 大 呢 ？帶 著

6、 上 述 的 問(wèn) 題 ， 我 們 開(kāi) 始 學(xué) 習(xí) 新 的內(nèi) 容 模 擬 方 法 與 概 率 的 應(yīng) 用 . 問(wèn) 題 1： 射 箭 比 賽 的 箭 靶 涂 有 五 個(gè) 彩 色 得 分 環(huán) ， 從 外 向 內(nèi)為 黑 色 、 白 色 、 藍(lán) 色 、 紅 色 ， 靶 心 為 黃 色 ,靶 面 直 徑 為122cm， 靶 心 直 徑 為 12.2cm， 運(yùn) 動(dòng) 員 在 70m外 射 擊 假 設(shè) 射 箭都 能 中 靶 ， 且 射 中 靶 面 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn) 都 是 等 可 能 的 ， 那 么 射中 黃 心 的 概 率 有 多 大 ？ 122cm（ 1） 試 驗(yàn) 中 的 基 本 事 件 是 什 么 ？

7、射 中 靶 面 上 每 一 點(diǎn) 都 是 一 個(gè) 基 本 事 件 ,這 一 點(diǎn) 可 以 是 靶 面 直 徑 為 122cm的 大 圓 內(nèi)的 任 意 一 點(diǎn) .（ 2） 每 個(gè) 基 本 事 件 的 發(fā) 生 是 等 可 能 的 嗎 ？（ 3） 符 合 古 典 概 型 的 特 點(diǎn) 嗎 ？ 問(wèn) 題 2:取 一 根 長(zhǎng) 度 為 3m的 繩 子 ， 拉 直 后 在 任 意 位 置 剪斷 ， 那 么 剪 得 兩 段 的 長(zhǎng) 都 不 小 于 1m的 概 率 有 多 大 ？3m（ 1） 試 驗(yàn) 中 的 基 本 事 件 是 什 么 ？（ 2） 每 個(gè) 基 本 事 件 的 發(fā) 生 是 等 可 能 的 嗎 ？（ 3）

8、符 合 古 典 概 型 的 特 點(diǎn) 嗎 ？ 從 每 一 個(gè) 位 置 剪 斷 都 是 一 個(gè) 基 本 事 件 ,剪 斷 位 置 可 以是 長(zhǎng) 度 為 3m的 繩 子 上 的 任 意 一 點(diǎn) . 問(wèn) 題 3: 有 一 杯 1升 的 水 ， 其 中 漂 浮 有 1個(gè) 微 生 物 ， 用 一 個(gè)小 杯 從 這 杯 水 中 取 出 0.1升 ， 求 小 杯 水 中 含 有 這 個(gè) 微 生 物的 概 率 .（ 1） 試 驗(yàn) 中 的 基 本 事 件 是 什 么 ？（ 2） 每 個(gè) 基 本 事 件 的 發(fā) 生 是 等 可 能 的 嗎 ？（ 3） 符 合 古 典 概 型 的 特 點(diǎn) 嗎 ？微 生 物 出 現(xiàn) 的

9、 每 一 個(gè) 位 置 都 是 一 個(gè) 基 本 事件 ,微 生 物 出 現(xiàn) 位 置 可 以 是 1升 水 中 的 任 意一 點(diǎn) . (1)一 次 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 有 無(wú) 限 多 個(gè) ；(2) 每 個(gè) 結(jié) 果 發(fā) 生 的 可 能 性 大 小 相 等 上 面 三 個(gè) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 有 什 么 共 同 特 點(diǎn) ？向 平 面 上 有 限 區(qū) 域 （ 集 合 ） G內(nèi) 隨 機(jī) 的 投 擲 點(diǎn)M， 若 點(diǎn) M落 在 子 區(qū) 域 G G的 概 念 與 G 的 面 積 成正 比 。 而 與 G的 形 狀 、 位 置 無(wú) 關(guān) ， 即G 的 面 積P（ 點(diǎn) M落 在 G ） = ，

10、G的 面 積則 稱 這 種 幾 何 概 型模 型 為 1 111 將 古 典 概 型 中 的 基 本 事 件 的 有 限 性 推 廣 到 無(wú) 限 性 ，而 保 留 等 可 能 性 ， 就 得 到 幾 何 概 型 1、 基 本 事 件 的 個(gè) 數(shù) 有 限 .2、 每 一 個(gè) 基 本 事 件 都 是 等 可 能 發(fā) 生 的 古 典 概 型 的 本 質(zhì) 特 征 ：幾 何 概 型 的 特 點(diǎn) ：（ 1） 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 有 無(wú) 限 多 個(gè) ,（ 2） 每 個(gè) 試 驗(yàn) 結(jié) 果 的 發(fā) 生 是 等 可 能 的 .古 典 概 型 與 幾 何 概 型 之 間 的 聯(lián) 系 : 試

11、 驗(yàn) 1： 取 一 個(gè) 矩 形 ， 在 面 積 為 四 分 之 一 的 部 分 畫(huà) 上 陰 影 ，隨 機(jī) 地 向 矩 形 中 撒 一 把 芝 麻 （ 以 數(shù) 100粒 為 例 ） ， 假 設(shè) 每 一粒 芝 麻 落 在 正 方 形 內(nèi) 的 每 一 個(gè) 位 置 的 可 能 性 大 小 相 等 .統(tǒng) 計(jì)落 在 陰 影 內(nèi) 的 芝 麻 數(shù) 與 落 在 矩 形 內(nèi) 的 總 芝 麻 數(shù) ， 觀 察 它 們有 怎 樣 的 比 例 關(guān) 系 ？ A分 析 :由 于 區(qū) 域 A的 面 積 是 正 方 形面 積 的 1 4,因 此 大 約 有 1 4的 芝麻 (25個(gè) )落 在 陰 影 部 分 A內(nèi) 落 在 區(qū) 域

12、 A內(nèi) 的 芝 麻 數(shù)落 在 正 方 形 內(nèi) 的 芝 麻 數(shù) 區(qū) 域 A的 面 積正 方 形 的 面 積通 過(guò) 計(jì) 算 機(jī) 做 模 擬 試 驗(yàn) ,不 難 得 出 下 面 的 結(jié) 論 : 一 般 地 ,在 向 幾 何 區(qū) 域 D中 隨 機(jī) 地 投 一 點(diǎn) ,記 事 件 A為 “ 該點(diǎn) 落 在 其 內(nèi) 部 一 個(gè) 區(qū) 域 d內(nèi) ” ,則 事 件 A發(fā) 生 的 概 率 為 :P(A)= 區(qū) 域 d的 面 積 (長(zhǎng) 度 或 體 積 )區(qū) 域 D的 面 積 (長(zhǎng) 度 或 體 積 )注 :利 用 這 個(gè) 定 理 可 以求 出 不 規(guī) 則 圖 形 的 面積 、 體 積 . D d 用 模 擬 方 法 估 計(jì)

13、 圓 周 率 的 值y x0 1-1 1 -1 基 本 思 想 : 先 作 出 圓 的 外 切 正方 形 ,再 向 正 方 形 中 隨 機(jī) 地 撒芝 麻 ,數(shù) 出 落 在 圓 內(nèi) 的 芝 麻 數(shù)和 落 在 正 方 形 中 的 芝 麻 數(shù) ,用芝 麻 落 在 圓 內(nèi) 的 頻 率 來(lái) 估 計(jì) 圓與 正 方 形 的 面 積 比 ,由 此 得 出 的 近 似 值 .我 國(guó) 古 代 數(shù) 學(xué) 家 祖 沖 之 早 在 1500多 年 前 就 算 出 圓 周 率 的 值在 3.1415926和 3.1415927之 間 ， 這 是 我 國(guó) 古 代 數(shù) 學(xué) 家 的 一 大成 就 ， 請(qǐng) 問(wèn) 你 知 道 祖 沖

14、之 是 怎 樣 算 出 的 近 似 值 的 嗎 ？ 正 方 形 的 面 積 =落 在 區(qū) 域 A內(nèi) 的 芝 麻 數(shù)落 在 正 方 形 內(nèi) 的 芝 麻 數(shù) 圓 的 面 積 4問(wèn) 題 ： 如 果 正 方 形 面 積 不 變 ， 但 形 狀 改 變 ， 所 得 的比 例 發(fā) 生 變 化 嗎 ？每 個(gè) 事 件 發(fā) 生 的 概 率 只 與 該 事 件 區(qū) 域 的 長(zhǎng) 度 （ 面 積 或體 積 ） 有 關(guān) ， 與 圖 形 的 形 狀 無(wú) 關(guān) . 例 1 某 人 午 覺(jué) 醒 來(lái) ， 發(fā) 現(xiàn) 表 停 了 ， 他 打 開(kāi) 收 音 機(jī) ， 想 聽(tīng) 電臺(tái) 報(bào) 時(shí) ， 求 他 等 待 的 時(shí) 間 不 多 于 10分

15、鐘 的 概 率 .解 ： 設(shè) A=等 待 的 時(shí) 間 不 多 于 10分 鐘 ， 事 件 A恰 好 是 打 開(kāi)收 音 機(jī) 的 時(shí) 刻 位 于 50， 60分 鐘 時(shí) 間 段 內(nèi) ， 因 此 由 幾 何 概型 的 概 率 公 式 得P（ A） =（ 60-50） /60=1/6“ 等 待 報(bào) 時(shí) 的 時(shí) 間 不 超 過(guò) 10分 鐘 ” 的 概 率 為 1/6.例 題 講 解 ： 例 2 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， 在 斜 邊 AB上 任 取 一 點(diǎn) M， 求AM小 于 AC的 概 率 CA C BM解 ： 在 AB上 截 取 AC AC，故 AM AC的 概 率 等 于AM A

16、C 的 概 率 記 事 件 A為 “ AM小 于 AC” ， 222)( ACACABCAABACAP答 ： AM AC的 概 率 為 .22 結(jié) 論 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 所 構(gòu) 成 的 區(qū) 域 長(zhǎng) 度構(gòu) 成 事 件 A的 區(qū) 域 長(zhǎng) 度( )P A 例 3、 小 明 家 的 晚 報(bào) 在 下 午 5： 30 6： 30之 間 的 任 何 一 個(gè) 時(shí)間 隨 機(jī) 地 被 送 到 ， 小 明 一 家 人 在 下 午 6： 00 7： 00之 間 的任 何 一 個(gè) 時(shí) 間 隨 機(jī) 地 開(kāi) 始 晚 餐 .（ 1） 你 認(rèn) 為 晚 報(bào) 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 前 被 送 到 和

17、 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 后被 送 到 哪 一 種 可 能 性 更 大 ？（ 2） 求 晚 報(bào) 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 前 被 送 到 的 概 率 是 多 少 ? （ 1） 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 模 擬 方 案 晚 報(bào) 在 5:00 6:00之 間 送 到 ， 或 晚 餐 在 6： 307： 00之 間 開(kāi) 始 ， 這 兩 種 情 況 都 使 得 晚 報(bào) 的 送 達(dá) 在 晚 餐 開(kāi)始 之 前 ， 因 此 晚 報(bào) 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 前 被 送 到 的 可 能 性 更 大 .我 們 用 模 擬 方 法 來(lái) 估 計(jì) 晚 報(bào) 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 前 被 送 到 的 概 率 : 用 兩 個(gè) 轉(zhuǎn) 盤(pán)

18、來(lái) 模 擬 上 述 過(guò) 程 ， 一 個(gè) 轉(zhuǎn) 盤(pán) 用 于 模 擬 晚 報(bào)的 送 達(dá) ， 另 一 個(gè) 轉(zhuǎn) 盤(pán) 用 于 模 擬 晚 餐 ， 兩 個(gè) 轉(zhuǎn) 盤(pán) 各 轉(zhuǎn) 動(dòng) 一 次并 記 錄 下 結(jié) 果 就 完 成 一 次 模 擬 . （ 2） 理 論 上 的 精 確 值 : 7/8=0.875 如 果 小 明 家 的 晚 報(bào) 在 下 午 5： 45 6： 45之 間 的 任 何 一個(gè) 時(shí) 間 隨 機(jī) 地 被 送 到 ， 小 明 一 家 人 在 下 午 6： 00 7： 00之間 的 任 何 一 個(gè) 時(shí) 間 隨 機(jī) 地 開(kāi) 始 晚 餐 . 你 認(rèn) 為 晚 報(bào) 在 晚 餐 開(kāi) 始 之 前 被 送 到 可 能

19、 性 是 變 大 了 還是 變 小 了 呢 ？ 變 小 了 有 一 杯 1升 的 水 ， 其 中 含 有 1個(gè) 細(xì) 菌 ， 用 一 個(gè) 小 杯 從 這杯 水 中 取 出 0.1升 ， 求 小 杯 水 中 含 有 這 個(gè) 細(xì) 菌 的 概 率 .分 析 ： 細(xì) 菌 在 這 升 水 中 的 分 布 可 以看 作 是 隨 機(jī) 的 ， 取 得 0.1升 水 可 作 為事 件 的 區(qū) 域 .解 ： “ 取 出 的 0.1升 水 中 含 有 這 個(gè) 細(xì) 菌 ” 這 一 事 件 記 為 A,則 1.011.0 杯 中 所 有 水 的 體 積取 出 水 的 體 積AP 結(jié) 論 : 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能 出

20、 現(xiàn) 的 結(jié) 果 所 構(gòu) 成 的 區(qū) 域 的 體 積構(gòu) 成 事 件 A的 區(qū) 域 的 體 積( )P A 1.幾 何 概 型 是 區(qū) 別 于 古 典 概 型 的 又 一 概 率 模 型 ， 使 用 幾 何概 型 的 概 率 計(jì) 算 公 式 時(shí) ， 一 定 要 注 意 其 適 用 條 件 ： 每 個(gè)事 件 發(fā) 生 的 概 率 只 與 構(gòu) 成 該 事 件 區(qū) 域 的 長(zhǎng) 度 （ 面 積 或 體積 ） 成 正 比 例 ， 而 與 事 件 的 位 置 及 形 狀 無(wú) 關(guān) ；2.幾 何 概 型 的 兩 個(gè) 特 點(diǎn) : 基 本 事 件 是 無(wú) 限 的 ; 基 本 事 件是 等 可 能 的 ； 3.幾 何

21、概 型 概 率 的 計(jì) 算 公 式4.幾 何 概 型 的 應(yīng) 用 ： 幾 何 概 型 主 要 用 來(lái) 計(jì) 算 事 件 可 “ 連 續(xù) ”發(fā) 生 的 有 關(guān) 概 率 問(wèn) 題 ,如 與 速 度 、 溫 度 變 化 有 關(guān) 的 物 理 問(wèn)題 ,與 長(zhǎng) 度 、 面 積 、 體 積 有 關(guān) 的 實(shí) 際 生 產(chǎn) 、 生 活 問(wèn) 題 .( ) AP A 構(gòu) 成 事 件 的 區(qū) 域 長(zhǎng) 度 （ 面 積 或 體 積 ）全 部 結(jié) 果 所 構(gòu) 成 的 區(qū) 域 長(zhǎng) 度 （ 面 積 或 體 積 ） 三 更 燈 火 五 更 雞 ， 正 是 男 兒 讀 書(shū) 時(shí) ；黑 發(fā) 不 知 勤 學(xué) 早 ， 白 首 方 悔 讀 書(shū) 遲 . -（ 唐 ） 顏 真 卿