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1、一 、 映 射 的 概 念第 二 節(jié) 映 射 與 函 數(shù)二 、 逆 映 射 與 復(fù) 合 映 射三 、 函 數(shù) 的 概 念四 、 函 數(shù) 的 基 本 性 態(tài)五 、 小 結(jié) 思 考 題 一 、 映 射 的 概 念1.定 義 一 ： 設(shè) X 與 Y 是 兩 個 非 空 集 合 ， 若 對 X中 的 每 一 個 元 素 x， 均 可 找 到 Y 中 唯 一 確 定 的元 素 y 與 之 對 應(yīng) ， 則 稱 這 個 對 應(yīng) 是 集 合 X 到 集 合 Y 的 一 個 映 射 ， 記 為 f ， 或 者 更 詳 細(xì) 地 寫YXf ：將 x 的 對 應(yīng) 元 y 記 作 )(:)( xfyxxf 并 稱 y
2、為 映 射 f 下 x 的 像 ， 而 x 稱 為 映 射 f 下 y 的原 像 (或 稱 為 逆 像 ). 集 合 X 稱 為 映 射 f 的 定 義 域 ，記 作 XDf ， 而 X 的 所 有 元 素 的 像 f (x) 的 集 合,)(,| XxxfyYyy 稱 為 映 射 f 的 值 域 ， 記 為 )( XfRf 或 例 1 設(shè) A=商 場 中 的 所 有 商 品 ， B=商 場 中 商品 九 月 份 的 銷 量 ， 則 ，ADf 是 一 個 映 射 ， BRf )( 九 月 份 的 銷 量是 商 品： xyyx BAf 例 2 設(shè) A=1， 2， 3 ， B=4， 5， 6， 7
3、 ， 則，ADf 是 一 個 映 射 ， BRf 6,5,4 6)3(,5)2(,4)1( fff BAf ： 有 唯 一確 定 的 y=f (x) 與 之 對 應(yīng) . 概 括 起 來 ， 構(gòu) 成 一 個 映 射 必 須 具 備 下 列 三個 基 本 要 素 ： ；， 即 定 義 域集 合 XDX f )1( ；， 即 限 制 值 域 的 范 圍 ：集 合 YRY f )2( ，使 每 個 Xx 需 要 指 出 的 是 ： （ 1） 映 射 要 求 元 素 的 像 必 須 是 唯 一 的 . （ 2） 映 射 并 不 要 求 元 素 的 逆 像 也 是 唯 一 的 .(3) 對 應(yīng) 法 則 f
4、 : 2.定 義 二 ： 設(shè) f 是 集 合 X 到 集 合 Y 的 一 個 映 射 ，若 f 的 逆 像 也 是 唯 一 的 ， 即 對 X 中 的 任 意 兩個 不 同 元 素 x1 x2 ， 它 們 的 像 y1 與 y2 也 滿足 y1 y2 ， 則 稱 f 為 單 射 ； 如 果 映 射 f 滿 足 Rf = Y ， 則 稱 f 為 滿 射 ； 如 果 映 射 f 既 是 單 射 ，又 是 滿 射 ， 則 稱 f 為 雙 射 （ 又 稱 一 一 對 應(yīng) ） . 二 、 逆 映 射 與 復(fù) 合 映 射1.逆 映 射 ： 如 果 映 射 f 既 是 單 射 ， 又 是 滿 射 ， 則，
5、對 應(yīng) 關(guān) 系， 于 是是 唯 一 確 定 的的 即 滿 足 方 程它 的 逆 像對 任 一 )( (,xyxf XxYRy f )( yxfxy XRg f ： 的稱 之 為，上 的 一 個 映 射到構(gòu) 成 了 fXRf ,1f記 為逆 映 射 ， 值 域 為其 定 義 域 為 ,1 ff RD . 1 XRf 例 3 設(shè) A=1， 2， 3 ， B=4， 5， 6， 則既 是 單 射 ， 又 是 滿 射 ， 存 在 逆 映 射3 xyx BAf ： 31 xyx ABf ： 例 4 設(shè) A=0， ， B= 1， 1， 則既 是 單 射 ， 又 是 滿 射 ， 存 在 逆 映 射xyx BA
6、f cos： xyx ABf arccos1 ： 2.復(fù) 合 映 射 ： 那 就 可 以 構(gòu) 造 出 一 個)(1 xgux UXg ： 和 )(2 ufyu YUf ：,2 fg DUR 如 果新 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 )( xgfyx YXgf ： 的和也 是 一 個 映 射 ， 稱 之 為 gf 復(fù) 合 映 射 . 例 5 21 xux RRg ： uyu RRf ：,1,( fg DR 則因 此 不 能 構(gòu) 成 復(fù) 合 映 射 gf 但 若 將 g 的 定 義 域 縮 小 ， 就 有 可 能 構(gòu) 成 復(fù) 合 映 射 .比 如 令 2* 11,1 xux Rg ：則 可 以 構(gòu) 成 復(fù) 合
7、 映 射 2* 11,1 xyx Rgf ： 因 變 量 自 變 量 .),()( ff DxxfyyXfR RDfRD :， 則 稱 映 射設(shè) 數(shù) 集 記 為上 的 函 數(shù)為 定 義 在 ,D )(xfy三 、 函 數(shù) 的 概 念D 稱 為 定 義 域 ， 記 作 Df ， 即 Df = D .函 數(shù) 值 的 全 體 構(gòu) 成 的 數(shù) 集 稱 為 值 域 ， 記 為 ：定 義.1 ( ) )0 x)( 0 xf 自 變 量因 變 量對 應(yīng) 法 則 f2.函 數(shù) 的 兩 要 素 : 定 義 域 與 對 應(yīng) 法 則 .x y DW約 定 : 定 義 域 是 使 表 達(dá) 式 有 意 義 的 自 變
8、量 能 取的 一 切 實 數(shù) 值 . 21 xy 例 如 ， 1,1: D211xy 例 如 ， )1,1(: D 定 義 : .)( ),(),( 的 圖 形函 數(shù) 稱 為點 集 xfy DxxfyyxC o xy ),( yxxyW D 如 果 自 變 量 在 定 義域 內(nèi) 任 取 一 個 數(shù) 值 時 ，對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 總 是 只 有一 個 ， 這 種 函 數(shù) 叫 做 單值 函 數(shù) ， 否 則 叫 做 多 值函 數(shù) 222 ayx 例 如 ， 是 多 值 函 數(shù) (1) 符 號 函 數(shù) 01 00 01sgn xxxxy 當(dāng)當(dāng)當(dāng)3.幾 個 特 殊 的 函 數(shù) 舉 例 1 -1 xy
9、oxxx sgn (2) 取 整 函 數(shù) y=xx表 示 不 超 過 的 最 大 整 數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo階 梯 曲 線xxxx 1顯 然 : 是 無 理 數(shù) 時當(dāng) 是 有 理 數(shù) 時當(dāng) xxxDy 01)( 有 理 數(shù) 點無 理 數(shù) 點 1 xyo(3) 狄 利 克 雷 函 數(shù) (4) 取 最 值 函 數(shù) )(),(max xgxfy )(),(min xgxfy y xo )(xf )(xg y xo )(xf )(xg 0,1 0,12)(, 2 xx xxxf例 如 12 xy12 xy在 自 變 量 的 不 同 變
10、化 范 圍 中 , 對 應(yīng) 法 則 用 不 同 的式 子 來 表 示 的 函 數(shù) ,稱 為 分 段 函 數(shù) . 例 1 解 0800 yx 時 ，當(dāng) 4005.0)800(05.0 1300800 xxy x 時 ，當(dāng) 1051.0)1300(1.050005.0 28001300 xxy x 時 ，當(dāng) 24515.0 )2800(15.015001.050005.0 58002800 x xy x 時 ，當(dāng) 綜 上 ， 有 : 5352.0)5800(2.0 300015.015001.050005.05800 xxyx 時 ，當(dāng) 58005352.0 5800280024515.0 280
11、013001051.0 13008004005.0 8000 xx xx xx xx xy ， 例 2 1, 1 0( ) ,e 1, 0 2xx xf x x 設(shè)解 21:)( ，的 定 義 域 為 xf 110)0( f .)()1()0( 的 定 義 域及、求 xfff 1(1) e 1 e 1f 四 、 函 數(shù) 的 幾 種 特 性1 函 數(shù) 的 奇 偶 性 (parity):偶 函 數(shù) 有對 于軸 對 稱關(guān) 于設(shè) , DxyD 則,)()( xfxf y x)( xf )(xfyo x-x )(xf ;)( 為 偶 函 數(shù)稱 xf 有對 于關(guān) 于 原 點 對 稱設(shè) , DxD 則),(
12、)( xfxf .)( 為 奇 函 數(shù)稱 xf奇 函 數(shù))( xf y x)(xfo x-x )(xfy 2 函 數(shù) 的 周 期 性 (periodicity):2l 2l23l 23l（ 通 常 說 周 期 函 數(shù) 的 周 期 是 指 最 小 正 周 期 ） .,)( Dxf 的 定 義 域 為設(shè) 函 數(shù) 如 果 存 在 一 個 不 為 零 的 )()( xflxf 且為 周則 稱 )(xf .)(, DlxDxl 使 得 對 于 任 一數(shù) .)(, 的 周 期稱 為期 函 數(shù) xfl.恒 成 立 例 3解 .,)( )( )( 并 求 其 周 期是 周 期 函 數(shù) 均 對 稱 ， 證 明與
13、 的 圖 形 關(guān) 于 直 線，函 數(shù)設(shè) xfy babxax Rxxfy )()(),()( xbfxbfxafxaf )()()( axafaxafxf （由 條 件 知 ： )2( xaf )2()2( axbbfaxbbf )(xf故 是 周 期 函 數(shù) ， 且 是 它 的 一 個 周 期 .)(2 ab)(2( abxf 3 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 (monotonicity): ,)( DIDxf 區(qū) 間的 定 義 域 為設(shè) 函 數(shù) , 2121 時當(dāng)及上 任 意 兩 點如 果 對 于 區(qū) 間 xxxxI ;I上 是 單 調(diào) 增 加 的 ),()()1( 21 xfxf 恒 有 )(
14、xfy )( 1xf )( 2xf xyo I ( )f x則 稱 函 數(shù) 在 區(qū) 間 )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo I .)( 上 是 單 調(diào) 減 少 的在 區(qū) 間則 稱 函 數(shù) Ixf ,)( DIDxf 區(qū) 間的 定 義 域 為設(shè) 函 數(shù) , 2121 時當(dāng)及上 任 意 兩 點如 果 對 于 區(qū) 間 xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒 有 M-M y xoy=f(x) X有 界 無 界M-M y xo X0 x ,)(,0, 成 立有若 MxfXxMDX 4 函 數(shù) 的 有 界 性 (bounded): .)( 否 則 稱 為 無 界上 有 界在則 稱 函
15、 數(shù) Xxf 五 、 小 結(jié) 思 考 題1.映 射 的 有 關(guān) 概 念 ： 映 射 、 逆 映 射 、 復(fù) 合 映 射 .2.函 數(shù) 的 有 關(guān) 概 念 ： 函 數(shù) 、 定 義 域 、 值 域 .3.函 數(shù) 的 幾 種 特 性 ：奇 偶 性 、 周 期 性 、 單 調(diào) 性 、 有 界 性 . 思 考 題已 知 是 一 個 奇 函 數(shù) ， 且 滿 足 ,則 是 不 是 一 個 周 期 函 數(shù) ？ 若 是 ， 請 說 明它 的 一 個 周 期 ， 若 不 是 ， 請 說 明 理 由 .( )f x ( ) ( ) f a x f a x( )f x 思 考 題 解 答是 . )()2( )( )(
16、 )()()2( )()( xfxaf xf xf xaafxaafxaf xafxaf 所 以 是 一 個 奇 函 數(shù) ，又 因 為 ：可 知由 練 習(xí) 題2. 函 數(shù) f(x)=lg(x2-x-2)的 定 義 域 為 A， 函 數(shù) y= 的 定 義 域 為 B， 則 AB=_ xx1 2 1. 已 知 A=N， ， 映 射 x ,則 在 f 的 作 用 下 ， 像 的 原 像 是 _ ,.75,53,31B 12 12 xxy)( Ax 101993. 下 列 函 數(shù) 中 ， 既 是 （ 0， ） 上 的 增 函 數(shù) ， 又 是以 為 周 期 的 偶 函 數(shù) 是 （ ）A y=|sinx| B y=|cosx| C y=|sin2x| D y=cos2x 2 4. 函 數(shù) 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 _ . 20.1log (6 2 )y x x 5. 已 知 函 數(shù) ，則 是 ：（ A） 奇 函 數(shù) （ B） 既 是 奇 函 數(shù) 又 是 偶 函 數(shù)（ C） 偶 函 數(shù) （ D） 非 奇 非 偶 函 數(shù) )0()1( )0()1()( xxx xxxxf)(xf 練 習(xí) 題 答 案1. 50 2. -2， -1） 3. A 4. 5. A2,41
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