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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 數(shù)列章末檢測 理 新人教A版
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．(xx茂名月考)已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是 ( )
A．15 B．30 C．31 D．64
2．各項均不為零的等差數(shù)列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0 (n∈N*，n≥2)，則S2 010等( )
A．0 B．2 C．2 009 D．4 020
3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 ( )
A．66 B．65 C．61 D．56
4．(xx南陽模擬)等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則 ( )
A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1 C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝1
5．(xx東北師大附中高三月考)由a1＝1，an＋1＝給出的數(shù)列{an}的第34項( )
A. B．100 C. D.
6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5
S7>S5，有下列四個命題：①d<0；②S11>0；③S12<0；④數(shù)列{Sn}中的最大項為S11.
其中正確的命題是________．(將所有正確的命題序號填在橫線上)
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)(xx德州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，S10＝190.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)設(shè)p，q∈N*，試判斷apaq是否仍為數(shù)列{an}中的項并說明理由．
18．(12分)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求數(shù)列{an}的通項公式．
19．(12分)(xx武漢月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共線．
(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
20．(12分)(xx唐山月考)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
(1)設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項和是Sn，當(dāng)a＝時，求Sn.
21．(12分)(xx周口月考)已知數(shù)列{an}的前三項與數(shù)列{bn}的前三項相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n對任意n∈N*都成立，數(shù)列{bn＋1－bn}是等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？請說明理由．
22．(12分)為了治理“沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到xx年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%，從xx年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲)，同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？(可參考數(shù)據(jù)lg 2＝0.3，最后結(jié)果精確到整數(shù))
答案 1．A [由{an}是等差數(shù)列知a7＋a9＝2a8＝16，∴a8＝8.又a4＝1，∴a12＝2a8－a4＝15.]
2．D [a＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.
∴Sn＝2n，S2 010＝22 010＝4 020.]
3．A [當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1；
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，
∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋＝2＋64＝66.]
4．B [因為{an}是等比數(shù)列，所以a1a5＝a2a4＝a，代入已知式T5＝1，得a＝1，所以a3＝1.]
5．C [由an＋1＝知，＝＋3，
∴是以1為首項，公差為3的等差數(shù)列．
∴＝1＋(n－1)3＝3n－2.
∴an＝，a34＝＝.]
6．B [∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8適合上式，
∴an＝2n－10 (n∈N*)，
∴5<2k－10<8，得7.50(顯然tan B≠0，若tan B<0，因為tan A>0且tan C>0，tan A＋tan C>0，這與tan B<0矛盾)，
又tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝－≠0，所以tan Atan C＝3.
又∵tan A＋tan C≥2＝2，
∴tan B≥，∵B∈(0，π)
∴B的取值范圍是.]
12．D [由題意知Sn＝X，S2n＝Y(jié)，S3n＝Z.
又∵{an}是等比數(shù)列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n為等比數(shù)列，
即X，Y－X，Z－Y為等比數(shù)列，
∴(Y－X)2＝X(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]
13．624
解析 an＝＝－.
∴(－1)＋(－)＋…＋(－)＝24，
∴＝25，∴n＝624.
14．52
解析 ∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.
∴S13＝＝＝＝52.
15．34 950
解析 由“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組中，各組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成一個以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，前99組數(shù)的個數(shù)共有＝4 950個，故第100組中的第1個數(shù)是34 950.
16．①②
解析 由S6>S7得a7<0，
由S6>S5得a6>0，
由S7>S5得a6＋a7>0.
因為d＝a7－a6，∴d<0；
S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝11a6>0，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0；
∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．
故正確的命題為①②.
17．解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則
，………………………………………………………………(4分)
解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.………………………………………………………(6分)
(2)apaq＝(4p－3)(4q－3)＝16pq－12(p＋q)＋9
＝4[4pq－3(p＋q)＋3]－3，
∵4pq－3(p＋q)＋3∈N*，………………………………………………………………(8分)
∴apaq為數(shù)列{an}中的項．……………………………………………………………(10分)
18．解 ∵a3＋a13＝2a8，a3＋a8＋a13＝12，
∴a8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)
則由已知得
解得或…………………………………………………………(7分)
由a3＝1，a13＝7，
可知d＝＝＝.
故an＝a3＋(n－3)＝n－；……………………………………………………………(9分)
由a3＝7，a13＝1，
可知d＝＝＝－.
故an＝a3＋(n－3)
＝－n＋.……………………………………………………………………………(11分)
綜上可得，an＝n－，或an＝－n＋.……………………………………………(12分)
19．(1)證明 ∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共線，
∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝.……………………………………………………(3分)
∴a1＝S1＝1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝，……………………………………………………(5分)
又a1＝1滿足此式，∴an＝.………………………………………………………(6分)
∴an＋1－an＝為常數(shù)，
∴數(shù)列{an}為首項為1，公差為的等差數(shù)列．………………………………………(7分)
(2)解 ∵＝＝2，…………………………………………………(9分)
∴Tn＝＋＋…＋.
＝2＋2＋…＋2＝.……………………………………(12分)
20．(1)證明 f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2，…………………………………………(2分)
即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.
∴＝＝
＝a2 (n≥2)為定值．………………………………………………………………………(4分)
∴{an}為以a2為公比的等比數(shù)列．……………………………………………………(5分)
(2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2
＝(2n＋2)a2n＋2.…………………………………………………………………………(7分)
當(dāng)a＝時，bn＝(2n＋2)()2n＋2
＝(n＋1)2n＋2.
Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2，①
2Sn＝224＋325＋426＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3，②
①－②，得
－Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3 …………………………………………(9分)
＝16＋－(n＋1)2n＋3
＝16＋2n＋3－24－n2n＋3－2n＋3＝－n2n＋3.
∴Sn＝n2n＋3.……………………………………………………………………………(12分)
21．解 (1)已知得a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an
＝8n(n∈N*)，①
當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)．②
由①－②，得2n－1an＝8.∴an＝24－n.……………………………………………………(3分)
在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，
∴an＝24－n(n∈N*)．
由題意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，
∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴數(shù)列{bn＋1－bn}的公差為－2－(－4)＝2.
∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)2＝2n－6.…………………………………………………(5分)
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
＝n2－7n＋14(n∈N*)．…………………………………………………………………(7分)
(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，
設(shè)f(k)＝k2－7k＋14－24－k，
當(dāng)k≥4時，f(k)＝(k－)2＋－24－k，單調(diào)遞增，
且f(4)＝1.
∴k≥4時，f(k)＝k2－7k＋4－24－k≥1.…………………………………………………(10分)
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，…………………………………………………………………(11分)
∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)．………………………………………………(12分)
22．解 設(shè)該地區(qū)總面積為1,xx年底綠化面積為a1＝，經(jīng)過n年后綠洲面積為an＋1，設(shè)xx年底沙漠面積為b1，經(jīng)過n年后沙漠面積為bn＋1，則a1＋b1＝1，an＋bn＝1.…(3分)
依題意an＋1由兩部分組成：一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%an的剩余面積92%an，另一部分是新綠化的12%bn，
∴an＋1＝92%an＋12%(1－an)
＝an＋，………………………………………………………………………………(6分)
即an＋1－＝(an－)．
∴{an－}是以－為首項，為公比的等比數(shù)列，
則an＋1＝－()n.………………………………………………………………………(9分)
∵an＋1>50%，∴－()n>.
∴()n<，n>＝≈3.……………………………………………………(11分)
則當(dāng)n≥4時，不等式()n<恒成立．
∴至少需要4年才能使綠化面積超過50%.…………………………………………(12分)
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