2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率同步練習(xí) 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率同步練習(xí) 文 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式． 1．概率與頻率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝? 且A∪B＝Ω 3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)對立事件的概率 若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 集合法判斷互斥事件與對立事件 (1)由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥． (2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的．(　　) (2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(　　) (3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　) (4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．(　　) 答案：　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對立事件，那么(　　) A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 解析：　兩個(gè)事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不一定成立． 答案：　B 3．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(　　) A．0.7　 B．0.2 C．0.1　 D．0.3 解析：　∵“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.選D． 答案：　D 4．(1)某人投籃3次，其中投中4次是________事件； (2)拋擲一枚硬幣，其落地時(shí)正面朝上是________事件； (3)三角形的內(nèi)角和為180是________事件． 解析：　(1)共投籃3次，不可能投中4次； (2)硬幣落地時(shí)正面和反面朝上都有可能； (3)三角形的內(nèi)角和等于180. 答案：　(1)不可能　(2)隨機(jī)　(3)必然 5．在人民商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則至少有兩人排隊(duì)的概率為________． 答案：　0.74 隨機(jī)事件的關(guān)系 1．下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件．②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件．③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件．④若事件A與B互為對立事件，則事件A∪B為必然事件．其中，真命題是(　　) A．①②④　 B．②④ C．③④　 D．①② 解析：　對①，將一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯(cuò)．對②，對立事件首先是互斥事件，故②正確．對③，互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個(gè)事件，故③錯(cuò)．對④，事件A、B為對立事件，則在一次試驗(yàn)中A、B一定有一個(gè)要發(fā)生，故④正確． 答案：　B 2．設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分也不必要條件 解析：　若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件． 答案：　A 　理解互斥事件與對立事件應(yīng)注意的問題 (1)對互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對于對立事件除不可能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這可類比集合進(jìn)行理解； (2)具體應(yīng)用時(shí)，可把試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而判斷所給事件的關(guān)系． 隨機(jī)事件的概率與頻率 1．某城市xx年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________． 解析：　由題意可知xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案：　 2．(xx陜西卷)某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率． 解析：　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11 000＝100輛，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2120＝24輛，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24. 　1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值． 2．隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率． [注意]　概率的定義是求一個(gè)事件的概率的基本方法． 互斥事件、對立事件的概率 某戰(zhàn)士射擊一次，問： (1)若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？ (2)若命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，則至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？ 解析：　(1)設(shè)中靶為事件A，則不中靶為， 則由對立事件的概率公式可得： P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05. (2)設(shè)命中10環(huán)為事件B，命中9環(huán)為事件C，命中8環(huán)為事件D，由題意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24. 記至少命中8環(huán)為事件E， 則P(E)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.27＋0.21＋0.24 ＝0.72. 記至少命中9環(huán)為事件F， 則P(F)＝P(B＋C) ＝P(B)＋P(C) ＝0.27＋0.21 ＝0.48. 故不夠9環(huán)為， 則P()＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52. 某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下： 醫(yī)生人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值． 解析：　(1)由派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56， ∴x＝0.3. (2)由派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，得0.96＋z＝1， ∴z＝0.04. 由派出醫(yī)生最少3人的概率為0.44，得 y＋0.2＋0.04＝0.44， ∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2. A級　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx湖北襄陽模擬)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　) A．互斥但非對立事件　 B．對立事件 C．相互獨(dú)立事件　 D．以上都不對 解析：　由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件，故選A． 答案：　A 2．(xx河南安陽模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為(　　) A．0.7　 B．0.65 C．0.35　 D．0.5 解析：　“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35. 答案：　C 3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A．　 B． C．　 D．1 解析：　設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為. 答案：　C 4．(xx山西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋中任取3個(gè)球，那么互斥而不對立的事件是(　　) A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有一個(gè)紅球與都是白球 C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球 D．恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球 解析：　對于A，兩事件是包含關(guān)系，對于B，兩事件是對立事件，對于C，兩事件可能同時(shí)發(fā)生． 答案：　D 5．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A＋發(fā)生的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由于事件總數(shù)為6，故P(A)＝＝.P(B)＝＝，從而P()＝1－P(B)＝1－＝，且A與互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故選C． 答案：　C 6．向三個(gè)相鄰的軍火庫各投一枚炸彈．擊中第一個(gè)軍火庫的概率是0.025，擊中另兩個(gè)軍火庫的概率各為0.1，并且只要擊中一個(gè)，另兩個(gè)也爆炸，則軍火庫爆炸的概率為________． 解析：　設(shè)A、B、C分別表示擊中第一、二、三個(gè)軍火庫，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.設(shè)D表示軍火庫爆炸，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以軍火庫爆炸的概率為0.225. 答案：　0.225 7．(xx河北石家莊模擬)從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張．事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)． 解析：　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝ ＝. 答案：　 8．若A，B互為對立事件，其概率分別為P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，則x＋y的最小值為________． 解析：　由題意可知＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝5＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號成立． 答案：　9 9．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率． 解析：　記A表示事件：該車主購買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該車主購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買． (1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， 又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因?yàn)镈與C是對立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 10．一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出的小球是紅球或黑球的概率； (2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率． 解析：　記事件A＝{任取1球?yàn)榧t球}，事件B＝{任取一球?yàn)楹谇騷，事件C＝{任取1球?yàn)榘浊騷，事件D＝{任取一球?yàn)榫G球}， ∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝， P(D)＝， (1)取出的小球是紅球或黑球的概率為 P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. (2)法一：取出的小球是紅球或黑球或白球的概率為 P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝. 法二：“取出的小球是紅球或黑球或白球”與“取出的小球?yàn)榫G球”互為對立事件，故所求的概率為 P2＝1－P(D)＝1－＝. B級　能力提升 1．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由題意可知? ??＜a≤. 答案：　D 2．如果事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為________． 解析：　∵P(A)＋P(B)＝0.64， P(B)＝3P(A)， ∴P(A)＝0.16. 答案：　0.16 3．黃種人人群中各種血型的人數(shù)所占的比例見下表： 血型 A B AB O 該血型的人數(shù)所占的比例 28% 29% 8% 35% 已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，若他因病需要輸血，問： (1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？ (2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？ 解析：　(1)任找一人，其血型為A，B，AB，O型血分別記為事件A′，B′，C′，D′，它們是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“任找一個(gè)人，其血可以輸給小明”為事件B′∪D′，根據(jù)概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“任找一個(gè)人，其血不能輸給小明”為事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 4．袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)“3只球顏色全相同”的概率． (2)“3只球顏色不全相同”的概率． 解析：　(1)“3只球顏色全相同”包括“3只全是紅球”(事件A)，“3只全是黃球”(事件B)，“3只全是白球”(事件C)，且它們彼此互斥，故“3只球顏色全相同”這個(gè)事件可記為A∪B∪C，又P(A)＝P(B)＝P(C)＝， 故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. (2)記“3只球顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只球顏色全相同”， 又P()＝P(A∪B∪C)＝. 所以P(D)＝1－P()＝1－＝， 故“3只球顏色不全相同”的概率為. 第二節(jié)　古典概型 1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式． 2．會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． - │ - 3.古典概型的概率公式 P(A)＝. 基本事件的求法 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.(　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．(　　) 答案：　(1)√　(2) 2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此概率為. 答案：　C 3．(xx陜西卷)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長的概率為(　　) A．　 B． B．　 D． 解析：　設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A，B，C，D，中心為O，從這5個(gè)點(diǎn)中，任取兩個(gè)點(diǎn)的事件分別為AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10種，其中只有頂點(diǎn)到中心O的距離小于正方形的邊長，分別是AO，BO，CO，DO，共有4種．故滿足條件的概率P＝＝.故選B． 答案：　B 4．(xx江蘇卷)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是________． 解析：　從4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)數(shù)，共有6種取法，滿足乘積為6的有(1,6)(2,3)兩種情況，因此概率為P＝＝. 答案：　 5．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析：　點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝. 答案：　 簡單古典概型的概率 1．(xx江西卷)擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)有以下情況： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共36種，其中點(diǎn)數(shù)和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為＝. 答案：　B 2．(xx天津卷)某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表： 一年級 二年級 三年級 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率． 解析：　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝＝. 　求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n. (2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m. (3)代入公式P(A)＝，求出P(A)． 較復(fù)雜的古典概型的概率 (xx四川卷)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． 解析：　(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)(1,2,1)(1,2,2) (1,2,3)(1,3,1)(1,3,2)(1,3,3)(2,1,1)(2,1,2)(2,1,3)(2,2,1)(2,2,2)(2,2,3)(2,3,1)(2,3,2)(2,3,3)(3,1,1)(3,1,2)(3,1,3)(3,2,1)(3,2,2)(3,2,3)(3,3,1)(3,3,2)(3,3,3)，共27種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B． 則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 1．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率． 解析：　(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè)． 從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè)． 因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為n，對一切可能的結(jié)果(m，n)有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)． 又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)， 所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝.故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－＝. 2．(xx山東卷)海關(guān)對同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測. 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率． 解析：　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是： 50＝1,150＝3,100＝2. 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為： A；B1，B2，B3；C1，C2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)． 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有： {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)． 所以P(D)＝，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為. 3．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，試計(jì)算： (1)點(diǎn)A正好在第三象限的概率； (2)點(diǎn)A不在y軸上的概率； (3)點(diǎn)A正好落在區(qū)域x2＋y2≤10上的概率． 解析：　由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4,0}，由Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1,3}，則M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以滿足條件的點(diǎn)A的所有情況為(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25種． (1)點(diǎn)A正好在第三象限的可能情況為(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4種，故點(diǎn)A正好在第三象限的概率P1＝. (2)點(diǎn)A在y軸上的可能情況為(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5種，故點(diǎn)A不在y軸上的概率P2＝1－＝. (3)點(diǎn)A正好落在區(qū)域x2＋y2≤10上的可能情況為(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8種，故點(diǎn)A落在區(qū)域x2＋y2≤10上的概率P3＝. 　求較復(fù)雜事件的概率問題的方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． (2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解． A級　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實(shí)數(shù)，則n2－m2＝0?m＝n，而投擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)相同的情況只有6種，所以所求概率為＝. 答案：　C 2．(xx湖北武漢市調(diào)研測試)已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　依題意可知an＝2(－2)n－1，由計(jì)算可知，前10項(xiàng)中，不小于8的只有8,32,128,512,4個(gè)數(shù)，故所求概率是＝. 答案：　B 3．(xx浙江金華十校4月模擬)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機(jī)等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　記3名男醫(yī)生分別為a1，a2，a3,2名女醫(yī)生分別為b1，b2，從這5名醫(yī)生中隨機(jī)地選派兩名醫(yī)生，有以下10種選法：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，其中恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6種選法，故所求事件的概率為P＝＝，選D． 答案：　D 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閃，從W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，則點(diǎn)M位于第二象限的概率為(　　) A．　 B． C．1－　 D．1－ 解析：　畫出平面區(qū)域，列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12個(gè)，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2個(gè)，所以所求概率P＝. 答案：　A 5．(xx安徽江南十校摸底)已知＝(1，k)，＝(4,2)，||≤5，k∈Z，則△ABC是鈍角三角形的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　∵||＝≤5，∴－2≤k≤2. 又∵k∈Z，∴k＝0，1，2，3，4. ∵＝－＝(3,2－k)， 若＜0，則k＜－2，k＝－3，－4； 若＜0，則－1＜k＜3，∴k＝0,1,2； 若＜0，則k＞8(舍去)．所求概率為，故選C． 答案：　C 6．(xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________． 解析：　記兩本數(shù)學(xué)書分別為a1，a2，語文書為b，則3本書一共有6種不同的排法：a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的排法有4種：a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，故所求概率為＝. 答案：　 7．(xx廣東卷)從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為________． 解析：　總的取法有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10種，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4種，故所求概率為＝. 答案：　 8．設(shè)A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是從A∪B中任取2個(gè)元素組成的集合，則C(A∩B)的概率是________． 解析：　A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，則A∪B中有8個(gè)元素，在A∪B中任取2個(gè)元素的取法有C種．又A∩B＝{1,3,5}，當(dāng)C(A∩B)時(shí)有C種取法，∴P＝＝. 答案：　 9．做投擲2顆骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，其中x表示第1顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)． (1)求點(diǎn)P在直線y＝x上的概率； (2)求點(diǎn)P不在直線y＝x＋1上的概率． 解析：　每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有6種情況，所以基本事件總數(shù)為66＝36. (1)記“點(diǎn)P在直線y＝x上”為事件A，則事件A有6個(gè)基本事件，即 A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}， 所以P(A)＝＝. (2)記“點(diǎn)P不在直線y＝x＋1上”為事件B，則“點(diǎn)P在直線y＝x＋1上”為事件，其中事件有5個(gè)基本事件，即＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}， 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 10．(xx河南洛陽質(zhì)檢)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的小球1個(gè)，標(biāo)號為2的小球n個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號是2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b.記事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率． 解析：　(1)由題意可知：＝，解得n＝2. (2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的所有基本事件為：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12個(gè)，事件A包含的基本事件為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個(gè)． ∴P(A)＝＝. B級　能力提升 1．(xx東北三校第一次聯(lián)考)一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b<c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)； 同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)； 由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)； 由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)． 所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)． 當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,314,412,312,413，共6個(gè)“凹數(shù)”． 當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”． ∴三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 答案：　C 2．(xx洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________． 解析：　依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足≤，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝. 答案：　 3．(xx山東日照3月模擬)某市為了解社區(qū)群眾體育活動(dòng)的開展情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個(gè)行政區(qū)抽出6個(gè)社區(qū)進(jìn)行調(diào)查，已知A，B，C三個(gè)行政區(qū)中分別有12,18,6個(gè)社區(qū)． (1)求從A，B，C三個(gè)行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)； (2)若從抽得的6個(gè)社區(qū)中隨機(jī)地抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，求抽取的2個(gè)社區(qū)中至少有1個(gè)來自A行政區(qū)的概率． 解析：　(1)社區(qū)總數(shù)為12＋18＋6＝36個(gè)，樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比為＝. 所以從A，B，C三個(gè)行政區(qū)中應(yīng)分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)為2,3,1. (2)設(shè)A1，A2為在A行政區(qū)中抽得的2個(gè)社區(qū)，B1，B2，B3為在B行政區(qū)中抽得的3個(gè)社區(qū)，c為在C行政區(qū)中抽得的1個(gè)社區(qū)，在這6個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，c)，(B2，B3)，(B2，c)，(B3，c)，共15種． 設(shè)事件“抽取的2個(gè)社區(qū)至少有1個(gè)來自A行政區(qū)”為事件X，則事件X所包含的所有可能的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，共9種． 所以抽取的2個(gè)社區(qū)中至少有1個(gè)來自A行政區(qū)的概率P(X)＝＝. 4．一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 解析：　(1)因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個(gè)． 當(dāng)z＝4時(shí)，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)， 所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0， 即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0， 即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0， 即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0， 即4b＋c＝16，所以 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. 第三節(jié)　幾何概型 1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率． 2．了解幾何概型的意義． 1．幾何概型 (1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． (2)特點(diǎn)： ①無限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)． ②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 幾何概型中的幾何度量形式的判斷方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系； (2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零．(　　) (2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地抽取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會相等．(　　) (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√ 2．(xx湖南卷)在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為(　　) A．　 B． B．　 D． 解析：　[－2,3]的區(qū)間長度為5，滿足X≤1的區(qū)間長度為3， ∴p＝，故選B． 答案：　B 3．如圖，正方形ABCD的邊長為2，△EBC為正三角形．若向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它落在△EBC內(nèi)的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　正方形的面積為4，S△EBC＝22sin 60＝，所以質(zhì)點(diǎn)落在△EBC內(nèi)的概率為. 答案：　B 4．有一杯2升的水，其中含一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從水中取0.1升水，則此小杯中含有這個(gè)細(xì)菌的概率是________． 解析：　試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積為2升， 所求事件的區(qū)域體積為0.1升， 故P＝＝0.05. 答案：　0.05 5. (xx福建卷)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 解析：　由題意知，這是幾何概型問題，＝＝0.18， ∵S正＝1，∴S陰＝0.18. 答案：　0.18 與長度、角度有關(guān)的幾何概型 1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)x，sin x的值介于－與之間的概率為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．　 D． 解析：　所求概率為＝，故選A． 答案：　A 2．設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則方程x2＋px＋＋＝0有實(shí)數(shù)根的概率為________． 解析：　一元二次方程有實(shí)數(shù)根即Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率為＝. 答案：　 3.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________． 解析：　如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. 答案：　 　1.與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計(jì)算公式為 P(A)＝. 2．與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段． [提醒]　有時(shí)與長度或角度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識綜合考查． 與體積有關(guān)的幾何概型 在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 解析：　由題意可知，正方體的體積為23＝8，滿足點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的幾何體的體積為23－13，所以概率P＝＝1－. 答案：　1－ 一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　根據(jù)幾何概型知識，概率為體積之比，即P＝＝. 答案：　A 　很多幾何概型，往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來，在解決問題時(shí)，要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題的關(guān)鍵． 與面積有關(guān)的幾何概型 (xx湖北卷)由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝. 答案：　D 1．(xx遼寧卷)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A．　 B． B．　 D． 解析：　∵半圓的面積π1＝，SABCD＝2，∴P＝，故選B． 答案：　B 2．在區(qū)間[－1,1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足y≥x－1的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　點(diǎn)(x，y)分布在正方形區(qū)域，畫出區(qū)域x－y－1≤0，可知所求的概率為. 答案：　D 3．(xx廣東佛山二模)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由題意，得 即表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，可知陰影部分的面積為8，所以所求概率為. 答案：　C 4．(xx重慶卷)某校早上8∶00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7∶30～7∶50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數(shù)字作答)． 解析：　 設(shè)小張與小王的到校時(shí)間分別為7∶00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為1515＝，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝＝. 答案：　 　求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． A級　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx福建三明質(zhì)量檢測)已知集合M＝{x|－2≤x≤8}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，在集合M中任取一個(gè)元素x，則“x∈(M∩N)”的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　因?yàn)镹＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1,2]，所以M∩N＝[1,2]，所以所求的概率為＝. 答案：　A 2．若k∈[－3,3]，則k的值使得過A(1,1)可以作兩條直線與圓(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　點(diǎn)在圓外，過該點(diǎn)可做兩條直線與圓相切．故使圓心與點(diǎn)A的距離大于半徑即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，所求概率P＝＝. 答案：　C 3．已知區(qū)域Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，區(qū)域E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　如圖，區(qū)域Ω表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽OB的邊界及其內(nèi)部，區(qū)域E表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰿OD的邊界及其內(nèi)部，所以點(diǎn)P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為＝＝. 答案：　D 4．(xx山西省第三次四校聯(lián)考)向邊長分別為5,6，的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)M，則該點(diǎn)M與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的概率為(　　) A．1－　 B．1－ C．1－　 D．1－ 解析：　在△ABC中，設(shè)AB＝5，BC＝6，AC＝，則cos B＝＝，則sin B＝，S△ABC＝56＝9，分別以A，B，C為圓心，以1為半徑作圓，則三個(gè)扇形面積之和為以1為半徑的半圓，故所求概率為＝1－. 答案：　A 5．(xx北京昌平模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，當(dāng)點(diǎn)在△AED區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2. ∴P＝＝＝. 答案：　D 6．(xx云南昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)設(shè)a∈[0,10]，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的概率為________． 解析：　若函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，則a－2＜0，解得a＜2，又a∈[0,10]，∴0≤a<2，∴函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的概率為＝. 答案：　 7．(xx廣東惠州4月模擬)設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長均是區(qū)間(0,1)上的任意實(shí)數(shù)，則斜邊長小于的概率為________． 解析：　設(shè)兩條直角邊長分別為a，b，由已知可知a2＋b2＜2，所以所求概率P＝＝. 答案：　 8．(xx安徽合肥高三質(zhì)檢)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE，在∠DAB內(nèi)任作射