2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率同步練習(xí) 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率同步練習(xí) 文 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式． 1．概率與頻率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號(hào)表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對(duì)立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 A∩B＝? 且A∪B＝Ω 3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)對(duì)立事件的概率 若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 集合法判斷互斥事件與對(duì)立事件 (1)由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥． (2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的．( ) (2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．( ) (3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．( ) (4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．( ) 答案： (1) (2) (3)√ (4) 2．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對(duì)立事件，那么( ) A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 解析： 兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不一定成立． 答案： B 3．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為( ) A．0.7 B．0.2 C．0.1 D．0.3 解析： ∵“抽到的不是一等品”的對(duì)立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.選D． 答案： D 4．(1)某人投籃3次，其中投中4次是________事件； (2)拋擲一枚硬幣，其落地時(shí)正面朝上是________事件； (3)三角形的內(nèi)角和為180是________事件． 解析： (1)共投籃3次，不可能投中4次； (2)硬幣落地時(shí)正面和反面朝上都有可能； (3)三角形的內(nèi)角和等于180. 答案： (1)不可能 (2)隨機(jī) (3)必然 5．在人民商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則至少有兩人排隊(duì)的概率為________． 答案： 0.74 隨機(jī)事件的關(guān)系 1．下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對(duì)立事件．②若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A與B為互斥事件．③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對(duì)立事件．④若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A∪B為必然事件．其中，真命題是( ) A．①②④ B．②④ C．③④ D．①② 解析： 對(duì)①，將一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故①錯(cuò)．對(duì)②，對(duì)立事件首先是互斥事件，故②正確．對(duì)③，互斥事件不一定是對(duì)立事件，如①中兩個(gè)事件，故③錯(cuò)．對(duì)④，事件A、B為對(duì)立事件，則在一次試驗(yàn)中A、B一定有一個(gè)要發(fā)生，故④正確． 答案： B 2．設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析： 若事件A與事件B是對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件． 答案： A 理解互斥事件與對(duì)立事件應(yīng)注意的問題 (1)對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不可能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這可類比集合進(jìn)行理解； (2)具體應(yīng)用時(shí)，可把試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而判斷所給事件的關(guān)系． 隨機(jī)事件的概率與頻率 1．某城市xx年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________． 解析： 由題意可知xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案： 2．(xx陜西卷)某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率． 解析： (1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11 000＝100輛，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2120＝24輛，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24. 1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值． 2．隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率． [注意] 概率的定義是求一個(gè)事件的概率的基本方法． 互斥事件、對(duì)立事件的概率 某戰(zhàn)士射擊一次，問： (1)若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？ (2)若命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，則至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？ 解析： (1)設(shè)中靶為事件A，則不中靶為， 則由對(duì)立事件的概率公式可得： P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05. (2)設(shè)命中10環(huán)為事件B，命中9環(huán)為事件C，命中8環(huán)為事件D，由題意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24. 記至少命中8環(huán)為事件E， 則P(E)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.27＋0.21＋0.24 ＝0.72. 記至少命中9環(huán)為事件F， 則P(F)＝P(B＋C) ＝P(B)＋P(C) ＝0.27＋0.21 ＝0.48. 故不夠9環(huán)為， 則P()＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52. 某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下： 醫(yī)生人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值． 解析： (1)由派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56， ∴x＝0.3. (2)由派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，得0.96＋z＝1， ∴z＝0.04. 由派出醫(yī)生最少3人的概率為0.44，得 y＋0.2＋0.04＝0.44， ∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2. A級(jí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx湖北襄陽(yáng)模擬)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是( ) A．互斥但非對(duì)立事件 B．對(duì)立事件 C．相互獨(dú)立事件 D．以上都不對(duì) 解析： 由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故選A． 答案： A 2．(xx河南安陽(yáng)模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 解析： “抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35. 答案： C 3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A． B． C． D．1 解析： 設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為. 答案： C 4．(xx山西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋中任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是( ) A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有一個(gè)紅球與都是白球 C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球 D．恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球 解析： 對(duì)于A，兩事件是包含關(guān)系，對(duì)于B，兩事件是對(duì)立事件，對(duì)于C，兩事件可能同時(shí)發(fā)生． 答案： D 5．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A＋發(fā)生的概率為( ) A． B． C． D． 解析： 由于事件總數(shù)為6，故P(A)＝＝.P(B)＝＝，從而P()＝1－P(B)＝1－＝，且A與互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故選C． 答案： C 6．向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)各投一枚炸彈．擊中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率是0.025，擊中另兩個(gè)軍火庫(kù)的概率各為0.1，并且只要擊中一個(gè)，另兩個(gè)也爆炸，則軍火庫(kù)爆炸的概率為________． 解析： 設(shè)A、B、C分別表示擊中第一、二、三個(gè)軍火庫(kù)，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.設(shè)D表示軍火庫(kù)爆炸，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以軍火庫(kù)爆炸的概率為0.225. 答案： 0.225 7．(xx河北石家莊模擬)從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張．事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)． 解析： ∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝ ＝. 答案： 8．若A，B互為對(duì)立事件，其概率分別為P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，則x＋y的最小值為________． 解析： 由題意可知＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝5＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立． 答案： 9 9．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率． 解析： 記A表示事件：該車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買． (1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， 又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因?yàn)镈與C是對(duì)立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 10．一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出的小球是紅球或黑球的概率； (2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率． 解析： 記事件A＝{任取1球?yàn)榧t球}，事件B＝{任取一球?yàn)楹谇騷，事件C＝{任取1球?yàn)榘浊騷，事件D＝{任取一球?yàn)榫G球}， ∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝， P(D)＝， (1)取出的小球是紅球或黑球的概率為 P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. (2)法一：取出的小球是紅球或黑球或白球的概率為 P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝. 法二：“取出的小球是紅球或黑球或白球”與“取出的小球?yàn)榫G球”互為對(duì)立事件，故所求的概率為 P2＝1－P(D)＝1－＝. B級(jí) 能力提升 1．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A． B． C． D． 解析： 由題意可知? ??＜a≤. 答案： D 2．如果事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為________． 解析： ∵P(A)＋P(B)＝0.64， P(B)＝3P(A)， ∴P(A)＝0.16. 答案： 0.16 3．黃種人人群中各種血型的人數(shù)所占的比例見下表： 血型 A B AB O 該血型的人數(shù)所占的比例 28% 29% 8% 35% 已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，若他因病需要輸血，問： (1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？ (2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？ 解析： (1)任找一人，其血型為A，B，AB，O型血分別記為事件A′，B′，C′，D′，它們是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“任找一個(gè)人，其血可以輸給小明”為事件B′∪D′，根據(jù)概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“任找一個(gè)人，其血不能輸給小明”為事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 4．袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)“3只球顏色全相同”的概率． (2)“3只球顏色不全相同”的概率． 解析： (1)“3只球顏色全相同”包括“3只全是紅球”(事件A)，“3只全是黃球”(事件B)，“3只全是白球”(事件C)，且它們彼此互斥，故“3只球顏色全相同”這個(gè)事件可記為A∪B∪C，又P(A)＝P(B)＝P(C)＝， 故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. (2)記“3只球顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只球顏色全相同”， 又P()＝P(A∪B∪C)＝. 所以P(D)＝1－P()＝1－＝， 故“3只球顏色不全相同”的概率為. 第二節(jié) 古典概型 1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式． 2．會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． - │ - 3.古典概型的概率公式 P(A)＝. 基本事件的求法 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.( ) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．( ) 答案： (1)√ (2) 2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是( ) A． B． C． D． 解析： 先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此概率為. 答案： C 3．(xx陜西卷)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為( ) A． B． B． D． 解析： 設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A，B，C，D，中心為O，從這5個(gè)點(diǎn)中，任取兩個(gè)點(diǎn)的事件分別為AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10種，其中只有頂點(diǎn)到中心O的距離小于正方形的邊長(zhǎng)，分別是AO，BO，CO，DO，共有4種．故滿足條件的概率P＝＝.故選B． 答案： B 4．(xx江蘇卷)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是________． 解析： 從4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)數(shù)，共有6種取法，滿足乘積為6的有(1,6)(2,3)兩種情況，因此概率為P＝＝. 答案： 5．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析： 點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝. 答案： 簡(jiǎn)單古典概型的概率 1．(xx江西卷)擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于( ) A． B． C． D． 解析： 擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)有以下情況： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共36種，其中點(diǎn)數(shù)和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為＝. 答案： B 2．(xx天津卷)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級(jí)情況如下表： 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率． 解析： (1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝＝. 求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n. (2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m. (3)代入公式P(A)＝，求出P(A)． 較復(fù)雜的古典概型的概率 (xx四川卷)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． 解析： (1)由題意，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)(1,2,1)(1,2,2) (1,2,3)(1,3,1)(1,3,2)(1,3,3)(2,1,1)(2,1,2)(2,1,3)(2,2,1)(2,2,2)(2,2,3)(2,3,1)(2,3,2)(2,3,3)(3,1,1)(3,1,2)(3,1,3)(3,2,1)(3,2,2)(3,2,3)(3,3,1)(3,3,2)(3,3,3)，共27種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B． 則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 1．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n＜m＋2的概率． 解析： (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè)． 從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè)． 因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，對(duì)一切可能的結(jié)果(m，n)有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)． 又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)， 所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝.故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－＝. 2．(xx山東卷)海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率． 解析： (1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是： 50＝1,150＝3,100＝2. 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為： A；B1，B2，B3；C1，C2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)． 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有： {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)． 所以P(D)＝，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為. 3．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，試計(jì)算： (1)點(diǎn)A正好在第三象限的概率； (2)點(diǎn)A不在y軸上的概率； (3)點(diǎn)A正好落在區(qū)域x2＋y2≤10上的概率． 解析： 由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4,0}，由Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1,3}，則M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以滿足條件的點(diǎn)A的所有情況為(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25種． (1)點(diǎn)A正好在第三象限的可能情況為(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4種，故點(diǎn)A正好在第三象限的概率P1＝. (2)點(diǎn)A在y軸上的可能情況為(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5種，故點(diǎn)A不在y軸上的概率P2＝1－＝. (3)點(diǎn)A正好落在區(qū)域x2＋y2≤10上的可能情況為(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8種，故點(diǎn)A落在區(qū)域x2＋y2≤10上的概率P3＝. 求較復(fù)雜事件的概率問題的方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． (2)先求其對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解． A級(jí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為( ) A． B． C． D． 解析： 復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實(shí)數(shù)，則n2－m2＝0?m＝n，而投擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)相同的情況只有6種，所以所求概率為＝. 答案： C 2．(xx湖北武漢市調(diào)研測(cè)試)已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是( ) A． B． C． D． 解析： 依題意可知an＝2(－2)n－1，由計(jì)算可知，前10項(xiàng)中，不小于8的只有8,32,128,512,4個(gè)數(shù)，故所求概率是＝. 答案： B 3．(xx浙江金華十校4月模擬)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機(jī)等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為( ) A． B． C． D． 解析： 記3名男醫(yī)生分別為a1，a2，a3,2名女醫(yī)生分別為b1，b2，從這5名醫(yī)生中隨機(jī)地選派兩名醫(yī)生，有以下10種選法：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，其中恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6種選法，故所求事件的概率為P＝＝，選D． 答案： D 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閃，從W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，則點(diǎn)M位于第二象限的概率為( ) A． B． C．1－ D．1－ 解析： 畫出平面區(qū)域，列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12個(gè)，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2個(gè)，所以所求概率P＝. 答案： A 5．(xx安徽江南十校摸底)已知＝(1，k)，＝(4,2)，||≤5，k∈Z，則△ABC是鈍角三角形的概率為( ) A． B． C． D． 解析： ∵||＝≤5，∴－2≤k≤2. 又∵k∈Z，∴k＝0，1，2，3，4. ∵＝－＝(3,2－k)， 若＜0，則k＜－2，k＝－3，－4； 若＜0，則－1＜k＜3，∴k＝0,1,2； 若＜0，則k＞8(舍去)．所求概率為，故選C． 答案： C 6．(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________． 解析： 記兩本數(shù)學(xué)書分別為a1，a2，語(yǔ)文書為b，則3本書一共有6種不同的排法：a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的排法有4種：a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，故所求概率為＝. 答案： 7．(xx廣東卷)從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為________． 解析： 總的取法有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10種，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4種，故所求概率為＝. 答案： 8．設(shè)A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是從A∪B中任取2個(gè)元素組成的集合，則C(A∩B)的概率是________． 解析： A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，則A∪B中有8個(gè)元素，在A∪B中任取2個(gè)元素的取法有C種．又A∩B＝{1,3,5}，當(dāng)C(A∩B)時(shí)有C種取法，∴P＝＝. 答案： 9．做投擲2顆骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，其中x表示第1顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)． (1)求點(diǎn)P在直線y＝x上的概率； (2)求點(diǎn)P不在直線y＝x＋1上的概率． 解析： 每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有6種情況，所以基本事件總數(shù)為66＝36. (1)記“點(diǎn)P在直線y＝x上”為事件A，則事件A有6個(gè)基本事件，即 A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}， 所以P(A)＝＝. (2)記“點(diǎn)P不在直線y＝x＋1上”為事件B，則“點(diǎn)P在直線y＝x＋1上”為事件，其中事件有5個(gè)基本事件，即＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}， 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 10．(xx河南洛陽(yáng)質(zhì)檢)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.記事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率． 解析： (1)由題意可知：＝，解得n＝2. (2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的所有基本事件為：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12個(gè)，事件A包含的基本事件為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個(gè)． ∴P(A)＝＝. B級(jí) 能力提升 1．(xx東北三校第一次聯(lián)考)一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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