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1、第七章 平行線的證明
1 為什么要證明
教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
1.體會(huì)通過(guò)觀察、猜想、歸納等得到的結(jié)論不一定正確,使學(xué)生對(duì)由這些方法得到的結(jié)論產(chǎn)生懷疑,從而認(rèn)識(shí)到證明的必要性.
2.理解并掌握檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的常用方法:試驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例 推理證明等,理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.
【過(guò)程與方法】
通過(guò)觀察、猜想、推理的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的探索意識(shí)與合作交流的意識(shí).
【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】
發(fā)展學(xué)生的探索意識(shí)以及合作交流的習(xí)慣;關(guān)注現(xiàn)實(shí),培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行深入思考的能力和質(zhì)疑精神.
教學(xué)重難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
理解判斷一個(gè)結(jié)論正確與否需要進(jìn)行推理證明,理解并掌握應(yīng)用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行證明、舉反例驗(yàn)證
2、、利用推理論證來(lái)驗(yàn)證某些結(jié)論是否正確的方法.
【難點(diǎn)】
體會(huì)數(shù)學(xué)推理的重要性和必要性.
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課
師:在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到了很多正確的結(jié)論,那么通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論一定正確嗎?下面我們一起來(lái)感受幾個(gè)例子!
1.探究一:觀察得到的結(jié)論正確嗎?
教師多媒體出示.
(1)圖1中兩條線段a,b的長(zhǎng)度相等嗎?圖2中的四邊形是正方形嗎?請(qǐng)你先觀察,再設(shè)法體驗(yàn)?zāi)阌^察到的結(jié)論.
(2)如圖3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道長(zhǎng)1 m的鐵絲將地球赤道圍起來(lái),鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大?能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎?先憑感覺(jué)想象一下
3、,再具體算一算,看看與你的感覺(jué)是否一致,并與同伴進(jìn)行交流.
學(xué)生憑著自己的觀察和直觀感覺(jué)說(shuō)想法后,組織學(xué)生動(dòng)手量一量、算一算,驗(yàn)證結(jié)論是否正確.
(圖1中的兩條線段相等;圖2是正方形;圖3中假設(shè)地球半徑是R,則赤道長(zhǎng)2πR,鐵絲長(zhǎng)(2πR+1)米,那么這個(gè)鐵絲圍成的半徑是(R+)米,所以鐵絲與赤道之間的間隙為米≈16厘米,能放進(jìn)一個(gè)拳頭).
然后引導(dǎo)學(xué)生回答下列問(wèn)題:
(1)由觀察得到的結(jié)論正確嗎?
(2)你還能舉出日常生活中的例子嗎?
2.探究二:歸納得到的結(jié)論正確嗎?
(1)聽(tīng)故事“公雞歸納法”:
某主婦養(yǎng)小雞十只,公母各半.她預(yù)備將母雞養(yǎng)大留著生蛋,公雞則養(yǎng)到一百天就陸續(xù)
4、殺以佐餐.天天早晨她拿米喂雞.到第一百天的早晨,其中的一只公雞正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”這時(shí),該主婦來(lái)了,正好把這只公雞抓去殺了.
第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃嗎?從這個(gè)故事中你明白了什么道理?同桌之間相互交流.
(2)算一算驗(yàn)證“歸納法”:
①出示代數(shù)式n2-n+11,讓學(xué)生分別計(jì)算當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí),代數(shù)式的值是多少,提問(wèn)它們的值都是質(zhì)數(shù)嗎?
②追問(wèn)學(xué)生:我們是不是可以由此得出結(jié)論,當(dāng)n為任意自然數(shù)時(shí),n2-n+11的值一定是質(zhì)數(shù)呢?
③讓學(xué)生
5、再多取幾個(gè)數(shù)代入代數(shù)式中,驗(yàn)證結(jié)論是否正確.
(不正確,比如當(dāng)n=11時(shí),n2-n+11=121,結(jié)果是合數(shù).)
④思考:由歸納得到的結(jié)論一定正確嗎?
(3)再次驗(yàn)證“歸納法”.
如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB、AC的中點(diǎn),連接DE,DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)你先猜一猜,再設(shè)法檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪?你能肯定你的結(jié)論對(duì)所有的△ABC都成立嗎?與同伴進(jìn)行交流.
(DE與BC平行,且等于BC長(zhǎng)度的一半;引導(dǎo)學(xué)生嘗試猜想:連接三角形兩條邊的中點(diǎn)所得的線段平行第三條邊,且是第三條邊長(zhǎng)度的一半;組織學(xué)生進(jìn)行歸納并驗(yàn)證結(jié)論,發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)論對(duì)所有的三角形都成立.)
小結(jié):歸納得到
6、的結(jié)論有的正確有的不正確.
3.交流與發(fā)現(xiàn).
通過(guò)上述幾類(lèi)問(wèn)題的分析,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?
(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論是否都正確?怎樣判斷一個(gè)結(jié)論是否正確呢?
(2)總結(jié):實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論可能正確,也可能不正確,因此,要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是不夠的,必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明.
二、例題講解
【例1】觀察圖1中的兩條線段a與b,你認(rèn)為哪條線段長(zhǎng)些?
圖1
分析:觀察往往會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué),得出的結(jié)論不一定正確,想要判斷兩條線段是否一樣長(zhǎng),最科學(xué)、合理的方式是量一量,組織學(xué)生動(dòng)手操作量一量.
【答案】?jī)蓷l線段一樣長(zhǎng)
【例2】圖中三條線段a、b、c,哪一條線段與線段d在同一直線上?請(qǐng)你先觀察,再用三角尺驗(yàn)證一下.
【答案】線段b與線段d在同一直線上
三、課堂小結(jié)
1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們了解了實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論不一定正確,從而明白證明的意義和必要性.
2.讓學(xué)生反思自己在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的優(yōu)缺點(diǎn)、不足之處以及改進(jìn)的方法,并能積極地參與與總結(jié)性的發(fā)言.
【備課參考】北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)：7-1-為什么要證明-教學(xué)設(shè)計(jì)
