2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞） 考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算． 專題：集合． 分析：化簡(jiǎn)A，再根據(jù)A∩B=A，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解答： 解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A， ∴a≥2， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題． 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（1+2i）2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，得到復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求． 解答： 解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i， ∴復(fù)數(shù)z=（1+2i）2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，4）， 位于第二象限． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題． 3．設(shè)平面向量，，均為非零向量，則“?（﹣）=0”是“=”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題：簡(jiǎn)易邏輯． 分析：根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論． 解答： 解：若=，則?（﹣）=0成立，必要性成立， 若?（﹣）=0得?=?，則=不一定成立，充分性不成立． 故“?（﹣）=0”是“=”的必要而不充分條件， 故選：B． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用向量的數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 4．如圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是( ) A．8 B．9 C．10 D．11 考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)． 專題：算法和程序框圖． 分析：根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件，跳出循環(huán)，計(jì)算輸出s的值． 解答： 解：由程序框圖知：第一次循環(huán)n=1，s=﹣1+1=0，； 第二次循環(huán)n=2，s=0+1+2=3； 第三次循環(huán)n=3，s=3﹣1+3=5； 第四次循環(huán)n=4，s=5+1+4=10． 滿足條件s＞9，跳出循環(huán)，輸出s=10． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果是解答此類問(wèn)題的常用方法． 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A．2 B．1 C． D． 考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積． 專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析：由三視圖知幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，棱長(zhǎng)為1，底面是對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，把數(shù)據(jù)代入體積公式計(jì)算． 解答： 解：由三視圖知幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，棱長(zhǎng)為1， 底面是對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，∴其邊長(zhǎng)為， ∴四棱錐的體積V=1=． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量． 6．將函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析：函數(shù)解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可求出m的最小值． 解答： 解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+）， ∴圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+）， ∵所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴m+=kπ+（k∈Z）， 則m的最小值為． 故選B 點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵． 7．設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交于C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=( ) A． B．6 C．12 D．7 考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析：求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求得|AB|． 解答： 解：由y2=3x得其焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣． 則過(guò)拋物線y2=3x的焦點(diǎn)F且傾斜角為30的直線方程為y=tan30（x﹣）=（x﹣）． 代入拋物線方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） 則x1+x2=， 所以|AB|=x1++x2+=++=12 故答案為：12． 點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵． 8．在圓的一條直徑上，任取一點(diǎn)作與直徑垂直的弦，則其弦長(zhǎng)超過(guò)該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率為( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：幾何概型． 專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：由題意可得：要使弦長(zhǎng)大于CD的長(zhǎng)，就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|，即可得出結(jié)論、 解答： 解：如圖所示，△BCD是圓內(nèi)接等邊三角形， 過(guò)直徑BE上任一點(diǎn)作垂直于直徑的弦， 顯然當(dāng)弦為CD時(shí)就是△BCD的邊長(zhǎng)， 要使弦長(zhǎng)大于CD的長(zhǎng)，就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|， 記事件A={弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}， 由幾何概型概率公式得P（A）==， 即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型概率的計(jì)算，是簡(jiǎn)單題，確定得到各自的幾何度量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 9．設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3，則方程f（x）=lg|x|根的個(gè)數(shù)為( ) A．12 B．16 C．18 D．20 考點(diǎn)：函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析：由函數(shù)f（x）的周期性、奇偶性及函數(shù)在x∈[0，1]時(shí)的解析式可知其大致圖象，結(jié)合函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù)可得方程f（x）=lg|x|根的個(gè)數(shù)． 解答： 解：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3，函數(shù)是偶函數(shù)， ∴當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)f（x）=﹣x3， 函數(shù)f（x）的周期為2， 又函數(shù)y=lgx當(dāng)x=10時(shí)函數(shù)值為1， ∴函數(shù)y=lgx與y=f（x）在[0，10]內(nèi)有9個(gè)交點(diǎn)， 而函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù)， 由對(duì)稱性可知，方程f（x）=lg|x|根的個(gè)數(shù)為18． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系，是中檔題． 10．如圖，正△ABC的中心位于點(diǎn)G（0，1），A（0，2），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿△ABC的邊界按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影為y（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則y關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）的圖象是( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：函數(shù)的圖象． 專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析：由題意，可通過(guò)幾個(gè)特殊點(diǎn)來(lái)確定正確選項(xiàng)，可先求出射影長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)B時(shí)x的值及y的值，再研究點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖象變化規(guī)律，由此即可得出正確選項(xiàng)． 解答： 解：設(shè)BC邊與Y軸交點(diǎn)為M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的邊長(zhǎng)為 連接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由圖可得當(dāng)x=時(shí)，射影為y取到最小值，其大小為﹣（BC長(zhǎng)為），由此可排除A，B兩個(gè)選項(xiàng)； 又當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，x變化相同的值，此時(shí)射影長(zhǎng)的變化變小，即圖象趨于平緩，由此可以排除D，C是適合的； 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：由于本題的函數(shù)關(guān)系式不易獲得，可采取特值法，找?guī)讉€(gè)特殊點(diǎn)以排除法得出正確選項(xiàng)，這是條件不足或正面解答較難時(shí)常見的方法． 二、選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中選一題作答.若兩題都做，則按第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分.【不等式選做題】 11．已知函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）． 考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法． 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析：題目中條件：“f（x）的定義域?yàn)镽”轉(zhuǎn)化為|x+2|+|x﹣m|﹣1≥0在R上恒成立，下面只要求出函數(shù)|x+2|+|x﹣m|的最小值，使最小值大于等于2，解之即可． 解答： 解：解：∵f（x）的定義域?yàn)镽， ∴|x+2|+|x﹣m|﹣1≥0在R上恒成立 而|x+2|+|x﹣m|≥|m+2| ∴|m+2|≥1， 解得：m≤﹣3或m≥﹣1 故答案為：（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）． 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，不等式的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題，求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是xx高考的熱點(diǎn)，它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)知識(shí)的交匯． 【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】 12．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，求a的值； （Ⅱ）若圓C與直線l相切，求a的值． 考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程． 專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 分析：（I）把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，再利用圓C關(guān)于直線l對(duì)稱可得直線l過(guò)圓心，即可得出． （II）利用圓C與直線l相切?點(diǎn)C到直線l的距離d=r，即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）消去參數(shù)t可得：直線l：x+ay+a﹣5=0； 由圓C的極坐標(biāo)方程為，化為ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ， ∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． ∴圓心為C（1，1），半徑． ∵圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，∴直線l過(guò)圓心， ∴1+a?1+a﹣5=0， 解得a=2； （Ⅱ）點(diǎn)C到直線l的距離d=， ∵圓C與直線l相切，∴d=r． ∴， 整理得a2﹣8a+7=0， 解得a=1或a=7． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、圓的對(duì)稱性質(zhì)、圓C與直線l相切?點(diǎn)C到直線l的距離d=r等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題． 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13．函數(shù)f（x）=log2（3x+1）的值域?yàn)椋?，+∞）． 考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值． 專題：計(jì)算題． 分析：先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出真數(shù)3x+1的范圍，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可． 解答： 解：∵3x+1＞1 ∴l(xiāng)og2（3x+1）＞0 ∴f（x）=log2（3x+1）的值域?yàn)椋?，+∞） 故答案為：（0，+∞） 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題． 14．曲線y=x2+1與直線x=0，x=1及x軸所圍成的圖形的面積是． 考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用． 專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析：確定積分公式中x的取值范圍，根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式解之即可 解答： 解：由題意，S=（x2+1）dx=（）=， 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)：本題求曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 15．已知數(shù)列a1，a2，…，a8，滿足a1=xx，a8=xx，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），則這樣的數(shù)列{an}共有252個(gè)． 考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性． 專題：創(chuàng)新題型；排列組合． 分析：運(yùn)用數(shù)列相鄰兩項(xiàng)差的值，可能夠取值的情況分類討論，轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題求解． 解答： 解：∵數(shù)列a1，a2，…，a8，滿足a1=xx，a8=xx， ∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1， an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），共有7對(duì)差， 可能an+1﹣an=﹣1，或an+1﹣an=，或an+1﹣an=1． 設(shè)﹣1有x個(gè)，有y個(gè)，1有7﹣x﹣y個(gè)， 則想x（﹣1）++1（7﹣x﹣y）=1， 即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整數(shù)， 可判斷；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三組符合 所以共有數(shù)列C+CCC+=7+210+35=252． 故答案為：252 點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的解轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力，轉(zhuǎn)化能力． 16．已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x，且x＜0，則a的取值范圍是a＞2． 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)． 專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：由題意判斷出a＞0，再由題意可知f（）＞0，從而求出a． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，f（0）=1，且f（x）存在唯一的零點(diǎn)x，且x＜0， ∴a＞0， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）=0時(shí)的解為x=0，x=； ∴f（）=a（）3﹣3（）2+1=＞0， 則a＞2． 故答案為：a＞2． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，屬于基礎(chǔ)題． 四、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．甲、乙、丙三名優(yōu)秀的大學(xué)畢業(yè)生參加一所重點(diǎn)中學(xué)的招聘面試，面試合格者可以簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙與丙則約定，兩個(gè)面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每個(gè)人面試合格的概率都是P，且面試是否合格互不影響．已知至少有1人面試合格概率為． （1）求P． （2）求簽約人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值． 考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 專題：概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：（1）由至少有1人面試合格概率，利用對(duì)立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率列式求解； （2）由題意可知簽約人數(shù)ξ的取值分別是0，1，2，3，求出每種情況的概率，直接利用期望公式求期望． 解答： 解：（1）至少1人面試合格概率為（包括1人合格 2人合格和3人都合格），這樣都不合格的概率為1﹣=． 所以（1﹣P）3=，即P=． （2）簽約人數(shù)ξ取值為0、1、2、3 簽約人數(shù)為0的概率：都不合格（1﹣）3=， 甲不合格，乙丙至少一人不合格（1﹣）﹣（1﹣）3=， 簽約人數(shù)為0的概率：+=； 簽約人數(shù)為1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：（1﹣）=； 簽約人數(shù)為2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：（1﹣）=； 簽約人數(shù)為3的概率：甲乙丙均合格：（）3=． 分布表： 簽約人數(shù) 0 1 2 3 概率 數(shù)學(xué)期望：Eξ==1． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值，是中檔題． 18．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60． （Ⅰ）證明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角． 專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求cos＜，＞，即為所求正弦值． 解答： 解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B， 因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60， 所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB， 又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB， 所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0）， 則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，）， 設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==， 又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值， 故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：． 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題． 19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2﹣1，數(shù)列{bn}滿足3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，且b1=3． （Ⅰ）求an，bn； （Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn，并求滿足Tn＜7時(shí)n的最大值． 考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合． 專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析：（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，兩式作差后整理得到an﹣1=2n﹣1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求，把a(bǔ)n代入3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，整理后求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，然后利用作差法說(shuō)明{Tn}為遞增數(shù)列，通過(guò)求解T3，T4的值得答案． 解答： 解：（Ⅰ）由，得 （n≥2）， 兩式相減得，an=an﹣an﹣1+2n﹣1， ∴an﹣1=2n﹣1，則an=2n+1． 由3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan， ∴3n?bn+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3． ∴． ∴當(dāng)n≥2時(shí)，， 由b1=3適合上式， ∴； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ∴ ①． ②． ①﹣②得， =． ∴． ∵． ∴Tn＜Tn+1，即{Tn}為遞增數(shù)列． 又，． ∴Tn＜7時(shí)，n的最大值3． 點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，求解（Ⅱ）的關(guān)鍵是說(shuō)明數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列，是中高檔題． 20．如圖，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90，OP=2，點(diǎn)M在線段PQ上． （1）若OM=，求PM的長(zhǎng)； （2）若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON=30，問(wèn)：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最??？并求出面積的最小值． 考點(diǎn)：三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理． 專題：計(jì)算題；解三角形． 分析：（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2?OP?MPcos45，解得MP即可． （2）∠POM=α，0≤α≤60，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面積，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)面積的表達(dá)式，通過(guò)α的范圍求出面積的最大值． 解答： 解：（1）在△OPQ中，∠OPQ=45，OM=，OP=2， 由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2?OP?MPcos45， 得MP2﹣4MP+3=0，解得MP=1或MP=3．…6 （2）設(shè)∠POM=α，0≤α≤60， 在△OMP中，由正弦定理，得， 所以，同理 …8′ S△OMN== …10 == = == …14 因?yàn)?≤α≤60，30≤2α+30≤150， 所以當(dāng)α=30時(shí)，sin（2α+30）的最大值為1， 此時(shí)△OMN的面積取到最小值． 即∠POM=30時(shí)，△OMN的面積的最小值為8﹣4．…16 點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理以及余弦定理兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 21．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和橢圓C2：+=1（a2＞b2＞0）均過(guò)點(diǎn)P（，1），且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形． （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）是否存在直線l，使得l與C1交于A、B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|+|=||？證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題． 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題． 分析：（Ⅰ）由條件可得a1=1，c2=1，根據(jù)點(diǎn)P（，1）在上求得=3，可得雙曲線C1的方程．再由橢圓的定義求得a2=，可得=﹣的值，從而求得橢圓C2的方程． （Ⅱ）若直線l垂直于x軸，檢驗(yàn)部不滿足|+|≠|(zhì)|．若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l得方程為 y=kx+m，由 可得y1?y2=．由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根據(jù)直線l和C1僅有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)判別式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠|(zhì)|．綜合（1）、（2）可得結(jié)論． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C2的焦距為2c2，由題意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1． 由于點(diǎn)P（，1）在上，∴﹣=1，=3， ∴雙曲線C1的方程為：x2﹣=1． 再由橢圓的定義可得 2a2=+=2，∴a2=， ∴=﹣=2，∴橢圓C2的方程為：+=1． （Ⅱ）不存在滿足條件的直線l． （1）若直線l垂直于x軸，則由題意可得直線l得方程為x=，或 x=﹣． 當(dāng)x=時(shí)，可得 A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2， 顯然，|+|≠|(zhì)|． 同理，當(dāng)x=﹣時(shí)，也有|+|≠|(zhì)|． （2）若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l得方程為 y=kx+m，由 可得 （3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1?x2=． 于是，y1?y2=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=． 由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根據(jù)直線l和C1僅有一個(gè)交點(diǎn)， ∴判別式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3． ∴=x1?x2+y1?y2=≠0，∴≠， ∴|+|≠|(zhì)|． 綜合（1）、（2）可得，不存在滿足條件的直線l． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 22．已知函數(shù)f（x）=，其中a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1）當(dāng)a=b=﹣3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)x≤6時(shí)，若函數(shù)h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在兩個(gè)相距大于2的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)g（x）在（﹣6，m），（2，n）上單調(diào)遞減，在（m，2），（n，+∞）單調(diào)遞增，試證明：f（n﹣m）＜． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用． 專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：（1）當(dāng)a=b=﹣3時(shí)，先求出f（x），然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）先求出當(dāng)x＜6時(shí)h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有兩個(gè)相距大于2的根，列出所滿足的不等式組，求出a的取值范圍； （3）寫出g（x）的表達(dá)式，則x=2，x=n，x=m分別是g′（x）=0的三個(gè)根，得出m，n，a的關(guān)系，從而證明不等式成立． 解答： （1）解：當(dāng)x＞6時(shí)，，則，即f（x）在（6，+∞）單調(diào)遞減； 當(dāng)x≤6時(shí)，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上單調(diào)遞增，在（﹣3，0），（3，6）上單調(diào)遞減． 綜上，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣3）和（0，3）． （2）解：當(dāng)x≤6時(shí)，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]， 令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，設(shè)其零點(diǎn)分別為x1，x2． 由解得． （3）證明： 當(dāng)x≥﹣6時(shí)，g（x）=ex[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g（2）=0，得b=3a﹣4， 從而g（x）=﹣ex[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因?yàn)間（m）=g（n）=0， 所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因?yàn)閚＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）單調(diào)遞減，則，因?yàn)閘n6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，從而． 點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，利用單調(diào)性證明不等式成立，試題有一定的難度．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．