2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 文（含解析） 一、選擇題（12×5=60分） 1．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），則=（） A． （5，7） B． （﹣3，﹣3） C． （3，3） D． （﹣5，﹣7） 2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，則（） A． a=3 B． a=2 C． a=﹣3 D． a=﹣2 3．（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，成等差數(shù)列，則=（） A． ﹣1或3 B． 3 C． 27 D． 1或27 4．（5分）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+?）（ω＞0，﹣＜?＜）的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是（） A． 2，﹣ B． 2，﹣ C． D． ， 5．（5分）下列有關(guān)命題的說法正確的是（） A． 命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1” B． “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件 C． 命題“?x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x﹣1＞0” D． 命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題 6．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（） A． （﹣∞，﹣2]∪[4，+∞） B． （﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） C． （﹣2，4） D． （﹣4，2） 7．（5分）已知實數(shù)x，y滿足，若z=y﹣ax取得最大值時的唯一最優(yōu)解是（3，2），則實數(shù)a的取值范圍為（） A． a＜1 B． a＜2 C． a＞1 D． 0＜a＜1 8．（5分）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若＞a＞b＞1，則f（a），f（b），f（c）比較大小關(guān)系正確的是（） A． f（c）＞f（b）＞f（a） B． f（b）＞f（c）＞f（a） C． f（c）＞f（a）＞f（b） D． f（b）＞f（a）＞f（c） 9．（5分）已知A，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示，，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為（） A． ω=2，φ= B． ω=2，φ= C． ω=，φ= D． ω=，φ= 10．（5分）定義式子運算為=a1a4﹣a2a3將函數(shù)f（x）=的圖象向左平移n（n＞0）個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為（） A． B． C． D． 11．（5分）當(dāng)x∈（1，2）時，不等式x2+1＜2x+logax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（） A． （0，1） B． （1，2] C． （1，2） D． [2，+∞） 12．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對于任意的x，f′（x）恒成立，則不等式f（lg2x）＜+的解集為（） A． （0，） B． （10，+∞） C． （，10） D． （0，）∪（10，+∞） 二、填空題（5×4=20分） 13．（5分）已知向量，向量，且，則實數(shù)x等于． 14．（5分）在正項等比數(shù)列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，則a1a11的值是． 15．（5分）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB三等分點，M，N是線段AB的三等分點，若OA=6，則的值是 ． 16．（5分）對任意實數(shù)a，b定義運算“?”：a?b=，設(shè)f（x）=（x2﹣1）?（4+x），若函數(shù)y=f（x）+k恰有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是． 三、解答題 17．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知?=2，cosB=，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 18．（12分）設(shè)命題p：f（x）=在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；命題q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩個實根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q為真，試求實數(shù)m的取值范圍． 19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=5，S9=99． （1）求an 及Sn； （2）若數(shù)列{}的前n項和Tn，試證明不等式≤Tn＜1成立． 20．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù)，且在x=﹣1處取得極大值2． （1）求f（x）的解析式． （2）若f（x）+（m+2）x≤x2（ex﹣1）對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍． 選修4-5：不等式選講 22．（10分）已知函數(shù)f（x）=|x﹣2| （1）解不等式xf（x）+3＞0； （2）對于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范圍． 山東省棗莊市滕州實驗中學(xué)xx高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（12×5=60分） 1．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），則=（） A． （5，7） B． （﹣3，﹣3） C． （3，3） D． （﹣5，﹣7） 考點： 向量的減法及其幾何意義；平面向量的坐標(biāo)運算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 直接利用向量的減法運算法則求解即可． 解答： 解：∵向量=（1，2），=（4，5）， ∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）； 故選：B． 點評： 本題考查向量的減法運算以及減法的幾何意義，基本知識的考查． 2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，則（） A． a=3 B． a=2 C． a=﹣3 D． a=﹣2 考點： 交集及其運算． 專題： 集合． 分析： 根據(jù)A，B，以及兩集合的交集，確定出a的值即可． 解答： 解：聯(lián)立得：， 把x=2，y=5代入得：5=2a+1， 解得：a=2， 故選：B． 點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 3．（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，成等差數(shù)列，則=（） A． ﹣1或3 B． 3 C． 27 D． 1或27 考點： 等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，設(shè)出首項為a1，公比為q，根據(jù)成等差數(shù)列，可以求出公比q，再代入所求式子進(jìn)行計算； 解答： 解：∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比為q， ∵成等差數(shù)列， ∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3， ∵正數(shù)的等比數(shù)列q=﹣1舍去， 故q=3， ∴====27， 故選C； 點評： 此題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題，計算量有些大，注意q=﹣1要舍去否則會有兩個值； 4．（5分）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+?）（ω＞0，﹣＜?＜）的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是（） A． 2，﹣ B． 2，﹣ C． D． ， 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用正弦函數(shù)的周期性可求得==，可求得ω=2；再利用“五點作圖法”可求得?，從而可得答案． 解答： 解：由圖知，==﹣=，故ω=2． 由“五點作圖法”知，2+?=，解得?=﹣∈（﹣，）， 故選：A． 點評： 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的周期性與“五點作圖法”的應(yīng)用，考查識圖能力，屬于中檔題． 5．（5分）下列有關(guān)命題的說法正確的是（） A． 命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1” B． “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件 C． 命題“?x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x﹣1＞0” D． 命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題 考點： 四種命題． 專題： 簡易邏輯． 分析： A中，寫出該命題的否命題，即可判斷A是否正確； B中，判斷充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正確； C中，寫出該命題的否定命題，從而判斷C是否正確． D中，判斷原命題的真假性，即可得出它的逆否命題的真假性． 解答： 解：對于A，該命題的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，∴A錯誤； 對于B，x=﹣1時，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0時，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要條件，B錯誤； 對于C，該命題的否定是：“?x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C錯誤． 對于D，x=y時，sinx=siny成立，∴它的逆否命題也為真命題，∴D正確． 故選：D． 點評： 本題考查了四種命題之間的關(guān)系，也考查了命題特稱命題與全稱命題的關(guān)系以及命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題． 6．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（） A． （﹣∞，﹣2]∪[4，+∞） B． （﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） C． （﹣2，4） D． （﹣4，2） 考點： 基本不等式；函數(shù)恒成立問題． 專題： 計算題． 分析： x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可． 解答： 解：∵x＞0，y＞0，且， ∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（當(dāng)且僅當(dāng)x=4，y=2時取到等號）． ∴（x+2y）min=8． ∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8， 解得：﹣4＜m＜2． 故選D． 點評： 本題考查基本不等式與函數(shù)恒成立問題，將問題轉(zhuǎn)化為求x+2y的最小值是關(guān)鍵，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化與應(yīng)用基本不等式的能力，屬于中檔題． 7．（5分）已知實數(shù)x，y滿足，若z=y﹣ax取得最大值時的唯一最優(yōu)解是（3，2），則實數(shù)a的取值范圍為（） A． a＜1 B． a＜2 C． a＞1 D． 0＜a＜1 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用目標(biāo)函數(shù)z=y﹣ax（a∈R）當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=2時取最大值，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值范圍． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）． 則A（3，2），B（1，0），C（2，0） 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大． 平移直線y=ax+z，則直線的截距最大時，z也最大， 當(dāng)a＜0時，直線y=ax+z，在A（3，2）處的截距最大，此時滿足條件， 當(dāng)a=0時，y=z在A（3，2）處的截距最大，此時滿足條件， 當(dāng)a＞0時，要使直線y=ax+z，在A（3，2）處的截距最大 則目標(biāo)函數(shù)的斜率a小于直線AB的斜率1， 即0＜a＜1， 綜上a＜1， 故選：A 點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法． 8．（5分）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若＞a＞b＞1，則f（a），f（b），f（c）比較大小關(guān)系正確的是（） A． f（c）＞f（b）＞f（a） B． f（b）＞f（c）＞f（a） C． f（c）＞f（a）＞f（b） D． f（b）＞f（a）＞f（c） 考點： 對數(shù)的運算性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由＞a＞b＞1得出ln＞lna＞lnb＞0，再由ln=﹣lnc，得出|lnc|=|ln|；即可判定f（a），f（b），f（c）的大小關(guān)系． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）=|lnx|， 且＞a＞b＞1時，ln＞lna＞lnb＞0； ∴|ln|＞|lna|＞|lnb|＞0； 又ln=﹣lnc， ∴|lnc|=|ln|； 即|lnc|＞|lna|＞|lnb|； ∴f（c）＞f（a）＞f（b）． 故選：C． 點評： 本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判定對數(shù)值大小的問題，解題時應(yīng)熟練地掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及對數(shù)的運算法則，是基礎(chǔ)題． 9．（5分）已知A，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示，，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為（） A． ω=2，φ= B． ω=2，φ= C． ω=，φ= D． ω=，φ= 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 通過函數(shù)的圖象，結(jié)合已知條件求出函數(shù)的周期，推出ω，利用A的坐標(biāo)求出?的值即可． 解答： 解：因為A，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示， ，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱， 在x軸上的投影為， 所以T=4（）=π，所以ω=2，因為， 所以0=sin（﹣+?），0＜?＜，?=． 故選B． 點評： 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，正確利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力． 10．（5分）定義式子運算為=a1a4﹣a2a3將函數(shù)f（x）=的圖象向左平移n（n＞0）個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為（） A． B． C． D． 考點： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；二階矩陣． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 先根據(jù)題意確定函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)左加右減的原則得到平移后的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可確定n的值． 解答： 解：由題意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+） 將函數(shù)f（x）的圖象向左平移n（n＞0）個單位后得到y(tǒng)=2cos（x+n+）為偶函數(shù) ∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+） ∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+） ∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+） ∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ ∴n=﹣+kπ n大于0的最小值等于 故選C． 點評： 本題主要考查兩角和與差的余弦公式、三角函數(shù)的奇偶性和平移變換．平移時根據(jù)左加右減上加下減的原則進(jìn)行平移． 11．（5分）當(dāng)x∈（1，2）時，不等式x2+1＜2x+logax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（） A． （0，1） B． （1，2] C． （1，2） D． [2，+∞） 考點： 函數(shù)恒成立問題． 專題： 計算題；綜合題． 分析： 根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由已知中當(dāng)x∈（1，2）時，不等式x2+1＜2x+logax恒成立，則a＞1，y=logax必為增函數(shù)，且當(dāng)x=2時的函數(shù)值不小于1，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案． 解答： 解：∵x∈（1，2）時，不等式x2+1＜2x+logax恒成立，即x∈（1，2）時，logax＞（x﹣1）2恒成立． ∵函數(shù)y=（x﹣1）2在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x∈（1，2）時，y=（x﹣1）2∈（0，1）， ∴若不等式logax＞（x﹣1）2恒成立， 則a＞1且loga2≥1，故1＜a≤2． 即a∈（1，2]， 故選B． 點評： 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，其中根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵． 12．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對于任意的x，f′（x）恒成立，則不等式f（lg2x）＜+的解集為（） A． （0，） B． （10，+∞） C． （，10） D． （0，）∪（10，+∞） 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 設(shè)g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集． 解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）=f′（x）﹣＜0， ∴g（x）為減函數(shù)． 又f（1）=1， ∵f（lg2x）＜+， ∴g（lg2x）=f（lg2x）﹣lg2x＜+﹣lg2x==f（1）﹣=g（1）=g（lg210）， ∴l(xiāng)g2x＜lg210， ∴（lgx+lg10）（lgx﹣lg10）＜0， ∴﹣lg10＜lgx＜lg10， 解得＜x＜10， 故選：C 點評： 本題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，是一道綜合性較強的試題，屬于中檔題 二、填空題（5×4=20分） 13．（5分）已知向量，向量，且，則實數(shù)x等于9． 考點： 數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 專題： 計算題． 分析： 利用兩個向量共線，它們的坐標(biāo)滿足x1y2﹣x2y1=0，解方程求得x的值． 解答： 解：∵向量，向量， ∴=（1﹣x，4）． ∴， ∴=（1，2）?（1﹣x，4）=1﹣x+8=0， ∴x=9， 故答案為 9． 點評： 本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，屬于基礎(chǔ)題． 14．（5分）在正項等比數(shù)列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，則a1a11的值是10000． 考點： 等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由題意可得可得lg（a3a6a9）=6，從而得a63=106，求得 a6 的值，再由a1a11=a62，運算求得結(jié)果． 解答： 解：∵lga3+lga6+lga9=6，∴l(xiāng)g（a3a6a9）=6，∴a63=106，解得a6=102． ∴a1a11=a62=104=10000． 故答案為：10000． 點評： 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)的運算性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題． 15．（5分）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB三等分點，M，N是線段AB的三等分點，若OA=6，則的值是 26． 考點： 平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)向量加法的三角形法則，把要求向量數(shù)量積的兩個向量變化為兩個向量和的形式，根據(jù)多項式乘以多項式的法則，展開代入向量的模長和夾角，得到結(jié)果． 解答： 解：∵， ， ∴=（）?（） = =﹣4+2 =26， 故答案為：26 點評： 本題考查向量的三角形法則，考查向量的數(shù)量積，考查兩個向量的夾角，是一個把向量化未知為已知的問題，題目比較新穎． 16．（5分）對任意實數(shù)a，b定義運算“?”：a?b=，設(shè)f（x）=（x2﹣1）?（4+x），若函數(shù)y=f（x）+k恰有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是﹣2≤k＜1． 考點： 函數(shù)零點的判定定理． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 化簡函數(shù)f（x）的解析式，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，由題意可得，函數(shù)y=f（x）與y=﹣k的圖象有3個交點，結(jié)合圖象求得結(jié)果．． 解答： 解：當(dāng)（x2﹣1）﹣（x+4）＜1時，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3）， 當(dāng)（x2﹣1）﹣（x+4）≥1時，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2）， 函數(shù)y=f（x）=的圖象如圖所示： 由圖象得：要使函數(shù)y=f（x）+k恰有三個零點，只要函數(shù)f（x）與y=﹣k的圖形由三個交點即可， 所以﹣1＜k≤2，所以﹣2≤k＜1； 故答案為：﹣2≤k＜1． 點評： 本題主要考查數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的零點個數(shù)問題，關(guān)鍵是正確畫圖、識圖；體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 三、解答題 17．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知?=2，cosB=，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 考點： 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；兩角和與差的余弦函數(shù)． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： （Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡?=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進(jìn)而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值． 解答： 解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=， ∴c?acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4， ∴a2+c2=13②， 聯(lián)立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB===， 由正弦定理=得：sinC=sinB==， ∵a=b＞c，∴C為銳角， ∴cosC===， 則cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=+=． 點評： 此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵． 18．（12分）設(shè)命題p：f（x）=在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；命題q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩個實根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q為真，試求實數(shù)m的取值范圍． 考點： 函數(shù)恒成立問題；復(fù)合命題的真假． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先根據(jù)分式函數(shù)的單調(diào)性求出命題p為真時m的取值范圍，然后根據(jù)題意求出|x1﹣x2|的最大值，再解不等式，若﹣p∧q為真則命題p假q真，從而可求出m的取值范圍． 解答： 解：∵f（x）=在區(qū)間（﹣∞，m），（m，+∞）上是減函數(shù)，而已知在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)， ∴m≤1，即命題p為真命題時m≤1，命題p為假命題時m＞1， ∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩個實根 ∴ ∴|x1﹣x2|== ∴當(dāng)a∈[﹣1，1]時，|x1﹣x2|max=3， 由不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)a∈[﹣1，1]恒成立． 可得：m2+5m﹣3≥3，∴m≥1或m≤﹣6， ∴命題q為真命題時m≥1或m≤﹣6， ∵﹣p∧q為真， ∴命題p假q真，即， ∴實數(shù)m的取值范圍是m＞1． 點評： 本題主要考查了命題真假的判斷的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題． 19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=5，S9=99． （1）求an 及Sn； （2）若數(shù)列{}的前n項和Tn，試證明不等式≤Tn＜1成立． 考點： 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，運用通項公式和求和公式，列方程，即可解得首項和公差，進(jìn)而得到通項和求和； （2）化簡數(shù)列bn==﹣，運用相互抵消求和可得Tn，再由數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得證． 解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a2=5，S9=99．∴a1+d=5，9a1+d=99， 解得a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，Sn=3n+n（n﹣1）?2=n2+2n； （2）證明：設(shè)bn=，∵an=2n+1，∴an2﹣1=4n（n+1）， ∴bn===﹣， 即有Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+（）+…+（﹣） =1﹣＜1， 又Tn=1﹣為遞增數(shù)列，即有Tn≥T1=1﹣， 綜上所述：不等式≤Tn＜1成立． 點評： 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題． 20．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù)，且在x=﹣1處取得極大值2． （1）求f（x）的解析式． （2）若f（x）+（m+2）x≤x2（ex﹣1）對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 考點： 函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）由f（x）=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù)知b=d=0，再由f（x）在x=﹣1處取得極大值2知，從而解得； （2）化簡f（x）+（m+2）x≤x2（ex﹣1）為（m+2）x≤x2（ex﹣1）﹣x3+3x，從而分x=0與x≠0討論，從而化恒成立問題為最值問題即可． 解答： 解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù)， ∴b=d=0， ∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c； 又∵f（x）在x=﹣1處取得極大值2， ∴， 解得，a=1，c=﹣3； 故f（x）解析式為f（x）=x3﹣3x； （2）∵f（x）+（m+2）x≤x2（ex﹣1）， ∴x3﹣3x+（m+2）x≤x2（ex﹣1）， 即（m+2）x≤x2（ex﹣1）﹣x3+3x， 當(dāng)x=0時，m∈R； 當(dāng)x＞0時， m+2≤xex﹣x﹣x2+3， 即m≤x（ex﹣x﹣1）+1， 令h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1＞0， ∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增， 故h（x）＞h（0）=0； ∴x（ex﹣x﹣1）+1＞1； ∴m≤1； ∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，1]． 點評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值． （2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，則，x∈[，e]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值 解答： 解：（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1， 當(dāng)x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈（），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增， ①0＜t＜t+2＜，沒有最小值； ②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜時，f（x）min=f（）=﹣； ③，即t時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt． ∴． （2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣， ∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]， 設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]， 則，x∈[，e]， ①x∈[，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減， ②x∈（1，e]時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增， ∴h（x）max=h（e）=2+e+，對一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立， ∴a≤h（x）max=2+e+． 點評： 本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用． 選修4-5：不等式選講 22．（10分）已知函數(shù)f（x）=|x﹣2| （1）解不等式xf（x）+3＞0； （2）對于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范圍． 考點： 函數(shù)恒成立問題． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去絕對值后化為不等式組，求解不等式組得答案； （2）把f（x）＜m﹣|x|，分離變量m后構(gòu)造分段函數(shù)，求解分段函數(shù)的最大值，從而得到m的取值范圍． 解答： 解：（1）∵f（x）=|x﹣2|， ∴xf（x）+3＞0?x|x﹣2|+3＞0?①或②， 解①得：﹣1＜x≤2， 解②得x＞2， ∴不等式xf（x）+3＞0的解集為：（﹣1，+∞）； （2）f（x）＜m﹣|x|?f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m， 設(shè)g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3）， 則， g（x）在（﹣3，0]上單調(diào)遞減，2≤g（x）＜8； g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，2＜g（x）＜4 ∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8， 故m≥8時不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立． 點評： 本題考查函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了絕對值不等式的解法，考查了分離變量法求求自變量的取值范圍，是中檔題．