2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2-3 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系教案 新人教A版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2-3 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系教案 新人教A版選修1-1 ●三維目標(biāo) 1.知識與技能 初步理解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式；初步理解四種命題間的相互關(guān)系并能判斷命題的真假． 2．過程與方法 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力． 3．情感、態(tài)度與價值觀 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，勇于探索的創(chuàng)新意識，感受探索的樂趣． ●重點、難點 重點：四種命題之間相互的關(guān)系． 難點：正確區(qū)分命題的否定形式及否命題． 通過一個生活中的場景引出邏輯在生活中必不可少的重要地位，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)四種命題的興趣，然后主要通過對概念的講解和分析，并配以適量的課堂練習(xí)，讓學(xué)生掌握四種命題的概念，會寫四種命題，并掌握四種命題之間的關(guān)系以及通過逆否命題來判斷命題的真假；最后運用所學(xué)命題知識解決實際生活中的問題，讓學(xué)生學(xué)會用理性的邏輯推理能力思考問題，從而突破重難點． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 這節(jié)內(nèi)容是以概念的理解和關(guān)系的思辨為主的，因此采用以講解和練習(xí)強化為主要方法，并在講解過程中引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分地思考和動手演練．宜采取的教學(xué)方法：(1)啟發(fā)式教學(xué)．這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，有利于學(xué)生對知識進行主動建構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；(2)講練結(jié)合法．這樣更能突出重點、解決難點，讓學(xué)生的分析問題和解決問題的能力得到進一步的提高． 學(xué)習(xí)方法：(1)由特殊到一般的化歸方法：學(xué)習(xí)中學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過具體的實例，讓學(xué)生去觀察、討論、探索、分析、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括；(2)講練結(jié)合法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重生在運用，從而檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距并及時加以補救． 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解命題的四種形式及其關(guān)系，利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題之間的等價性解決有關(guān)問題，滲透由特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想． ●教學(xué)流程 ??????? (對應(yīng)學(xué)生用書第4頁) 課標(biāo)解讀 1.了解四種命題的概念，會寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題．(重點) 2．認識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系．(難點) 3．利用命題真假的等價性解決簡單問題．(難點，易錯點) 四種命題的概念 【問題導(dǎo)思】 給出以下四個命題： (1)對頂角相等； (2)相等的兩個角是對頂角； (3)不是對頂角的兩個角不相等； (4)不相等的兩個角不是對頂角； 1．你能說出命題(1)與(2)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？ 【提示】 它們的條件和結(jié)論恰好互換了． 2．命題(1)與(3)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系？命題(1)與(4)呢？ 【提示】 命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定．命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定． 一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個命題叫做互逆命題，如果是另一個命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把兩個命題叫做互否命題．如果是另一個命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．把第一個叫做原命題時，另三個可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題． 四種命題的關(guān)系 【問題導(dǎo)思】 1．為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“綈p”和“綈q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題該如何表示？ 【提示】 逆命題：若q，則p. 否命題：若綈p，則綈q. 逆否命題：若綈q，則綈p. 2．原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其否命題呢？ 【提示】 互逆、互否、互為逆否． 四種命題的相互關(guān)系 四種命題的真假關(guān)系 【問題導(dǎo)思】 1．知識1的“問題導(dǎo)思”中四個命題的真假性是怎樣的？ 【提示】 (1)真命題，(2)假命題，(3)假命題，(4)真命題． 2．如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的逆否命題呢？ 【提示】 原命題為真，其逆命題不一定為真，但其逆否命題一定為真． 1．在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題． 2．兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系. (對應(yīng)學(xué)生用書第5頁) 四種命題的概念 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題． (1)全等三角形的對應(yīng)邊相等； (2)當(dāng)x＝2時，x2－3x＋2＝0. 【思路探究】 (1)原命題的條件與結(jié)論分別是什么？ (2)把原命題的條件與結(jié)論作怎樣的變化就能寫出它的逆命題、否命題和逆否命題？ 【自主解答】 (1)原命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形三邊對應(yīng)相等． 逆命題：若兩個三角形三邊對應(yīng)相等，則兩個三角形全等． 否命題：若兩個三角形不全等，則兩個三角形三邊對應(yīng)不相等． 逆否命題：若兩個三角形三邊對應(yīng)不相等，則這兩個三角形不全等． (2)原命題：若x＝2，則x2－3x＋2＝0， 逆命題：若x2－3x＋2＝0，則x＝2， 否命題：若x≠2，則x2－3x＋2≠0， 逆否命題：若x2－3x＋2≠0，則x≠2. 1．給出一個命題，寫出該命題的其他三種命題時，首先考慮弄清所給命題的條件與結(jié)論，若給出的命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)改寫成“若p，則q”的形式． 2．把原命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論就得到逆命題；否定條件作為條件，否定結(jié)論作為結(jié)論便得到否命題；否命題的逆命題就是原命題的逆否命題． 分別寫出下列命題的逆命題 、否命題和逆否命題． (1)負數(shù)的平方是正數(shù)； (2)若a＞b，則ac2＞bc2. 【解】 (1)原命題可以改寫成：若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)； 逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)； 否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)； 逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)． (2)逆命題：若ac2＞bc2，則a＞b； 否命題：若a≤b，則ac2≤bc2； 逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b. 四種命題真假的判斷 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，然后判斷真假． (1)菱形的對角線互相垂直； (2)等高的兩個三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分線平分弦所對的弧． 【思路探究】 →→ 【自主解答】 (1)逆命題：若一個四邊形的對角線互相垂直，則它是菱形，是假命題． 否命題：若一個四邊形不是菱形，則它的對角線不互相垂直，是假命題． 逆否命題：若一個四邊形的對角線不互相垂直，則這個四邊形不是菱形，是真命題． (2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等高，是真命題． 否命題：若兩個三角形不等高，則這兩個三角形不全等，是真命題． 逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等高，是假命題． (3)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，是假命題． 否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的弧，是假命題． 逆否命題：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，是真命題． 1．本例題目中命題的條件和結(jié)論不明顯，為了不出錯誤，可以先改寫成“若p，則q”的形式，再寫另外三種命題，進而判斷真假． 2．要判定四種命題的真假，首先，要正確理解四種命題間的相互關(guān)系；其次，正確利用相關(guān)知識進行判斷推理．若由“p經(jīng)邏輯推理得出q”，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q”為假時，則只需舉一個反例說明． 3．互為逆否命題等價．當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，可通過判定其逆否命題的真假來判斷． 下列命題中正確的是( ) ①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題； ②“正三角形都相似”的逆命題； ③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題． A．①②③ B．①③ C．②③ D．① 【解析】?、僭}的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”．真命題． ②原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形．”假命題． ③原命題的逆否命題為“若x2＋x－m＝0無實根，則m≤0”． ∵方程x2＋x－m＝0無實根， ∴判別式Δ＝1＋4m＜0，m＜－. 故m≤0，為真命題． 故正確的命題是①，③選B. 【答案】 B 等價命題的應(yīng)用 若a2＋b2＝c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)． 【思路探究】 (1)a，b，c不可能都是奇數(shù)包含幾種情況？ (2)它的反面是什么？能否考慮證它的逆否命題？ 【自主解答】 若a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，所以a2＋b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2＋b2≠c2.即原命題的逆否命題為真命題，故原命題為真，所以若a2＋b2＝c2，則a、b、c不可能都是奇數(shù)． 1．因為“a、b、c不可能都是奇數(shù)”這一結(jié)論包含多種情況，而其否定只有一種情況，即“a、b、c都是奇數(shù)，”故應(yīng)選擇證明它的逆否命題為真命題，以使問題簡單化． 2．當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難，或者在判斷真假時涉及到分類討論時，通常轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，因為互為逆否命題的真假是等價的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略． 3．四種命題中，原命題與其逆否命題是等價的，有相同的真假性，原命題的否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時不要忽視． “已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，則a＜2”，判斷其逆否命題的真假． 【解】 ∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集． ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0， 則4a－7＜0，解得a＜. 因此a＜2，原命題是真命題． 又互為逆否命題的命題等價，故逆否命題是真命題. (對應(yīng)學(xué)生用書第6頁) 因否定錯誤致誤 寫出命題“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假． 【錯解】 逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題； 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y全不為零，是假命題． 【錯因分析】 本題中的錯解主要是對原命題中結(jié)論的否定錯誤．對“x，y全為零”的否定，應(yīng)為“x，y不全為零”，而不是“x，y全不為零”． 【防范措施】 要寫出一個命題的否命題，需要既否定條件，又否定結(jié)論，否定時一定要注意一些詞語，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等． 【正解】 逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，是真命題． 1．寫出四種命題的方法： (1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題； (2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題； (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題． 2．四種命題的真假關(guān)系： 若原命題為真，它的逆命題、否命題不一定為真，它的逆否命題一定為真；互為逆否命題的兩個命題的真假性相同．因此，若一個命題的真假不易判斷時，我們可借助它的逆否命題進行判斷. (對應(yīng)學(xué)生用書第7頁) 1．(xx福州高二檢測)已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥”的否命題是( ) A．若a2＋b2＜，則a＋b≠1 B．若a＋b＝1，則a2＋b2＜ C．若a＋b≠1，則a2＋b2＜ D．若a2＋b2≥，則a＋b＝1 【解析】 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分別是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜”，故否命題為：“若a＋b≠1，則a2＋b2＜”． 【答案】 C 2．命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的( ) A．逆命題 B．否命題 C．逆否命題 D．無關(guān)命題 【解析】 從兩種命題的形式來看是條件與結(jié)論換位，因此為逆命題． 【答案】 A 3．命題“當(dāng)x＝2時，x2＋x－6＝0”的逆否命題是____． 【解析】 原命題結(jié)論的否定作條件，條件的否定作結(jié)論，寫出逆否命題即可． 【答案】 當(dāng)x2＋x－6≠0時，x≠2. 4．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假． (1)若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根； (2)若ab＝0，則a＝0或b＝0. 【解】 (1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn＜0.假命題； 否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根．假命題； 逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0.真命題． (2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題； 否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題； 逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0.真命題． 一、選擇題 1．命題“若綈p，則q”是真命題，則下列命題一定是真命題的是( ) A．若p，則綈q B．若q，則綈p C．若綈q，則p D．若綈q，則綈p 【解析】 若“綈p，則q”的逆否命題是“若綈q，則p”，又互為逆否命題真假性相同． ∴“若綈q，則p”一定是真命題． 【答案】 C 2．若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是( ) A．互逆命題 B．互否命題 C．互為逆否命題 D．以上都不正確 【解析】 設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”，故q與r為互逆命題． 【答案】 A 3．(xx臺州高二檢測)已知命題p：若a＞0，則方程ax2＋2x＝0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數(shù)為( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題．故選B. 【答案】 B 4．(xx大慶高二檢測)下列判斷中不正確的是( ) A．命題“若A∩B＝B，則A∪B＝A”的逆否命題為真命題 B．“矩形的兩條對角線相等”的逆否命題為真命題 C．“已知a，b，m∈R，若am2下載提示(請認真閱讀)
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