2019-2020年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第07講 函數的奇偶性的判斷和證明.doc

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2019-2020年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第07講 函數的奇偶性的判斷和證明 【知識要點】 一、函數的奇偶性的定義 對于函數，其定義域關于原點對稱，如果恒有，那么函數為奇函數；如果恒有，那么函數為偶函數. 二、奇偶函數的性質 1、奇偶函數的定義域關于原點對稱；2、 偶函數的圖像關于軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱；3、偶函數在對稱區(qū)間的增減性相同，奇函數在對稱區(qū)間的增減性相反；4、 奇函數在原點有定義時，必有. 三、判斷函數的奇偶性的方法 判斷函數的奇偶性的方法，一般有三種：定義法、和差判別法、作商判別法. 1、定義法 首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數；如果函數的定義域關于原點對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關系，如果有=，則函數是偶函數，如果有=-，則函數是奇函數，否則是非奇非偶函數. 2、和差判別法 對于函數定義域內的任意一個，若，則是奇函數；若，則是偶函數. 3、 作商判別法 對于函數定義域內任意一個，設，若，則是奇函數，，則是偶函數. 【方法講評】 方法一 定義法 使用情景 具體函數和抽象函數都適用. 解題步驟 首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數；如果函數的定義域關于原點對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關系，如果有=，則函數是偶函數，如果有=-，則函數是奇函數，否則是非奇非偶函數. 【例1】判斷下列函數的奇偶性. （1） （2） 【點評】（1）判斷函數的奇偶性首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數是非奇非偶函數. (2)函數的定義域關于原點對稱，是函數為奇偶函數的必要非充分條件.（3）函數的定義域求出來之后，還要注意在解題中應用，不是走一個過場和形式.第2小題就是利用求出的定義域對函數進行了化簡. 【例2】 定義在實數集上的函數，對任意，有 且 ①求證： ②求證：是偶函數 【解析】證明：①令，則 ∵ ∴ ②令，則 ∴ ∴是偶函數 【點評】對于抽象函數的奇偶性的判斷，和具體函數的判斷方法一樣，不同的是，由于它是抽象函數，所以在判斷過程中，多要利用賦值法，常賦一些特殊值，如等. 【例3】判斷函數的奇偶性 【點評】（1）對于分段函數奇偶性的判斷，也是要先看函數的定義域，再考慮定義，由于它是分段函數，所以要分類討論. （2）注意，當求要代入下面的解析式，因為,不是還代入上面一段的解析式. 【反饋檢測1】已知 （1）判斷的奇偶性； （2）求的值域． 【反饋檢測2】已知函數定義域為，若對于任意的，都有 ，且時，有. （1）證明函數是奇函數；（2）討論函數在區(qū)間上的單調性； （3）設，若，對所有，恒成立，求實數的取值范圍. 方法二 和差判別法 使用情景 一般與對數函數指數函數有關. 解答步驟 對于函數定義域內的任意一個，若，則是奇函數；若，則是偶函數. 【例4】判斷函數的奇偶性. 【點評】和差判別法實際上是奇偶函數定義的等價形式，但是利用定義判斷，計算較為復雜，利用和差判別法可以化繁為簡，簡捷高效. 【反饋檢測3】已知函數. （1）求的定義域； （2）判定的奇偶性； （3）是否存在實數，使得的定義域為時，值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【例5】判斷函數的奇偶性. 【解析】由題得，因為 ，所以，所以是偶函數. 【點評】和差判別法實際上是奇偶函數定義的等價形式，但是利用定義判斷，計算較為復雜，利用和差判別法可以化繁為簡，簡潔高效. 方法三 作商判別法 使用情景 一般含有指數函數運算. 解答步驟 對于函數定義域內任意一個，設，若，則是奇函數，，則是偶函數. 【例6】 證明函數是奇函數. 【點評】作商判別法實際上是奇偶函數定義的等價形式，但是利用定義判斷，計算較為復雜，利用作商判別法可以化繁為簡，簡捷高效. 高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第07講： 函數的奇偶性的判斷和證明參考答案 【反饋檢測1答案】（1）奇函數；（2）． 【反饋檢測2答案】（1）奇函數；（2）單調遞增函數；（3）或. 【反饋檢測2詳細解析】（1）因為有， 令，得，所以， 令可得： 所以，所以為奇函數. （2）是定義在上的奇函數，由題意設，則 由題意時，有， 是在上為單調遞增函數； （3）因為在上為單調遞增函數，所以在上的最大值為， 所以要使<，對所有恒成立， 只要，即， 令 由 得，或. 【反饋檢測3答案】（1）定義域為；（2）在定義域上為奇函數；（3）. 即是方程的兩個實根，于是問題轉化成關于的方程 上有兩個不同的實數解. 令 則有： 故存在這樣的實數符合題意.