蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件向量的坐標(biāo)表.ppt

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1．了解平面向量的基本定理及其意義． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．,第2課時(shí) 向量的坐標(biāo)表示,【命題預(yù)測】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量運(yùn)算的關(guān)鍵，平面向量的坐標(biāo)是代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，它融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式與幾何形式的雙重身份，也是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)交匯，使數(shù)學(xué)問題的情景新穎別致、自然流暢．單獨(dú)命題時(shí)，題型一般以填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題．經(jīng)常利用平面向量的靈活性，與平面幾何、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)綜合出現(xiàn)，此類型的題一般出現(xiàn)在解答題中，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．,1．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 ＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如A(x，y)，向量a＝ ＝(x，y)．把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來．兩向量相等的充要條件是它們對應(yīng)的坐標(biāo)相等，即相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量，但相等的向量起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)卻可以不同．向量的坐標(biāo)揭示并描述了向量的終點(diǎn)相對于起點(diǎn)的位置關(guān)系，與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．,【應(yīng)試對策】,2． (t∈R)?A，B，P三點(diǎn)共線，這是直線的向量參數(shù)方程式，應(yīng)結(jié)合平面向量基本定理加以理解．特別地，在t＝ 時(shí)， ＝ ＋ ?P為線段AB的中點(diǎn)，這就是線段AB的中點(diǎn)向量表達(dá)式，此公式在用向量解決平面幾何問題時(shí)經(jīng)常用到，要熟練掌握．,【知識(shí)拓展】 線段的定比分點(diǎn) 如果點(diǎn)P滿足 ，點(diǎn)P叫做有向線段 的定比分點(diǎn)．當(dāng)P1、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)且λ≠－1時(shí)，則P的坐標(biāo)(x，y)可由下面的公式求 出 這個(gè)公式叫做線段的定比分點(diǎn)公式．,1．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝ . 其中， 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．,不共線,有且只有,λ1e1＋λ2e2,不共線的向量e1、e2,(2)平面向量的正交分解 一個(gè)平面向量用一組基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我們稱它為向量a的 ．當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的 ． (3)平面向量的坐標(biāo)表示 對于向量a，當(dāng)它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)O時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)稱為向量a的 ， 記作a＝ ．,分解,正交分解,坐標(biāo),(x，y),2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算,(x1＋x2，y1＋y2),(x1－x2，y1－y2),(λx1，λy1),,,,(2)向量坐標(biāo)的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ＝(x2－x1，y2－y1)， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量 的坐標(biāo)減去 的坐標(biāo)． (3)向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 則a與b共線?a＝ ? .,終點(diǎn),始點(diǎn),x1y2－x2y1＝0,λb,1．(2010南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測試)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)， 若(λa＋b)⊥(a－b)，則λ＝________. 解析：(λa＋b)(a－b)＝(λ＋2,2λ＋3)(－1，－1)＝0. －λ－2－2λ－3＝0，λ＝ 答案：,2. 已知點(diǎn)A（2，3），B（-1，5），且 則點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別是________，________. 解析： ∵ ＝(－3,2)，設(shè)C(x，y)，則由 得：(x－2，y－3)＝ (－3,2)， ∴x＝1，y＝ ，∴C(1， )．同理得D(－7,9)． 答案：(1， ) (－7,9),3．(2010鹽城中學(xué)高三上學(xué)期期中考試)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)， c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 解析：a－c＝(3－k，－6)，由題知(3－k)3＋6＝0，∴k＝5. 答案：5,4．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，則向量a，b的坐標(biāo)分別是 ________，________. 解析：∵2a＋b＝(－4,3)，∴4a＋2b＝(－8,6)，a－2b＝(3,4)， ∴5a＝(－5,10)，a＝(－1,2)， b＝(－4,3)－2a＝(－4,3)－2(－1,2)＝(－2，－1)． 答案：(－1,2) (－2，－1),5．(蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查)已知向量 ＝(0,1)， ＝(k，k)， ＝(1,3)，且 ，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析：∵ ＝(k，k－1)， ＝(1,2)， ∴2k－(k－1)＝0，∴k＝－1. 答案：－1,1．由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可以用一組基底表示， 基底不同，表示的方法也不同． 2．利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行 向量的線性運(yùn)算．,【例1】如右圖， 在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)， 已知 試用c，d表示 思路點(diǎn)撥：直接用c，d表示 有難度，可換一個(gè)角度， 由 表示 ，進(jìn)而求,解：解法一：設(shè) 則 ， ① b＝ ， ② 將②代入①得a＝ ，代入② 得b＝c＋,解法二：設(shè) .因M，N分別為CD，BC中點(diǎn)， 所以 ， 因而? 即,變式1：如上圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上， 且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM的值． 解：設(shè) ，則 ＝－3e2－e1， ＝2e1＋e2.因?yàn)锳、P、M和B、P、N分別共線， 所以存在實(shí)數(shù)μ、λ，使 ＝－3λe2－λe1， ＝2μe1＋μe2，,∴ ＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 另外 ＝2e1＋3e2， ∴ ∴ ∴AP∶PM＝4∶1.,1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知 有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意 方程思想的運(yùn)用． 2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題．主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一 原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解． 3．利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)． 4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn) 了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾 何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．,【例2】 已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且 ， 求點(diǎn)M、N及 的坐標(biāo)． 思路點(diǎn)撥：由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)易求得 的坐標(biāo)， 再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可求出M、N的坐標(biāo)．,解：∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)， ∴ ＝(1,8)， ＝(6,3)， ∴ 設(shè)M(x，y)，則有 ＝(x＋3，y＋4)，∴ ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,20)．同理可求得N(9,2)，因此 ＝(9，－18)， 故所求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2)， 的坐標(biāo)為(9，－18)．,變式2：已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，若 (t∈R)， 試求t為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二象限？ 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 ＝(x，y)－(2,1)＝(x－2，y－1)． ＝(3,5)－(2,1)＋t[(3,2)－(2,1)]＝(1,4)＋t(1,1) ＝(1,4)＋(t，t)＝(1＋t,4＋t)， 由 ，得(x－2，y－1)＝(1＋t,4＋t)， ∴,若點(diǎn)P在第二象限，則 ∴－5t－3，即當(dāng)－5t－3時(shí)，點(diǎn)P在第二象限．,1．平面向量a與b(b≠0)共線的充要條件是a＝λb，用坐標(biāo)表示為： a∥b?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠ 0 )． 2．向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運(yùn)算來解決向量共線的方法，也為 點(diǎn)共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法．解題時(shí)要注意共線向 量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會(huì)利用這一點(diǎn)來構(gòu)造函數(shù)和方 程，以便用函數(shù)與方程的思想解題．,【例3】 向量 ＝(k,12)， ＝(4,5)， ＝(10，k)， 當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線． 思路點(diǎn)撥：根據(jù)向量共線的充要條件，若A、B、C三點(diǎn)共線， 只要 滿足 (或 )，就可以列方程求出k的值 或利用向量平行的充要條件求出k的值．,解：解法一：∵ ＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)， ＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點(diǎn)共線， ∴ ，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)． ∴ 解得k＝11或－2. 解法二：接解法一，∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴(4－k)(k－5)＝6(－7)， 解得k＝11或－2.,變式3： 如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)， 求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：解法一：設(shè) ＝t(4,4)＝(4t,4t)，則 ＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)， ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由 共線的充要條件知(4t－4)6－4t(－2)＝0，解得t＝ ∴ ＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．,解法二：設(shè)P(x，y)，則 ＝(x，y)， ＝(4,4)． ∵ ， 共線，∴4x－4y＝0.① 又 ＝(x－2，y－6)， ＝(2，－6)， 且向量 、 共線． ∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).,1．向量平行的充要條件是建立向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算的理論依據(jù)；平面向量的基 本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)． 2．利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，其具體過程大致為： (1)適當(dāng)選擇基底(兩個(gè)彼此不共線向量)； (2)用基底顯示幾何問題的條件和結(jié)論； (3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運(yùn)算解決平行、 垂直、成角和距離的證明和計(jì)算等問題．,【規(guī)律方法總結(jié)】,【例4】 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t為正實(shí)數(shù)， x＝a＋(t2＋1)b，y＝ (1)若x⊥y，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范圍； 若不存在，請說明理由.,本題最易出錯(cuò)的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如計(jì)算向量x，y時(shí)，對數(shù)與向量的乘積只乘向量的一個(gè)坐標(biāo)；以坐標(biāo)形式的向量加減運(yùn)算時(shí)，漏掉其中的某個(gè)坐標(biāo)；當(dāng)向量x，y垂直時(shí)數(shù)量積的運(yùn)算錯(cuò)誤，向量x，y平行時(shí)，向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系用錯(cuò)等．如把x∥y的條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其結(jié)果是k＝ 這樣只要給正數(shù)t一個(gè)大于 的值，就得到一個(gè)正數(shù)k，其結(jié)果就是存在的．,【錯(cuò)因分析】,解：x＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)， y＝ (1)若x⊥y，則xy＝0，即 整理得，k＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)t＝ ，即t＝1時(shí)取等號(hào)， ∴kmax＝,(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k，t，使x∥y，則 化簡得 ＝0，即t3＋t＋k＝0. (2)因?yàn)閗、t為正實(shí)數(shù)，故不存在正數(shù)k使上式成立，從而不存在k、t，使x∥y.,,【答題模板】,向量的模與數(shù)量積．向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2＝a2＝aa，這是一個(gè)簡單而重要但又容易用錯(cuò)的地方，由這個(gè)關(guān)系還可以得到如|ab|2＝|a|22ab＋|b|2，|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2ab＋2bc＋2ca等公式，是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關(guān)系式．在解決與向量模有關(guān)的問題時(shí)要仔細(xì)辨別題目的已知條件，用好向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系.,【狀元筆記】,1．如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)， ＝(6,0)， 點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P. (1)若 =(3,5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程． 分析：(1)可根據(jù)兩個(gè)向量相等，對應(yīng)的坐標(biāo)相等求出C的坐標(biāo)； (2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個(gè)對角線所表示的向量，根據(jù) 菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程．,解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)．∵ =(9,5)， ∴(x0-1，y0-1)=(9,5)， ∵x0=10，y0=6，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(10,6)． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 =(x-7，y-1)， = =(3x-9,3y-3)． ∵ ，∴ABCD為菱形，,從而有(x-7，y-1)(3x-9,3y-3)=0， ∴(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0， ∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1)． 即點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1)．,