蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件向量的應(yīng)用.ppt

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1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算． 4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 6．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．,第3課時 向量的數(shù)量積、向量的應(yīng)用,【命題預(yù)測】 向量的數(shù)量積是高考命題的重點，主要考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)在向量運算、化簡、求值、證明中的應(yīng)用，考查平面向量平行、垂直的充要條件的應(yīng)用，以及用向量的數(shù)量積解平面幾何問題．多出現(xiàn)在填空題與選擇題中，難度不會太大．在解答題中，常常與其他章節(jié)的內(nèi)容，例如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)等相結(jié)合，考查平面向量數(shù)量積的綜合運用，綜合性較強，屬于中等偏難的題．,【應(yīng)試對策】 1．在運用向量的數(shù)量積解題時，一定要注意兩向量的夾角． 兩向量的夾角描述了兩向量的方向差異，求兩向量的夾角時一定要注意向量 的方向．例如在△ABC中，向量 的夾角是π－∠B，不是∠B. (1)當(dāng)a≠0時，由ab＝0不能推出b＝0，這是因為任一與a垂直的非零向量b都 有ab＝0.,(2)當(dāng)a≠0時，由ab＝ac也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos〈c，a〉)，都有ab＝ac(如圖所示，對于直線l上任意點P， 的值都相等)． (3)數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)．這是因為(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線．,2．?dāng)?shù)量積公式ab＝|a||b|cos θ(其中θ為a，b的夾角)的一些簡單應(yīng)用： (1)當(dāng)θ＝0時，ab＝|a||b|，所以求兩向量的模的乘積可轉(zhuǎn)化為求向量的 數(shù)量積． (2)當(dāng)θ＝90時，ab＝0?a⊥b，所以判定兩向量垂直?？赊D(zhuǎn)化為證明數(shù) 量積為零． (3) ＝0?點O在以AB為直徑的圓上； 0?點O在以AB為直徑的圓外?∠AOB＜90.,【知識拓展】 向量積 由兩向量a和b作一個新向量c，若c滿足下列三個條件： (1)向量c的模等于|a||b|sin〈a，b〉；(2)c同時垂直于a和b；；(3)c的方向按“右手法則”確定．則稱c為a與b的向量積，記作c＝ab.,1．兩個向量的夾角 (1)定義：對于 向量a與b，作 ，則∠AOB=θ， (0≤θ≤180)叫做向量a與b的夾角． (2)特殊情形：當(dāng)θ= 時，a與b同向；當(dāng)θ= 時，a與b反向； 當(dāng)θ= 時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.,兩個非零,180,0,90,2．平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量 叫做a與 b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即 ，并規(guī)定零向量與任 一向量的數(shù)量積為 .,|a||b|cos θ,0,ab＝|a||b|cos θ,(2)b在a方向上的投影 ①定義：設(shè)θ是a與b的夾角，則 叫做a在b的方向上的投影， 叫 做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一個實數(shù)，而不是 向量，當(dāng)0≤θ90時， 它是 ，當(dāng)90θ≤180時， 它是 ， 當(dāng)θ＝90時，它是 . ②ab的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與 的投影|b|cos θ的乘積．,|a|cos θ,|b|cos θ,正數(shù),負數(shù),b與a的方向上,0,3．向量數(shù)量積的運算律 (1)ab＝ (交換律)．(2)(λa)b＝ ＝ (數(shù)乘結(jié)合律)． (3)(a＋b)c＝ .(分配律) 4．平面向量數(shù)量積的坐標表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)ab＝ .(2)|a|＝ ，|b|＝ . (3)a⊥b? . (4)若a與b夾角為θ，則cos θ＝ .,ba,λ(ab),a(λb),ac＋bc,x1x2＋y1y2,x1x2＋y1y2＝0,(5)若c的起點坐標和終點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則|c|＝ . 5．向量方法解決幾何問題的步驟 (1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用 表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn) 化為 問題． (2)通過向量的 ，研究幾何元素之間的關(guān)系，如夾角、距離、垂直、 平行等問題． (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．,向量,運算,向量,1．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是________． ①若ab＝0，則a＝0或b＝0 ②若λa＝0，則λ＝0或a＝0 ③若a2＝b2，則a＝b或a＝－b ④若ab＝ac，則b＝c 解析：A中若a⊥b，則有ab＝0，不一定有a＝0，b＝0. C中當(dāng)|a|＝|b|時，a2＝b2，此時不一定有a＝b或a＝－b. D中當(dāng)a＝0時，ab＝ac，不一定有b＝c. 答案：②,2．(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知向量a和向量b的夾角為30，|a|＝2，|b|＝ ，則向量a和向量b的數(shù)量積ab＝________. 答案：3,3． 若向量a與b的夾角為60，|b|＝4，(a＋2b)(a－3b)＝－72， 則向量a的模是________． 解析：∵(a＋2b)(a－3b)＝a2－6b2－ab＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6. 答案：6,4．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，則x的值是________． 解析：∵2a－b＝(4,2)－(3，x)＝(1,2－x)，又∵(2a－b)⊥b， ∴3＋x(2－x)＝0，∴x2－2x－3＝0.解得x＝－1或3. 答案：－1或3,5．已知力F＝(3,5)，在力F的作用下發(fā)生的位移S＝(6,9)， 則F所做的功為________． 解析：W＝FS＝(3,5)(6,9)＝18＋45＝63. 答案：63,1．向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式ab＝|a||b|cos θ來計算， 二是利用ab＝x1x2＋y1y2來計算，具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇， 同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用． 2．利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： (1)|a|2＝a2＝aa；(2)|ab|2＝(ab)2＝a22ab＋b2； (3)若a＝(x，y)，則|a|＝,【例1】 已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為 ，求：(1)(3a－2b)(a－2b)； (2)|a＋b|. 思路點撥：利用平面向量數(shù)量積的定義及運算律，可求出第(1)問； 求|a＋b|可先求(a＋b)2，再開方．,解：(1)ab＝|a||b|cos ＝34 a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)(a－2b) ＝3a2－8ab＋4b2＝39－8(－ )＋64＝91＋48 (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9＋2(－ )＋16＝25－12 ∴|a＋b|＝,變式1：(1)證明：(a－b)2＝a2－2ab＋b2； (2)設(shè)a、b是夾角為60的單位向量，求|2a＋b|、|3a－2b|. 解：(1)證明：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝(a－b)a－(a－b)b ＝a2－ba－ (ab－b2)＝a2－2ab＋b2. (2)∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2＝4＋4|a||b| cos 60＋1＝7， ∴|2a＋b|＝ .同理可求|3a－2b|＝ .,1．非零向量a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．當(dāng)向量a與b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線的向量表示． 【例2】 已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60，則當(dāng)k為何值時， 向量ka－b與a＋2b垂直？ 思路點撥：由(ka－b)⊥(a＋2b)?(ka－b)(a＋2b)＝0， 展開求解即可．,解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)(a＋2b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)ab－2b2＝0， ∴k52＋(2k－1)54cos 60－242＝0，∴k＝ 即k為 時，向量ka－b與向量a＋2b垂直．,在△ABC中， ＝(2,3)， ＝(1，k)， 且△ABC的一個內(nèi)角為直角,求k的值． 解：(1)當(dāng)∠A＝90時，∵ ＝0,21＋3k＝0，∴k＝ (2)當(dāng)∠B＝90時， ＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)． ∵ ，∴2(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝ (3)當(dāng)∠C＝90時，∵ ＝0， ∴－1＋k(k－3)＝0，k2－3k－1＝0，∴k＝ ∴k的取值為,變式2：,用向量解決應(yīng)用問題，首先要把實際問題中的條件和要求(或證)的問題用向量表示出來，然后通過向量的運算求出結(jié)果，并把求出的結(jié)果解釋為實際要求的問題．,【例3】 在△ABC內(nèi)求一點P ，使AP2＋BP2＋CP2的值最?。?思路點撥：AP2＋BP2＋CP2可轉(zhuǎn)化為向量模的平方來表示，而模的平方又可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，所以，可選定一組基底來解決最小值問題．,解：設(shè) ，則 ， 于是 ＝(p－a)2＋(p－b)2＋p2＝3p2－2(a＋b)p＋a2＋b2 ＝ ∴當(dāng)p＝ (a＋b)時， 取最小值． 記D為AB的 中點，則a＋b＝2 ，于是 ∴C，P，D三點共線，且P點是△ABC的重心時， 取最小值， 即AP2＋BP2＋CP2的值最?。?若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC. 證明：設(shè) ， 則a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2－d2＋2ec－2ed① 由已知，a2－b2＝c2－d2，② 由①②，可得ec－ed＝0，即e(c－d)＝0. ∵ ＝d－c，∴ ＝0，∴AD⊥BC.,變式3：,1．平面向量a與b的數(shù)量積|a||b|cos θ，它是一個實數(shù)，而不是向量， 它的值等于兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，其中θ的取值范圍是 0≤θ≤180. 2．向量數(shù)量積ab與實數(shù)a、b乘積ab不同．由ab＝0，并不能得出a＝0或 b＝0，因為兩非零向量夾角為90時，數(shù)量積也為0.,【規(guī)律方法總結(jié)】,3．向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(ab)c≠a(bc)，在(ab)c與a(bc) 中，由于ab與bc都是一個實數(shù)，設(shè)ab＝λ1，bc＝λ2，則(ab)c＝ λ1c，a(bc)＝λ2a，它們分別是與c共線和與a共線的向量，由于a與c不一 定共線，那么λ1c與λ2a的方向不一定相同，故一般情況下， (ab)c≠a(bc)． 4．?dāng)?shù)量積的消去律不成立，即ab＝cb不一定得到a＝c.,5．可以用向量的數(shù)量積公式解決有關(guān)夾角和垂直問題，但要注意兩種公式 的靈活運用． 6．利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，若易建立適當(dāng) 的坐標系，得到簡單的向量坐標表示，則可以減少運算量，實現(xiàn)了平面幾 何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運算.,【例4】 已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝ |ka＋b|，其中k0. (1)試用k表示ab，并求出ab的最大值及此時a與b的夾角θ的值； (2)當(dāng)ab取得最大值時，求實數(shù)λ，使|a＋λb|的值最小，并對這一結(jié)果作出幾何解釋.,本題可以通過對已知條件兩端平方解決，容易出現(xiàn)的問題是對向量模與數(shù)量積的關(guān)系不清導(dǎo)致錯誤，如認為|a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2等都會得出錯誤的結(jié)果．第二個易錯之處就是在得到ab＝－ 后，忽視了k0的限制條件，求錯最值,【錯因分析】,解：(1)|a－kb|＝ |ka＋b|?(a－kb)2＝3(ka＋b)2?ab＝－ (k0)． ∴ab＝ ，ab的最大值為－ 此時cos θ＝－ ，θ＝ . ∴ab＝－ (k0)，ab的最大值為－ 此時a與b的夾角θ的值為 .,【答題模板】,(2)由題意，ab＝－ ，故|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝ ∴當(dāng)λ＝ 時，|a＋λb|的值最小， 此時 b＝0，這表明 ⊥b.,向量的運算法則有相同的，也有不同的，在命題中千萬不要進行盲目類比，特別是關(guān)于向量的數(shù)量積的運算法則和實數(shù)的乘法運算法則完全不同，一定要把這些運算法則分清楚.,【狀元筆記】,1． 設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2. 分析：把條件化簡整理，根據(jù)“向量垂直等價于向量的數(shù)量積為零”， 尋找向量a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系．,解：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)． ∵(a－b)⊥c，∴(a－b)c＝－(a－b)(a＋b)＝0， ∴a2＝b2，∴|b|＝1.∵a⊥b，∴ab＝0， ∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝1＋1＋2＝4.,2．已知兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60. (1)若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的方向相反，求實數(shù)t的值； (2)若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍． 分析：兩個非零向量a，b反向，等價于a＝λb(λ0)；兩個非零向量 a，b所成的夾角為鈍角，等價于cos θ＝ 0且cos θ≠－1， 即等 價于 “ab0且a，b不反向”．,解：(1)由題意設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ0，則t＝ 不合題意，舍去． ∴當(dāng)t＝－ 時，2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為π， 即這兩個向量方向相反．,(2)因為e＝4，e＝1，e1e2＝21 cos 60＝1， 所以(2te1＋7e2)(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1e2＋7te＝2t2＋15t＋7. 因為這兩個向量夾角為鈍角，設(shè)夾角為θ， 則有 cos θ＝ 所以有(2te1＋7e2)(e1＋te2)0，且2te1＋7e2與向量e1＋te2不反向．,當(dāng)2t2＋15t＋70時，解得－7t－ 又由(1)知t＝－ 時，這兩個向量的夾角為π， ∴t的取值范圍是,