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1、 方程的根與函數(shù)的零點 教學設(shè)計 兩篇
一．內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點概念、函數(shù)零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理．
函數(shù)零點是研究當函數(shù)的值為零時，相應(yīng)的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標．
由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實上，若方程有解，則函數(shù)存在零點，且方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點，也是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標．順理成章的，方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題．這是函數(shù)與方程關(guān)系認識的第一步．
零點存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．如果
2、函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，但零點的個數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進行判斷．定理的逆命題不成立．
方程的根與函數(shù)零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點與相應(yīng)二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應(yīng)方程的情形；零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與化歸思想”．
方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學習做好準備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學數(shù)學
3、重要思想方法——“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)．可見，函數(shù)零點概念在中學數(shù)學中具有核心地位．
本節(jié)的教學重點是，方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理．
二．目標和目標解析
通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，學會將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的問題；理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點的區(qū)間．
1．能夠結(jié)合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標以及相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系；
2．正確理解函數(shù)零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件；了解函數(shù)零點只能不止一
4、個；
3．能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù)；
4．能順利將一個方程求解問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)零點問題，寫出與方程對應(yīng)的函數(shù)；并會判斷存在零點的區(qū)間（可使用計算器）．
三．教學問題診斷分析
學生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學習過二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過“當函數(shù)值為0時，求相應(yīng)自變量的值”的問題，初步認識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會．在高中階段，已經(jīng)學習了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
教學的重點是方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系及零點存在性定理的深入理解與應(yīng)用．
以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點的概
5、念，說明方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，學生并不會覺得困難．學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點（或根）的區(qū)間．
教學過程中，通過引導(dǎo)學生通過探究，發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；而零點存在性定理的教學，則應(yīng)引導(dǎo)學生觀察函數(shù)圖象與軸的交點的情況，來研究函數(shù)零點的情況，通過研究：①函數(shù)圖象不連續(xù)；②；③，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；④，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解．
四．教學支持條件分析
本節(jié)教學目標的實現(xiàn)，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點以及同時函數(shù)圖象與軸的交點的關(guān)系；另一方面
6、，判斷零點所在區(qū)間過程中，一些函數(shù)值的計算也必須借助計算機或計算器．
五．教學過程設(shè)計
1．方程的根與相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系
復(fù)習總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)與軸的交點及其坐標的關(guān)系：
一元二次方程根的個數(shù)
圖象與軸交點個數(shù)
圖象與軸交點坐標
意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準備．
問題一、上述結(jié)論對其他函數(shù)成立嗎？為什么？
在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象：
、、、、，
比較函數(shù)圖象與軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系。
函數(shù)的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與
7、軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標．
意圖：通過各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。
2．函數(shù)零點概念
對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值．
3．方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點
以上關(guān)系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，同樣，函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題．這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)．
4．零點存在性定理
問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據(jù)該圖象片段，將其補充成完整函數(shù)圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃？為什么？（假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的）
8、
意圖：通過類比得出零點存在性定理．
給出零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.
問題三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎？請舉例說明。
在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明。
問題四、若，函數(shù)在區(qū)間在上一定沒有零點嗎？
問題五、若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點嗎？可能有幾個？
問題六、時，增加什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點？
在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明問題四、五、六。
意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理．
5．例題：求函數(shù)的零點的個數(shù)．
問題七、能否確定一個區(qū)間，
9、使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點．
問題八、該函數(shù)有幾個零點？為什么？
意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點個數(shù)的方法．
六．目標檢測設(shè)計
1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表，則函數(shù)在哪幾個區(qū)間內(nèi)有零點？為什么？
x
1
2
3
4
6
10
f (x)
20
-5.5
-2
6
18
-3
2.函數(shù)在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點？若存在，有幾個？
3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根
（1）
（2）
4．指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間
（1）
（2）
最后，師生共同小結(jié)（略
10、）
思考題：函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)有零點，如何求出這個零點？設(shè)計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學習做準備．
“方程的根與函數(shù)的零點”教學設(shè)計2
一、教學內(nèi)容解析
本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。
函數(shù)f(x)的零點,是中學數(shù)學的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標.函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函
11、數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。
函數(shù)零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結(jié)合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應(yīng)用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號”零點；定理結(jié)論中零點存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進一步的判斷。
對函數(shù)與方程的關(guān)系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方
12、程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。
函數(shù)與方程相比較,一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”。用函數(shù)的觀點研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎(chǔ)。
本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學時應(yīng)當站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。
二、教學目標解析
1．結(jié)合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領(lǐng)會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。
2．結(jié)合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點存
13、在的特點，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應(yīng)用的前提條件，應(yīng)用的局限性，及定理的準確結(jié)論。
3．通過具體實例，學生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。
4．在學習過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。
三、教學問題診斷分析
1．通過前面的學習，學生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎(chǔ)。對于函數(shù)零點的概念本質(zhì)的理解，學生缺乏的是函數(shù)的觀點，或是函數(shù)應(yīng)用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由
14、此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時，有必要點明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用，初步樹立起函數(shù)應(yīng)用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。
2．對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進行審視。
3．函數(shù)的零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學中應(yīng)
15、遵循高中數(shù)學以函數(shù)為主線的這一原則進行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。
四、教學過程設(shè)計
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用，與其他數(shù)學知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。
案例1：周長為定值的矩形
不妨取l=12
問題1：求其面積的值： ，
顯然面積是一個關(guān)于x的一個二次多項式，
用幾何畫板演示矩形的變化：
問題2：求矩形面積的最大值？
當x取不同值時，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎？
問題3：能否使得矩
16、形的面積為8？你是如何分析的？
（1）實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況；
（2）解方程：x（6-x）=8
（3）方程x（6-x）=8能否從函數(shù)的角度來進行描述？
問題4：
一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系？
結(jié)論：
代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值；
方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。
更一般地
方程f（x）=0的根，就是使函數(shù)值y=f（x）的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點。
設(shè)計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課，有必要讓學生對函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在
17、聯(lián)系，并從學生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進一步推廣到一般的函數(shù)。
（二） 互動交流 研討新知
1．函數(shù)零點的概念：
對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
2．對零點概念的理解
案例2：觀察圖象
問題1：此圖象是否能表示函數(shù)？
問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎？
問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎？
結(jié)論：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．
設(shè)計意圖：進一步掌握函數(shù)的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數(shù)零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在
18、性定理作好一定的鋪墊。
2.零點存在定理的探究
案例3：下表是三次函數(shù)的部分對應(yīng)值表：
問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點嗎？
問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點？
生：兩邊的函數(shù)值異號！
問題3：如果一個函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點?
注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.
問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?
問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）滿
19、足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點?
如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?
如3:一般化:一個函數(shù)的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)
設(shè)計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設(shè)問讓學生進一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容，而鼓勵學生提問，是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。
（三）鞏固深化，發(fā)展思維
例1、求函數(shù)f(x)=㏑x＋2x －6的零點個數(shù)。
設(shè)計問題：
（1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點？
（2）你是如何來確定零點所在的區(qū)間的？請各自選擇。
（3）零點是唯一的嗎？為什么？
設(shè)計意圖：對所學內(nèi)容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。
本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。
讓學生進一步領(lǐng)悟，零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。
（四）歸納整理，整體認識
請回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些？
所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些？
你還獲得了什么？
(五)作業(yè)（略）
方程的根與函數(shù)的零點 教學設(shè)計 兩篇
