2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）設(shè)集合M={x∈Z|x2+2x≤0}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∩N=（） A． {0} B． {0，2} C． {﹣2，0} D． {﹣2，0，2} 2．（5分）若復(fù)數(shù)z1=5+5i，z2=3﹣i，則=（） A． 4+2i B． 2+i C． 1+2i D． 3 3．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（） A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+ 4．（5分）已知sin（α+）=，則cos2α=（） A． B． C． D． 5．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（） A． 若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B． 若α⊥β，m?α，m⊥β，則m∥α C． 若m⊥β，m?α，則α⊥β D． 若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n 6．（5分）巳知雙曲線G的中心在坐標(biāo)原點，實軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之差為12，則雙曲線G的方程為（） A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=﹣1 D． ﹣=1 7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標(biāo)為（，1），則||的最大值為（） A． 4 B． 3 C． D． 3 8．（5分）若X是一個集合，集合v是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足： （1）X∈v，空集?∈v； （2）v中任意多個元素的并集屬于v； （3）v中任意多個元素的交集屬于v；稱v是集合X上的一個拓?fù)洌? 已知集合X={a，b，c}，對于下列給出的四個集合v： ①v={?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②v={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③v={?，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④v={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 則其中是集合X上的拓?fù)涞募蟰的序號是（） A． ①③ B． ③④ C． ①② D． ②④ 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．（一）必做題（9～13題） 9．（5分）計算（cosx+1）dx=． 10．（5分）函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間是． 11．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為． 12．（5分）曲線y=ex過點（0，0）的切線方程為． 13．（5分）某同學(xué)為研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的值域是． （二）選做題（14～15題，只能從中選做一題）【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】 14．（5分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的方程為ρsinθ=1，則曲線C1和C2交點的直角坐標(biāo)為． 【幾何證明選講選做題】 15．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則線段CD的長為． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（12分）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，﹣2）． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）若銳角θ滿足f（2θ+）=，求f（2θ）的值． 17．（12分）每年5月17日為國際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動的統(tǒng)計圖，現(xiàn)將頻率視為概率． （1）求某兩人選擇同一套餐的概率； （2）若用隨機(jī)變量X表示某兩人所獲優(yōu)惠金額的總和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點． （Ⅰ）求證：A1O∥平面AB1C； （Ⅱ）求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值． 19．（14分）已知數(shù)列{an}滿足a0∈R，an+1=2n﹣3an，（n=0，1，2，…） （1）設(shè)bn=，試用a0，n表示bn（即求數(shù)列{bn}的通項公式）； （2）求使得數(shù)列{an}遞增的所有a0的值． 20．（14分）已知橢圓=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（，﹣），且橢圓的離心率e=． （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值； （Ⅲ）設(shè)F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．問：函數(shù)F（x）在點（x0，F(xiàn)（x0））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由． 廣東省廣州市廣雅中學(xué)xx高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（ 5分）設(shè)集合M={x∈Z|x2+2x≤0}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∩N=（） A． {0} B． {0，2} C． {﹣2，0} D． {﹣2，0，2} 考點： 交集及其運算． 專題： 集合． 分析： 求出M中不等式解集的整數(shù)解確定出M，求出N中方程的解確定出N，找出兩集合的交集即可． 解答： 解：∵M(jìn)={x∈Z|x2+2x≤0}={x∈Z|﹣2≤x≤0}={﹣2，﹣1，0}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}={0，2}， ∴M∩N={0}． 故選：A． 點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．（5分）若復(fù)數(shù)z1=5+5i，z2=3﹣i，則=（） A． 4+2i B． 2+i C． 1+2i D． 3 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值． 解答： 解：∵z1=5+5i，z2=3﹣i， 則=． 故選：C． 點評： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 3．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（） A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+ 考點： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)，對勾函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，逐一分析四個答案中函數(shù)的單調(diào)性，可得答案． 解答： 解：A中，函數(shù)y=ln（x+1）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)， B中，y=﹣在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)， C中，y=（）x在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)， D中，y=x+在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)， 故選：A 點評： 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)，對勾函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵． 4．（5分）已知sin（α+）=，則cos2α=（） A． B． C． D． 考點： 二倍角的余弦；運用誘導(dǎo)公式化簡求值． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： 因為sin（α+）=﹣cosα=，即有cosα=﹣，從而由二倍角的余弦公式知cos2α=2cos2α﹣1=﹣． 解答： 解：sin（α+）=﹣cosα=，即有cosα=﹣， cos2α=2cos2α﹣1=﹣． 故選：A． 點評： 本題主要考察了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式的綜合運用，屬于中檔題． 5．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（） A． 若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B． 若α⊥β，m?α，m⊥β，則m∥α C． 若m⊥β，m?α，則α⊥β D． 若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n 考點： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 分析： 利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解． 解答： 解：若m⊥α，m∥n，n∥β， 則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正確； 若α⊥β，m?α，m⊥β，則由直線與平面平行的判定定理得m∥α，故B正確； 若m⊥β，m?α，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確； 若α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交、平行或異面，故D錯誤． 故選：D． 點評： 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 6．（5分）巳知雙曲線G的中心在坐標(biāo)原點，實軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之差為12，則雙曲線G的方程為（） A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=﹣1 D． ﹣=1 考點： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 設(shè)雙曲線G的方程為，由已知得，由此能求出雙曲線方程． 解答： 解：設(shè)雙曲線G的方程為， ∵離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之差為12， ∴，解得a=6，b=3， ∴所求雙曲線方程為． 故選：B． 點評： 本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要注意雙曲線性質(zhì)的合理運用． 7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標(biāo)為（，1），則||的最大值為（） A． 4 B． 3 C． D． 3 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 數(shù)形結(jié)合；平面向量及應(yīng)用． 分析： 由約束條件作出可行域，然后由圖可得使||取得最大值的點M，并求得最大值． 解答： 解：由不等式組作出可行域如圖， 由圖象知，當(dāng)點M的坐標(biāo)為（0，0）或（0，2）時，的值最大，為． 故選：C． 點評： 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了向量模的求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題． 8．（5分）若X是一個集合，集合v是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足： （1）X∈v，空集?∈v； （2）v中任意多個元素的并集屬于v； （3）v中任意多個元素的交集屬于v；稱v是集合X上的一個拓?fù)洌? 已知集合X={a，b，c}，對于下列給出的四個集合v： ①v={?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②v={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③v={?，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④v={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 則其中是集合X上的拓?fù)涞募蟰的序號是（） A． ①③ B． ③④ C． ①② D． ②④ 考點： 元素與集合關(guān)系的判斷． 專題： 集合． 分析： 根據(jù)拓?fù)涞亩x，結(jié)合元素和集合的關(guān)系即可得到結(jié)論． 解答： 解：利用拓?fù)涞亩x，可以發(fā)現(xiàn)集合X的空集和全集都屬于它的拓?fù)鋠，∴③錯誤； 又∵v中任意多個元素的并集屬于v，v中任意多個元素的交集屬于v，∴①錯誤， 另外根據(jù)拓?fù)涞亩x可知②④正確， 故選：D． 點評： 本題主要考查元素和集合關(guān)系的判斷，正確理解拓?fù)涞亩x是解決本題的關(guān)鍵． 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．（一）必做題（9～13題） 9．（5分）計算（cosx+1）dx=π． 考點： 定積分． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式，找出cosx+1的原函數(shù)，用微積分基本定理代入進(jìn)行求解． 解答： 解：（cosx+1）dx=（sinx+x）|=π， 故答案為：π 點評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)公式及微積分基本定理，屬于基本知識、基本運算的考查． 10．（5分）函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e）． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′的解析式，令y′＞0 求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解答： 解：由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=， 令y′＞0 可得 lnx＜1，解得0＜x＜e， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （0，e）， 故答案為：（0，e）． 點評： 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題． 11．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為15． 考點： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 執(zhí)行程序框圖，依次寫出s，i的值，第四次循環(huán)后：s=15，i=5；此時，i≤n不成立輸出s的值為15． 解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有 n=4，s=1，i=1 第一次循環(huán)后：s=3，i=2； 第二次循環(huán)后：s=6，i=3； 第三次循環(huán)后：s=10，i=4； 第四次循環(huán)后：s=15，i=5；此時，i≤n不成立輸出s的值為15． 故答案為：15． 點評： 本題主要考察程序框圖和算法，屬于基礎(chǔ)題． 12．（5分）曲線y=ex過點（0，0）的切線方程為y=ex． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 設(shè)切點為（m，n），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，結(jié)合兩點的斜率公式，得到m，n的方程，解出，再由斜截式方程即可得到切線方程． 解答： 解：設(shè)切點為（m，n），y=ex的導(dǎo)數(shù)y′=ex， 則切線的斜率k=em， 又切線過（0，0），則k=， 則有em=，且n=em， 解得m=1，n=e， 則過點（0，0）的切線方程為y=ex， 故答案為：y=ex． 點評： 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點處的切線的斜率，注意切點的確定，同時考查直線方程的形式，屬于基礎(chǔ)題． 13．（5分）某同學(xué)為研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的值域是[，]． 考點： 函數(shù)的值域． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 分別在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．運動點P，可得A、P、B三點共線時，PA+PF取得最小值；當(dāng)P在點B或點C時，PA+PF取得最大值．由此即可得到函數(shù)f（x）的值域． 解答： 解：Rt△PCF中，PF== 同理可得，Rt△PAB中，PA= ∴PA+PF=+ ∵當(dāng)A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，PA+PF取得最小值= 當(dāng)P在點B或點C時，PA+PF取得最大值+1 ∴≤PA+PF≤+1，可得函數(shù)f（x）=AP+PF的值域為[，]． 故答案為：[，]． 點評： 本題以一個實際問題為例，求函數(shù)的值域，著重考查了勾股定理和函數(shù)的值域及其求法等知識點，屬于基礎(chǔ)題． （二）選做題（14～15題，只能從中選做一題）【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】 14．（5分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的方程為ρsinθ=1，則曲線C1和C2交點的直角坐標(biāo)為（1，1）． 考點： 參數(shù)方程化成普通方程． 專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 分析： 首先把曲線都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步聯(lián)立方程組求的結(jié)果． 解答： 解：曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：y2=x． 曲線C2的方程為ρsinθ=1轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：y=1 聯(lián)立方程組得： 解得： 交點的坐標(biāo)為：（1，1） 點評： 本題考查的知識點：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，解方程組知識． 【幾何證明選講選做題】 15．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則線段CD的長為． 考點： 圓的切線的性質(zhì)定理的證明． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 連接圓心O與切點C，由切線性質(zhì)可知OC垂直于直線l，又因為AD也垂直與直線l，得出OC平行于AD，根據(jù)AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到三角形ABC為直角三角形，再根據(jù)BC和AB的長度，利用勾股定理求出AC的長，且利用在直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的角為30推出角CAB為30，等邊對等角和平行線的性質(zhì)可知角CAD等于30，在直角三角形ADC中，利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD即可． 解答： 解：連接OC，則OC⊥直線l，所以O(shè)C∥AD， ∵AB為圓的直徑，∴∠ACB=90， 又AB=6，BC=3，所以∠CAB=30，AC==3， 由OA=OC得，∠ACO=∠CAB=30， ∵OC∥AD， ∴∠CAD=∠ACO=30， ∴CD=AC=3= 點評： 此題考查學(xué)生靈活運用圓的切線垂直于過切點的直徑，掌握圓中的一些基本性質(zhì)，靈活運用直角三角形的邊角關(guān)系化簡求值，是一道綜合題． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（12分）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，﹣2）． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）若銳角θ滿足f（2θ+）=，求f（2θ）的值． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 分析： （1）由題意可得A=2，由周期公式可得ω=，再由f（0）=1可得φ=﹣，可得f（x）=2cos（x﹣）； （2）由已知可得cosθ=，進(jìn)而可得sinθ=，而f（2θ）=2（cosθ+sinθ），代值計算可得． 解答： 解：（1）由題意可得A=2，==2π，解得ω=， ∴f（x）=2cos（x+φ）， 由圖象可知f（0）=2cosφ=1，∴cosφ=， 又﹣＜φ＜0，∴φ=﹣ ∴f（x）=2cos（x﹣） （2）∵，∴2cosθ=， ∴cosθ=，∵θ為銳角，∵sinθ= ∴f（2θ）=2cos（θ﹣）=2（cosθ+sinθ） =2（+）=， 即f（2θ）的值為 點評： 本題考查三角函數(shù)的圖象與解析式，涉及三角函數(shù)和差角的公式，屬基礎(chǔ)題． 17．（12分）每年5月17日為國際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動的統(tǒng)計圖，現(xiàn)將頻率視為概率． （1）求某兩人選擇同一套餐的概率； （2）若用隨機(jī)變量X表示某兩人所獲優(yōu)惠金額的總和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （1）由題意利用互斥事件加法公式能求出某兩人選擇同一套餐的概率． （2）由題意知某兩人可獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為400，500，600，700，800，1000．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解答： 解：（1）由題意可得某兩人選擇同一套餐的概率為： ． （2）由題意知某兩人可獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為400，500，600，700，800，1000.， ， ， ， ， ， 綜上可得X的分布列為： X 400 500 600 700 800 1000 P X的數(shù)學(xué)期望． 點評： 本小題主要考查學(xué)生對概率知識的理解，通過分布列的計算，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力． 18．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點． （Ⅰ）求證：A1O∥平面AB1C； （Ⅱ）求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值． 考點： 直線與平面平行的判定；用空間向量求平面間的夾角． 專題： 計算題；證明題． 分析： （Ⅰ）欲證A1O∥平面AB1C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A1O與平面AB1C內(nèi)一直線平行，連接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四邊形可證A1O∥B1C，又A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，滿足定理所需條件； （Ⅱ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知D1O⊥底面ABCD，以O(shè)為原點，OC、OD、OD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，求出平面C1CDD1的一個法向量，以及平面AC1D1的一個法向量，然后求出兩個法向量夾角的余弦值即可求出銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值． 解答： 解：（Ⅰ）證明：如圖（1）， 連接CO、A1O、AC、AB1，（1分） 則四邊形ABCO為正方形，所以O(shè)C=AB=A1B1， 所以，四邊形A1B1CO為平行四邊形，（3分） 所以A1O∥B1C， 又A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C 所以A1O∥平面AB1C（6分） （Ⅱ）因為D1A=D1D，O為AD中點，所以D1O⊥AD 又側(cè)面A1ADD1⊥底面ABCD， 所以D1O⊥底面ABCD，（7分） 以O(shè)為原點，OC、OD、OD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系，則C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分） 設(shè)為平面C1CDD1的一個法向量， 由，得， 令z=1，則y=1，x=1，∴．（10分） 又設(shè)為平面AC1D1的一個法向量， 由，得， 令z1=1，則y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分） 則， 故所求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值為（12分） 點評： 本題主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角等有關(guān)知識，同時考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題． 19．（14分）已知數(shù)列{an}滿足a0∈R，an+1=2n﹣3an，（n=0，1，2，…） （1）設(shè)bn=，試用a0，n表示bn（即求數(shù)列{bn}的通項公式）； （2）求使得數(shù)列{an}遞增的所有a0的值． 考點： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專題： 綜合題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： （1）an+1=2n﹣3an?，即，變形整理即可求得，； （2）由（1）知，從而，于是有，設(shè)，則，依題意，證明即可． 解答： 解：（1）∵an+1=2n﹣3an， ∴，（2分） 即，變形得，，（2分） 故，因而，；（1分） （2）由（1）知，從而，（1分） 故，（3分） 設(shè)， 則，下面說明，討論： 若，則A＜0，此時對充分大的偶數(shù)n，，有an＜an﹣1，這與{an}遞增的要求不符；（2分） 若，則A＞0，此時對充分大的奇數(shù)n，，有an＜an﹣1，這與{an}遞增的要求不符；（2分） 若，則A=0，，始終有an＞an﹣1．綜上，（1分） 注意：直接研究通項，只要言之成理也相應(yīng)給分． 點評： 本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等比關(guān)系的確定及構(gòu)造函數(shù)思想，考查推理、分析與運算的綜合能力，屬于難題． 20．（14分）已知橢圓=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（，﹣），且橢圓的離心率e=． （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： （1）由已知得，，由此能求出橢圓的方程． （2）當(dāng)直線AC的斜率不存在時，AC：x=1，則 BD：y=0．直線PQ恒過一個定點；當(dāng)直線AC的斜率存在時，設(shè)AC：y=k（x﹣1）（k≠0），BD：．聯(lián)立方程組，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明直線PQ恒過一個定點． 解答： （1）解：由，得， 即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2． …（1分） 由橢圓過點知，． …（2分） 聯(lián)立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3． …（3分） 故橢圓的方程是．…（4分） （2）證明：直線PQ恒過一個定點．…（5分） 橢圓的右焦點為F（1，0），分兩種情況． 1當(dāng)直線AC的斜率不存在時， AC：x=1，則 BD：y=0．由橢圓的通徑得P（1，0）， 又Q（0，0），此時直線PQ恒過一個定點．…（6分） 2當(dāng)直線AC的斜率存在時，設(shè)AC：y=k（x﹣1）（k≠0）， 則 BD：． 又設(shè)點A（x1，y1），C（x2，y2）． 聯(lián)立方程組， 消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（8分） 所以．．．…（10分） 由題知，直線BD的斜率為﹣， 同理可得點．…（11分） ． ，…（12分） 即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0． 令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得． 故直線PQ恒過一個定點；…（13分） 綜上可知，直線PQ恒過一個定點．…（14分） 點評： 本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過一個定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值； （Ⅲ）設(shè)F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．問：函數(shù)F（x）在點（x0，F(xiàn)（x0））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由． 考點： 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 計算題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）先根據(jù)題意寫出：g（x）再求導(dǎo)數(shù)，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得實數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用換元法令t=ex，則t∈[1，2]，則h（t）=t3﹣3at，接下來利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出h（x）的極小值； （Ⅲ）對于能否問題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸． 解答： 解：（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax， 由題意知，g′（x）≥0，對任意的x∈（0，+∞）恒成立，即 又∵x＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 ∴，可得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=ex，則t∈[1，2]，則 h（t）=t3﹣3at， 由h′（t）=0，得或（舍去）， ∵，∴ 若，則h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減；若，則h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增 ∴當(dāng)時，h（t）取得極小值，極小值為 （Ⅲ）設(shè)F（x）在（x0， F（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx 結(jié)合題意，有 ①﹣②得 所以，由④得 所以 設(shè)，⑤式變?yōu)? 設(shè)， 所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增， 因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式與⑤矛盾 所以F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線不能平行于x軸 點評： 此題是個難題．本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，根據(jù)解題要求選擇是否分離變量，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時考查了學(xué)生的靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．