124《數(shù)學(xué)物理方法》1new

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1、 《數(shù)學(xué)物理方法》練習(xí)題參考答案 一 一、判斷正誤，在括號(hào)內(nèi)打√或 1. ( y ) 2.（ n ） 3.（ y ） 4.（ y ） 5.（ y ） 6.（ n ） 7（ n ） 8.（ n ） 9.（ y ） 10.（ n ） 11.（ n ） 12（ y ） 13（ y ） 二、填空題 1. 2. ch1 3. ,k為整數(shù) 4. 5. 0 6. 0 7. 8. 9. m階極 三、解答題 1.以為實(shí)部構(gòu)造解析函數(shù) 解：，為調(diào)和函數(shù) 令， ， 為任意復(fù)常數(shù) 2.以為實(shí)部構(gòu)造解析函數(shù) 解： ，為

2、調(diào)和函數(shù) 令， ， 為任意復(fù)常數(shù) 3.判斷是否解析？如解析求其導(dǎo)數(shù)。 解： 四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處存在且連續(xù)，而且滿足C-R條件 因此，在復(fù)平面上處處解析。其導(dǎo)數(shù) 4.判斷函數(shù)是否為解析函數(shù)？若解析，求其導(dǎo)數(shù)？ 解：因?yàn)? 是單值的復(fù)變初等函數(shù)，而且全平面解析 5.求函數(shù)在附近的Laurent展開(kāi)，并確定其收斂范圍。 解： 6.將函數(shù)在展開(kāi)為級(jí)數(shù) 解： 因?yàn)椋? 7.將函數(shù)在的附近展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)，并確定其收斂范圍。 解： 8.用留數(shù)定理計(jì)算積分 解： Jordan引理可用，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一階極點(diǎn)

3、 9.用留數(shù)定理計(jì)算積分 解： Jordan引理可用，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一階極點(diǎn) 10.利用留數(shù)定理計(jì)算積分（） 解： Jordan引理可用，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一階極點(diǎn) 11.利用留數(shù)定理計(jì)算積分 解： Jordan引理可用，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一階極點(diǎn) 12.利用留數(shù)定理計(jì)算積分 解： Jordan引理可用，實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一階極點(diǎn) 13.判斷的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)，并將其分類，如系極點(diǎn)判斷其階數(shù)，求在這些奇點(diǎn)的留數(shù)。 解：為二階極點(diǎn)，因?yàn)樵诮馕?，且不為零?/p>

4、 為一階極點(diǎn)，因?yàn)樵诮馕觯也粸榱悖? 二 一、判斷正誤，在括號(hào)內(nèi)打√或 1.（ y ） 2.（ n ） 3.（ y ） 4.（ n ） 5.（ n ） 6.（ y ） 二、填空題 1. （） 2. （ ） 3．（） 4.（） 5. 1 6. -1 7. 8． 9.（） 10. 11. 若 三、解答題 1.求積分 解：原式 2.是何特殊函數(shù)方程？寫出它在內(nèi) 的通解、內(nèi)的有限解及有限解的3個(gè)性質(zhì)。 解： 為任意常數(shù) 為任意常數(shù) 三個(gè)性質(zhì)：（1）奇函數(shù)： （2） （3）

5、有3個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)，而且都在內(nèi) 3.是何特殊函數(shù)方程？寫出它在內(nèi) 的通解、內(nèi)的有限解及有限解的3個(gè)性質(zhì)。 解： 為任意常數(shù) 為任意常數(shù) 三個(gè)性質(zhì)：（1）奇函數(shù)： （2） （3）有5個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)，而且都在內(nèi) 4.證明： 解：由生成函數(shù) 當(dāng)時(shí)， 所以 又因?yàn)? 所以 5.證明 證明：滿足勒讓德方程，所以： （1） （2） 并對(duì)x從-1到1積分,得 （3） 所以（3）式 由于 ，所以 6.用Laplace變換解常微分方程的初值問(wèn)題 為已知函數(shù)，為任意常數(shù)。 解：設(shè)：，對(duì)方程及初始條件做Lap

6、lace變換得： 所以 7.用Laplace變換解微分方程 使之滿足初始條件。 解：設(shè)：，對(duì)方程及初始條件做Laplace變換得： 所以 8.用Laplace變換解微分方程 使之滿足初始條件。 解：設(shè)：，對(duì)方程及初始條件做Laplace變換得： 所以 9.利用Laplace變換解下列微分方程的初值問(wèn)題 解：設(shè)，對(duì)方程及初始條件做Laplace變換得： 所以 10.用階躍函數(shù)表示下列函數(shù)，并求其Laplace變換。 解： 11.求下列函數(shù)的Fourier變換式： 解： 12.求的Fourier變換式 解：

7、因?yàn)? 又 所以 13.邊值問(wèn)題 為待定參數(shù) （1）證明該問(wèn)題有非零解，則必為實(shí)數(shù)； （2）求該問(wèn)題的本征值和本征函數(shù)； 解：（1）方程為 （1） 對(duì)方程及邊界條件取共軛： （2） 并對(duì)從0到積分， 由于 并考慮到邊界條件，所以 有 考慮到有非零解， 所以 （2）時(shí)，只有零解 時(shí)，方程的通解為 利用邊界條件 為得到非零解，，所以 所以， 因此對(duì)每一個(gè)確定的，問(wèn)題有無(wú)窮多解 ，因?yàn)? 所以， 14.邊值問(wèn)題 為待定參數(shù) （1）證明該問(wèn)題有非零解，則必為實(shí)數(shù)； （2）求該問(wèn)題的本征值和本征函數(shù)；

8、 解：（1）方程為 （1） 對(duì)方程及邊界條件取共軛： （2） 并對(duì)從0到5積分， 由于 并考慮到邊界條件，所以 有 考慮到有非零解， 所以 （2）時(shí)，只有零解 時(shí)，方程的通解為 利用邊界條件 為得到非零解，，所以 所以， 因此對(duì)每一個(gè)確定的，問(wèn)題有無(wú)窮多解 ，因?yàn)? 所以， 15.求問(wèn)題 ，為待定參數(shù)，的本征值與本征函數(shù)。 解：時(shí)，只有零解 時(shí)，方程的通解為 利用邊界條件 為得到非零解，，所以 所以， 因此對(duì)每一個(gè)確定的，問(wèn)題有無(wú)窮多解 ，因?yàn)? 所以， 16.求本征問(wèn)題，為待定

9、參數(shù)，的本征值與本征函數(shù)。 解：時(shí)，只有零解 時(shí)，方程的通解為 利用邊界條件 為得到非零解，，所以 所以， 因此對(duì)每一個(gè)確定的，問(wèn)題有無(wú)窮多解 ，因?yàn)? 所以， 17.將一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的薛定諤方程，分離變量為常微分方程 為常數(shù)。 解：解：設(shè)： 原方程為 兩邊同時(shí)除以 ，得： 所以： 18.將一維自由振動(dòng)分離變量為常微分方程 解：設(shè)： 原方程為 兩邊同時(shí)除以 ，得： 所以： 19.將偏微分方程分離變量為常微分方程 解：設(shè)： 原方程為 兩邊同時(shí)除以 ，得： 所以： 20.將平面極坐標(biāo)Laplace方程分離變量為常微分方程 解：設(shè)： 原方程為 兩邊同時(shí)除以 ，得： 所以：