江蘇省鹽城市高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 試 題 (總分160分，考試時(shí)間120分鐘) 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上. 1.已知集合，集合，則 ▲ . 第3題 2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù) ▲ . 3.根據(jù)如圖所示的偽代碼，則輸出的的值為 ▲ . 4.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合， 則的值為 ▲ . 5.某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查, 將840人按1, 2, …, 84

2、0隨機(jī)編號(hào), 則抽取的42人中, 編號(hào)落入?yún)^(qū)間[61, 120]的人數(shù)為 ▲ ． 6.某公司從四名大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁中錄用兩人，若這四人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲與乙中至少有一人被錄用的概率為 ▲ ． 7.若滿足約束條件, 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 ▲ ． 8.已知正四棱錐的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則側(cè)棱的長(zhǎng)為 ▲ . 9.若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則的值為 ▲ . 10.動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，的值為 ▲ . 11.若函數(shù)，則是函數(shù)為奇函

3、數(shù)的 ▲ 條件. (選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，若點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為 ▲ . 13.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值為 ▲ ． 14.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，且，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為 ▲ . 二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). 15. (本小題滿分14分) 已知，，記函數(shù). （1）求函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合； （2）設(shè)的角所對(duì)的邊分別為，若，，求面

4、積的最大值. 16．(本小題滿分14分) 第16題 在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn). （1）求證://平面； （2）求證:平面平面. 17．(本小題滿分14分) 某地?cái)M建一座長(zhǎng)為米的大橋，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門(mén)測(cè)算，兩端橋墩、造價(jià)總共為萬(wàn)元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為米時(shí)（其中），中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為萬(wàn)元，橋面每1米長(zhǎng)的平均造價(jià)為萬(wàn)元. （1）試將橋的總造價(jià)表示為的函數(shù)； （2）為使橋的總造價(jià)最低，試問(wèn)這座大橋中間(兩端橋墩、除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩？ 第17題 18. (本小題滿分16分) 如圖,在平面直角坐

5、標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn). 當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)， 弦的長(zhǎng)為. （1）求橢圓的方程； （2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積； 第18題 （3）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 19．(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù)，. （1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值； （2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍； （3）是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6、 20．(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù)（其中），且存在無(wú)窮數(shù)列，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為. （1）求（用表示）； （2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：； （3）若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式. 鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題部分 （本部分滿分40分，考試時(shí)間30分鐘） 21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). A.（選修4—1：幾何證明選講） 在中，已知是的平分線，的外接圓交于點(diǎn).若，，求的長(zhǎng). B.（選

7、修4—2：矩陣與變換） 若矩陣屬于特征值3的一個(gè)特征向量為，求矩陣的逆矩陣. C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. D．(選修4-5：不等式選講） 已知為正實(shí)數(shù)，求證：，并求等號(hào)成立的條件. [必做題] 第22、23題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). 22．（本小題滿分10分） 如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足. （1）

8、當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小為，求的值. 23．（本小題滿分10分） 設(shè). （1）若數(shù)列的各項(xiàng)均為1，求證：； （2）若對(duì)任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列. 鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 1. 2. 3. 15 4. 1 5. 6. 7. 6 8. 9. 10.

9、11. 充分不必要 12. 13. 14. 5 二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). 15．解：（1）由題意，得， 當(dāng)取最大值時(shí)，即，此時(shí)， 所以的取值集合為.……………………………………7分 （2）因，由（1）得，又，即， 所以，解得，在中，由余弦定理， 得，所以，所以面積的的最大值為.…14分 16. 證明：（1）在直三棱柱中，且， 因點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以且， 所以四邊形是平行四邊形，即且， 又且，所以且，即四邊形是平行四邊形， 所以，又平面，

10、所以平面.………………7分 （2）因，所以四邊形是菱形， 所以，又點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，即，所以. 因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以， 由直三棱柱，知底面，即， 所以平面，則，所以平面，又平面， 所以平面平面…………………………………………14分 17．解：（1）由橋的總長(zhǎng)為米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為米，知中間共有個(gè)橋墩， 于是橋的總造價(jià)， 即 （）………………………………7分 （表達(dá)式寫(xiě)成同樣給分） （2）由（1）可求，整理得， 由，解得，（舍），又當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，所以當(dāng)，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為…………………………14分 18．解：（1）由，設(shè)，則，， 所以橢圓的方程

11、為，因直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，即，代入橢圓方程，解得，于是，即， 所以橢圓的方程為………………………………5分 （2）將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而， 由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為， 聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得， 又過(guò)原點(diǎn)，于是，，所以直線的方程為， 所以點(diǎn)到直線的距離，………………10分 （3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)， 當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有， 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，， 由，解得，， 所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2. …………………………………………12分 根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)，， 又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組， 化簡(jiǎn)得，所以，，

12、又， 所以， 將上述關(guān)系代入，化簡(jiǎn)可得. 綜上所述，存在點(diǎn)，使得為定值2……………16分 19．解：（1）當(dāng)時(shí)，，在處的切線斜率， 由，在處的切線斜率，，.……………4分 （2）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋? 又， 由題意，得的最小值為負(fù)，（注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到），，，（注：結(jié)合消元利用基本不等式也可）.……………………9分 （3）令，其中 則，設(shè) 在單調(diào)遞減，在區(qū)間必存在實(shí)根，不妨設(shè) 即，可得（*） 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以， ，代入（*）式得 根據(jù)題意恒成立. 又根據(jù)基本不等式,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立 所以,.代入（*）式得,,即………………

13、16分 (以下解法供參考，請(qǐng)酌情給分) 解法2：，其中 根據(jù)條件對(duì)任意正數(shù)恒成立 即對(duì)任意正數(shù)恒成立 且，解得且， 即時(shí)上述條件成立此時(shí). 解法3：，其中 要使得對(duì)任意正數(shù)恒成立， 等價(jià)于對(duì)任意正數(shù)恒成立，即對(duì)任意正數(shù)恒成立， 設(shè)函數(shù)，則的函數(shù)圖像為開(kāi)口向上，與正半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線， 因此，根據(jù)題意，拋物線只能與軸有一個(gè)交點(diǎn)，即，所以. 20．解:（1）由題意，得， 顯然的系數(shù)為0，所以，從而，.………………………4分 （2）由，考慮的系數(shù)，則有， 得，即， 所以數(shù)列單調(diào)遞增，且， 所以， 當(dāng)時(shí)，.…………………………10分 （3）由（2），

14、因數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以對(duì)一切都成立， 若，則，與矛盾， 若數(shù)列是等比數(shù)列，又據(jù)題意是等差數(shù)列，則是常數(shù)列，這與數(shù)列的公差不為零矛盾， 所以，即，由（1）知，，所以.………16分 （其他方法：根據(jù)題意可以用、表示出，，，，由數(shù)列為等差數(shù)列，利用，解方程組也可求得.） 解法2：由（1）可知，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為 ，，.又由（2）， 所以得，若即時(shí)，，，與條件公差不為零相矛盾，因此則.由,可得 ,整理可得 代入,,或 若,則，與矛盾， 若,則,滿足題意, 所以 附加題答案 B．解：由題意，得，解得，所以. 設(shè)，則， 解得，即.……………………

15、……10分 C．解：將直線與曲線的方程化為普通方程， 得直線：，曲線：，所以曲線是以為圓心，半徑為的圓，所以圓心到直線的距離，因此，直線與曲線相交. …………………………10分 22. 解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.當(dāng)時(shí)，得，所以，設(shè)平面的法向量，則，得， 令，則，所以平面的一個(gè)法向量， 所以，即直線與平面所成角的正弦值.………………5分 （2）易知平面的一個(gè)法向量. 設(shè)，代入，得， 解得，即，所以， 設(shè)平面的法向量，則， 消去，得，令，則，， 所以平面的一個(gè)法向量， 所以，解得或，因?yàn)椋?……………10分 23. 證：（1）因數(shù)列滿足各項(xiàng)為1，即， 由，令， 則，即..………………………3分 （2）當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列. 假設(shè)當(dāng)時(shí)，由，可得數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，………………………………………………………………………5分 因?qū)θ我獯笥诘扔?的正整數(shù)，都有恒成立，所以成立， 所以， 兩式相減得， ， 因， 所以， 即， 由假設(shè)可知也成等差數(shù)列，從而數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列. 綜上所述，若對(duì)任意恒成立，則數(shù)列是等差數(shù)列. …………………10分 19