湖南省長望瀏寧四縣市高三下學期3月模擬考試 理科數(shù)學試題及答案

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1、 2015年3月長望瀏寧高三模擬考試 理科數(shù)學試卷 時量:120分鐘 總分150分 考生注意: 1.答題前,考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上,考生要認真核對條形碼上的準考證號、姓名、考試科目與考生本人準考證號、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答,在試題卷上作答的答案無效。 3.考試結(jié)束,監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合

2、題目要求的。 1、集合,則 A. B. C. D. 2、設(shè),則是的 A.充要條件 B.充分但不必要條件 C.必要但不充分條件 D.既不充分也不必要條件 3、已知函數(shù)是偶函數(shù),且,則 A.-3 B.-1 C.1 D.2 4、的展開式的常數(shù)項是 A.2 B.3 C.-2 D. -3 5、如下圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點,=x+y,且=3,則 第5題圖 A、x=,y= B、x

3、=,y= C、x=,y= D、x=,y= 是 否 開始 輸入a,b 輸出S a≥b? S=b(a+1) 結(jié)束 S=a(a-b) 第6題圖 6、定義運算為執(zhí)行如圖所示的程序框圖 輸出的S值,則的值為 A.2 B.-2 C.-1 D.1 7、已知最小正周期為2的函數(shù)在區(qū)間 上的解析式是,則函數(shù) 在實數(shù)集R上的圖象與函數(shù) 的圖象的交點的個數(shù)是 第8題圖 A.3 B.4 C.5 D.6 8、已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所

4、示,俯視圖是 邊長為2的正三角形,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為 9、如圖,矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(0,—1),B(,—1),C(,1),D(0,1), 正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點F,向矩形ABCD C B x y O A E D F f(x)=sinx g(x)=cosx 區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 A. B. C. D. 第9題圖 第12題圖 10、若數(shù)列滿足:存在正整數(shù),對于任意正整數(shù)都有成立,則稱數(shù)列為周期數(shù)列,周期為.已知數(shù)列滿足,則

5、下列結(jié)論中錯誤的是 A. 若,則可以取3個不同的值; B. 若,則數(shù)列是周期為3的數(shù)列; C. 且,存在,數(shù)列周期為; D. 且,數(shù)列是周期數(shù)列. 二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分。 (一)選做題(請考生在第11、12、13三題中任選兩題作答,若全做,則按前兩題記分) 11、在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為,則直線和曲線C的公共點有 個. 12、如右上圖,圓O的直徑AB = 8,C為圓周上一點,BC = 4,過C作圓的切線,過A作直線的垂線AD,

6、D為垂足,AD與圓O交于點E,則線段AE的長為 . 13、若,則的最小值為________. (二)必做題(14-16題) 14、設(shè)實數(shù)滿足,向量.若,則實數(shù)m的最小值為 . 15、已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點在直線上移動,橢圓C 以A,B為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓C的離心率的最大值為 . 16、若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在,滿足,則稱函數(shù)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”, 是它的一個均值點.例如是[-2,2]上的“平均值函數(shù)”,O就是它的均值點.若函數(shù)是[-1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實數(shù)的取值范

7、圍是 . 三、解答題:本大題共6個小題,滿分75分。解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟。 17、(本小題滿分12分) “ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動,活動規(guī)定:被邀請者要么在24小時內(nèi)接受挑戰(zhàn),要么選擇為慈善機構(gòu)捐款(不接受挑戰(zhàn)),并且不能重復參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn),則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容,然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,且互不影響. (Ⅰ)若某被邀請者接受挑戰(zhàn)后,對其他3個人發(fā)出邀請,則這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少? (Ⅱ)假定(Ⅰ)中被邀請到的

8、3個人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動規(guī)定,現(xiàn)記為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望. 18、(本小題滿分12分) 第18題圖 如圖,摩天輪上一點在時刻距離地面高度滿足 ,已知某摩天輪的半徑為米,點距地面的高度為米,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每分鐘轉(zhuǎn)一圈,點的起始位置在摩天輪的最低點處. (1)根據(jù)條件寫出(米)關(guān)于(分鐘)的解析式; (2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),有多長時間點距離地面超過米? 19、 (本小題滿分12分) 第19題圖 如圖,在四棱錐中,,四邊形是菱形, 且交于點,是上任意一點. (1)求證:; (2)已知二面角的余弦值為,若為

9、 的中點,求與平面所成角的正弦值. 20、(本小題滿分13分) 為了加強環(huán)保建設(shè),提高社會效益和經(jīng)濟效益,某市計劃用若干年時間更換10000輛燃油型公交車。每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動力型車。今年初投入了電力型公交車輛,混合動力型公交車輛,計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加,混合動力型車每年比上一年多投入輛.設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量,設(shè)、分別為年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數(shù)量。 (1)求、,并求年里投入的所有新公交車的總數(shù); (2)該市計劃用年的時間完成全部更換,求的最小值.

10、 21、(本小題滿分13分) 如圖,已知圓E:,點,P是圓E上任意一點.線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q. (Ⅰ)求動點Q的軌跡的方程; (Ⅱ)設(shè)直線與(Ⅰ)中軌跡相交于兩點, 直線的斜率分別為(其中 ).△的面積為, 以為直徑的圓的面積分別為.若恰好 第21題圖 構(gòu)成等比數(shù)列, 求的取值范圍. 22、(本小題滿分13分) 已知. (1)若,函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求的取值范圍; (2) 的圖象與軸交于)兩點,中點為,求證:平面. 2015年3月長

11、望瀏寧高三模擬考試 理科數(shù)學 參考答案 一、選擇題:(每小題5分,共50分) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D A C B B D 二、填空題:(每小題5分,共25分) 11、1;12、4;13、;14、-2;15、;16、(0,2). 三、解答題:(共75分) 17、(12分)解法一:(Ⅰ)這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為、、,則分別表示這3個人不接受挑戰(zhàn).這3個人參與該項活動的可能結(jié)果為:,,,,,,,.共有8種; 2分 其中,至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有:,,,,

12、共有4種. 3分 根據(jù)古典概型的概率公式,所求的概率為. 4分 (說明:若學生先設(shè)“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”,再將所有結(jié)果寫成,,,,,,,,不扣分.) (Ⅱ)因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的, 所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為,不接受挑戰(zhàn)的概率也為. 5分 所以,, ,, ,,

13、 9分 0 1 2 3 4 5 6 10分 故的分布列為: 所以. 故所求的期望為. 12分 解法二:因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的, 所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為,不接受挑戰(zhàn)的概率也為. 1分 (Ⅰ)設(shè)事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)”, 則.

14、 4分 (Ⅱ)因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù),所以. 5分 所以,, ,, ,, 9分 故的分布列為: 10分 0 1 2 3 4 5 6 所以.故所求的期望為. 12分 18、(12分)(1)由題設(shè)可知,,

15、 1分 又,所以, 3分 從而,再由題設(shè)知時, 代入,得,從而, 5分 因此,. 6分 (2)要使點距離地面超過米,則有, 8分 即 ,又解得, 即 10分 所以,在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),點距離地面超過米的時間有分鐘.

16、 12分 19、(12分)(1)因為平面,所以, 1分 因為四邊形為菱形,所以 2分 x y z 又 因為 5分 (2)連接在中, 所以分別以所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系, 設(shè)則,. 6分 由(1)知,平面的一個法向量為(1,0,0), 設(shè)平面的一個法向量為,則得,令,得 8分 因為二面角的余弦值為,所以, 解得或(舍去),所以 10分 設(shè)與平面所成的角為.因為,

17、, ∴ 所以與平面所成角的正弦值為. 12分 20、(13分)(1)設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量, 依題意知,數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列; 1分 數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列, 2分 所以數(shù)列的前和, 4分 數(shù)列的前項和, 6分 所以經(jīng)過年,該市更換的公交車總數(shù) ; 7

18、分 (2)因為、是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù), 9分 因此是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù), 10分 所以滿足的最小值應該是, 11分 即,解得, 12分 又,所以的最小值為147. 13分 21、(13分)(Ⅰ)連結(jié)QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,故動點Q的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點,長軸長為4的橢圓. 2

19、分 設(shè)其方程為, 可知,,則, 3分 所以點Q的軌跡的方程為. 4分 (Ⅱ)設(shè)直線的方程為,, 由可得, 由韋達定理有: 且 6分 ∵構(gòu)成等比數(shù)列,=,即: 由韋達定理代入化簡得:.∵ ,. 8分 此時,即. 又由三點不共線得,從而. 故 10分 ∵ 則 為定值. 12分 ∴ ∴當且僅當時等號

20、成立. 綜上:的取值范圍是. 13分 22、(13分)(1)依題意:.∴ 1分 ∵在上遞增,∴對恒成立, 即對恒成立,只需. 3分 ∵,∴,當且僅當時取“=”, 4分 ∴,∴b的取值范圍為. 6分 (2)由已知得 兩式相減,得 . 8分 由及,得 10分 令. ∵,∴在上遞減,∴. ,即, 12分 又,. 13分 - 18 -

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