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有理數(shù) 例題解析

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有理數(shù) 例題解析

“點撥有理數(shù)運算”例題解析 有理數(shù)運算是初中數(shù)學中的基礎運算,熟練掌握有關運算技巧,巧妙地運用有關數(shù)學方法,是提高運算速度和準確性的必要保證。下面介紹一些這方面的技巧。 1. 歸類運算 進行有理數(shù)的加減運算時,運用交換律、結(jié)合律歸類加減,常常可以使運算簡捷,如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、分數(shù)與分數(shù)結(jié)合、分母相同的數(shù)結(jié)合等。 例1 計算:。 解法1: 。 解法2: 。 評析:解法1是小數(shù)與小數(shù)結(jié)合,解法2是整數(shù)與整數(shù)結(jié)合,這樣解決了既含分數(shù)又含小數(shù)的有理數(shù)加減運算問題。同學們遇到類似問題時,應學會靈活選擇解題方法。 2. 湊整求和 將相加可得整數(shù)(或整十、整百、整千等)的數(shù)放在一起進行運算(其中包括互為相反數(shù)的兩數(shù)相加),可以降低解題難度,提高解題效率。 例2 計算:。 解: 評析:在有理數(shù)的運算中,為了計算的方便,常把參與運算的數(shù)湊成整一、整十、整百、整千等,這樣便于迅速求解。 3. 變換順序 在有理數(shù)的運算中,適當改變運算順序,有時可以減少運算量,在具體運算過程中,技巧是恰到好處地運用交換律、結(jié)合律和分配律等運算律簡化運算。 例3 計算:。 解: 。 評析:運算前要觀察、分析參與運算的數(shù)的特征、排列順序等,適當交換各數(shù)的位置,從而達到簡化運算、快速解題的目的。 4. 逆用運算律 在處理有理數(shù)的運算時,若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關系特征加以靈活變形,便可巧妙地逆用分配律,輕松求解。 例4 計算:。 解: 評析:很明顯,通過靈活變形,逆用分配律,減少了運算量,提高了解題效率。 5. 巧拆項 把一項拆成兩項的和或積,使得算式可以消去某些項,使運算簡捷。 例5 計算:。 解: 評析:對于這些結(jié)構(gòu)復雜的題目,用常規(guī)的方法不易解決。解這類問題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點,找出拆項規(guī)律,巧妙地解決問題。 6. 變量代換 通過引入新變量轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),這樣不但可以減少運算量,還有利于尋找解題思路,其中的新變量在解題過程中起到橋梁的作用。 例6 計算:。 解:設,則 評析:此題乍一看比較復雜,但若仔細觀察,便會發(fā)現(xiàn)整個式子可分為三部分:、、,因此,采用變量代換可減少計算量。 7. 分組搭配 觀察所求算式的特征,巧妙地分組搭配處理,可以簡化運算。 例7 計算:。 解: 評析:這種分組運算的過程,實質(zhì)上為巧妙地添括號或去括號的過程。 8. 倒序相加減 在處理有理數(shù)的加減運算時,有時根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu),采用倒序相加減的方法使問題簡化。 例8 計算: 解:把原式括號內(nèi)各項倒序后,得 。 將上式和原式相加,得 ∴原式=。 評析:顯然,此類問題是不能“硬算”的,倒序相加可“湊整”后求和,從而避免了復雜的運算。 9. 添數(shù)配對 例9 計算: 。 解:添上,依次與各數(shù)配對相加,得 。 ∴原式 評析:添數(shù)配對實質(zhì)上也是一種“湊整”運算。 “透視生活中的有理數(shù)”例題解析 有理數(shù)知識是初中數(shù)學中最基本也是最重要的內(nèi)容之一。隨著課程改革的進一步深入,在各地中考試題中出現(xiàn)了許多涉及有理數(shù)知識的新穎題型,現(xiàn)列舉部分典型試題加以歸類分析,希望對同學們有所幫助。 1. 考查基本概念 例1 氣溫升高1℃記作+1℃,氣溫下降6℃記作__________℃。 例2 吐魯番盆地低于海平面155m,記作-155m;福州鼓山絕頂峰高于海平面919m,記作_________m。 解析:以上兩例考查的知識起點較低,考查了利用正負數(shù)表示具有相反意義的量這一基本知識。例1應填,例2應填+919。 例3 2004年12月26日,印度洋海域發(fā)生強烈地震并引發(fā)海嘯,某市中小學師生紛紛捐款捐物,為災區(qū)早日重建家園奉獻愛心。全市中小學師生共捐款202655.74元,這一數(shù)據(jù)可以用科學記數(shù)法表示為_______元。(結(jié)果保留4位有效數(shù)字) 例4 太陽能是一種環(huán)保型新能源,據(jù)科學家統(tǒng)計,平均每平方千米的地面一年從太陽上獲得的能量,相當于燃燒130000000kg煤所產(chǎn)生的能量,用科學記數(shù)法表示這個數(shù)是__________kg。 解析:以上兩例考查了近似數(shù)、有效數(shù)字及科學記數(shù)法等基本知識。例3以印度洋海嘯為背景,對同學們滲透了奉獻愛心的教育,答案是。例4介紹了太陽能,讓同學們在做題中增加了科普知識,答案是。兩例如出一轍,充分體現(xiàn)了數(shù)學貼近生活的特性。 2. 考查基本運算 例5 “神舟“五號飛船返回艙的設計溫度為21℃4℃,該返回艙的最高溫度是______℃。 解析:只要知道21℃4℃表示溫度值是在21℃-4℃到21℃+4℃之間,就可以確定本題應填25。 例6 磁懸浮列車是一種科技含量很高的新型交通工具,它有速度快、爬坡能力強、能耗低等優(yōu)點。它的每個座位的平均能耗僅為飛機每個座位平均能耗的,是汽車每個座位平均能耗的。那么,汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的( ) A. B. C. D. 解析:本題以高新科技磁懸浮列車為載體,著重考查同學們的數(shù)據(jù)整理能力,汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的,應選C。 3. 考查估算能力 例7 一批貨物總質(zhì)量為,現(xiàn)要運走這批貨物,下列運輸工具中比較合適的是( ) A. 一艘萬噸級巨輪 B. 一架飛機 C. 一輛汽車 D. 一輛板車 例8 小明的媽媽為了獎勵小明在學習中取得的進步,給小明買了一個新文具盒,你估計這個文具盒的厚度約為3________。(填上合適的長度單位) 解析:以上兩例從不同角度考查了同學們的估算能力。例7中貨物的總質(zhì)量為,即為萬t,那么比較合適的運輸工具是萬噸級巨輪,應選A。例8以同學們非常熟悉的文具盒為話題,很容易估計文具盒的厚度約為3cm。 【練一練】 1. 冬季的某日,上海的最低氣溫是3℃,北京的最低氣溫是℃,這一天上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高______℃。 2. 若家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃,冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22℃,則冷凍室的溫度為( ) A. ℃ B. ℃ C. 26℃ D. 18℃ 3. 據(jù)蘇州市紅十字會統(tǒng)計,2004年蘇州市的無償獻血者總量為12.4萬人次,已連續(xù)6年保持全省第一。12.4萬可以用科學記數(shù)法表示為( ) A. B. C. D. 4. 標準籃球場的長是28m,寬應是( ) A. 1m B. 15m C. 68m D. 34m 5. 地球赤道長約為,我國最長的河流——長江全長約,赤道長約為長江長的( ) A. 7倍 B. 6倍 C. 5倍 D. 4倍 6. 小舒家的水表如圖1,該水表的讀數(shù)為_______。(精確到0.1) 參考答案: 1. 8 2. B 3. B 4. B 5. B 6. 1476.5 “有理數(shù)新情景應用題”例題解析 以現(xiàn)實生活為背景的應用問題,是中考的熱點。解答這類題沒有現(xiàn)成的模式可套用,需要結(jié)合實際思考和分析。這類新情景應用題有以下特點:(1)提供的背景材料新,提出的問題新;(2)注重考查閱讀理解能力,許多中考試題中涉及的數(shù)學知識并不難,但是讀懂和理解背景材料是關鍵;(3)注重考查問題的轉(zhuǎn)化能力。本文以2006年中考題中的有理數(shù)運算新情景應用題為例,說明如下: 例1 (1)(山西)北京與紐約的時差為-13h(負號表示同一時刻紐約時間比北京時間晚),如果現(xiàn)在北京時間是15:00,那么紐約時間是____________。 (2)(揚州市)某地一天早晨的氣溫是-7℃,中午上升了11℃,午夜又下降了9℃,則午夜的氣溫是( )。 A. 5℃ B. ?5℃ C. ?3℃ D. ?9℃ 解析;(1)因,故紐約時間為2:00。(2)依題意得,故選B。 評注:近幾年的中考題更加關注我們的現(xiàn)實生活,因而常常會給出一定的現(xiàn)實背景,讓同學們從中去理解實數(shù)的概念,運用實數(shù)的運算解決簡單的實際問題。 例2 (綿陽市)我們常用的數(shù)是十進制數(shù),而計算機處理程序中使用的是只有數(shù)碼0和1的二進制數(shù)。這兩者可以相互換算,如將二進制數(shù)1101換算成十進制數(shù)應為,按此方式,將十進制數(shù)25換算成二進制數(shù)應為_______。 解析:根據(jù)題中提供的范例,把握問題的關鍵,并進行逆向思維,“除2取余”,等于12余1;6,=3,等于1余1,倒過來寫可得11001。 評注:此題要求會運用法則進行簡單計算,關鍵是對運算法則的掌握。 例3 (紹興市)郵政部門規(guī)定:信函重100g以內(nèi)(包括100g)每20g貼郵票0.8元,不足20g的部分以20g計算;超過100g,先貼郵票4元,超過100g的部分每100g加貼郵票2元,不足100g的部分以100g計算。 (1)若要寄一封重35g的信函,則需貼郵票多少元? (2)若寄一封信函貼了6元郵票,問:此信函可能有多重? (3)七(1)班有9位同學參加環(huán)保知識競賽,若每份答卷重12g,每個信封重4g,請你設計方案,將這9份答卷分裝在兩個信封中寄出,使所貼郵票的總金額最少。 解析:(1)35g=(20+15)g,故貼郵票(元)。 (2)在大于100g且小于等于200g范圍內(nèi)均可。 (3)分裝情況如表1。 表1 份數(shù) 質(zhì)量/g 總金額/元 1 8 12+4=16 96+4=100 0.8+4=4.8 2 7 24+4=28 84+4=88 1.6+4=5.6 3 6 36+4=40 72+4=76 1.6+3.2=4.8 4 5 48+4=52 60+4=64 2.4+3.2=5.6 故9份答卷分1份、8份或3份、6份裝,總金額最少,為4.8元。 評注:計算是研究現(xiàn)實世界上數(shù)量關系的最基本的數(shù)學方式,它可以通過數(shù)量關系準確、清晰地揭示問題的本質(zhì),認識現(xiàn)實生活中的數(shù)學現(xiàn)象。 例4 (濟寧市)隨著大陸惠及臺胞政策措施的落實,臺灣水果進入了大陸市場。一水果經(jīng)銷商購進了A、B兩種臺灣水果各10箱,分配給他的甲、乙兩個零售店(分別簡稱甲店、乙店)銷售。預計每箱水果的贏利情況如下頁表2。 表2 A種水果/箱 B種水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有兩種配貨方案(整箱配貨): 方案一:甲、乙兩店各配貨10箱,其中A種水果兩店各5箱,B種水果兩店各5箱; 方案二:按照甲、乙兩店贏利相同配貨,其中A種水果甲店_____箱,乙店_______箱;B種水果甲店______箱,乙店_______箱。 (1)如果按照方案一配貨,請你計算出經(jīng)銷商能贏利多少元。 (2)請你將方案二填寫完整(只填寫一種情況即可),并將你填寫的方案二與方案一作比較,哪種方案贏利較多? 解析:(1)按照方案一配貨,經(jīng)銷商贏利: (元)。 (2)答案不唯一,如第一種情況填2,8,6,4;第二種情況填5,5,4,6;第三種情況填8,2,2,8。 第一種情況贏利:(元); 第二種情況贏利:(元); 第三種情況贏利:(元); 方案一比方案二贏利多。 評注:本題的條件較多,解題時要分清楚每個量之間的關系,還要注意分情況討論。 “用運算律簡化有理數(shù)計算”例題解析 1. 對加法,要注意用交換律和結(jié)合律 例1. 計算: 解:原式 例2. 計算: 解:原式 例3. 計算: 解:原式 2. 對乘法,也要注意用交換律和結(jié)合律 例4. 計算: 解:原式 例5. 計算: 解:原式 3. 還要注意用分配律 例6. 計算: 解:原式 例7. 計算: 解:原式 “聚焦有理數(shù)運算”例題解析 有理數(shù)混合運算的關鍵是運算順序。 1、三個層次 有理數(shù)的運算順序是: (1)從高級到低級:先算乘方,再算乘除,最后算加減; (2)從內(nèi)向外:如果有括號,就先算小括號里的,再算中括號里的,最后算大括號里的; (3)從左向右:同級運算,按照從左到右的順序進行。 2、四個原則 (1)整體性原則:乘除混合運算統(tǒng)一化乘,統(tǒng)一進行約分;加減混合運算按正負數(shù)分類,分別統(tǒng)一計算,或把帶分數(shù)的整數(shù)、分數(shù)部分拆開,分別統(tǒng)一計算; (2)簡明性原則:計算時盡量使步驟簡明,盡量運用運算律簡便計算; (3)口算原則:盡量運用口算; (4)分段原則:對一個算式,一般可以將它分成若干小段,同時分別進行運算。 例1 計算:。 解 原式 (先算乘方) (化除為乘,同時算小括號里的) (先定符號,再算絕對值) 。 本題以加號、減號為界把整個算式分成三段,這三段分別計算再相加。 3、五個技巧 (1)歸類組合:將不同類數(shù)(如分母相同或易于通分的數(shù))分別組合,或?qū)⑼悢?shù)(如正數(shù)或負數(shù))歸類計算; (2)湊整相消:將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整,將相加得零的數(shù)(如相反數(shù))相消; (3)分解約簡:將一個數(shù)分解成幾個數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式,將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關系的數(shù)約簡; (4)倒序相加:利用運算律,改變運算順序,簡化計算; (5)活用運算律:正難則反,逆用運算定律以簡化計算。如乘法分配律,反過來,也成立,有時逆用也可使運算簡便。 例2 計算:。 分析 將整個式子記作,將這個式子反序?qū)懗?,? ,兩式相加,再分組計算。 解 (1)令,反序?qū)懗?,得,兩式相加,? 所以。 例3 計算:(1); (2)。 分析:將化成假分數(shù)較繁,將其寫成的形式,對,則使用乘法分配律更為簡捷。 解 (1)原式 (2)原式 4、三類轉(zhuǎn)化 (1)加減法互為逆運算,借助相反數(shù),加法和減法運算可以統(tǒng)一為加法運算,其關鍵是注意兩個變: ①變減號為加號; ②變減數(shù)為其相反數(shù)。另外,被減數(shù)與減數(shù)的位置不變; (2)乘除互為逆運算,借助倒數(shù),有理數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法,轉(zhuǎn)化的法則是:除以一個數(shù),等于乘以這個數(shù)的倒數(shù); (3)乘方運算,根據(jù)乘方意義將乘方轉(zhuǎn)化為乘積形式,進而得到乘方的結(jié)果(冪)。 因此,在運算時應把握“遇減化加,遇除變乘,乘方化乘”,這樣可避免因記憶量大帶來的一些混亂,同時也有助于抓住數(shù)學內(nèi)在的本質(zhì)問題。 在歸納為三類轉(zhuǎn)化:一類是通過絕對值將加法、乘法在先確定符號的前提下,轉(zhuǎn)化為小學里學的算術(shù)數(shù)的加法、乘法;二是通過相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法;三是將乘方運算轉(zhuǎn)化為積的形式。 掌握了有理數(shù)的符號法則和轉(zhuǎn)化方法,有理數(shù)的運算就能準確、快速地解決了。 例4 計算: (1); (2)。 解 (1)原式 (2)原式 5、會用概念和性質(zhì) 如果a,b互為相反數(shù),那么;如果c,d互為倒數(shù),那么;如果,那么x=a或-a。 例5 已知a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù),x的絕對值等于3,試求的值。 解:由a,b互為相反數(shù),得。由c,d互為倒數(shù),得cd=1 又,所以x=2或-2。 因此 當x=3時, 原式 當x=-3時, 原式 練習 1. 2. 3. 4. 5. 6. 。 答案: 1. 分類相加,-6.7 2. 湊整,-2 3. 逆用分配律,25 4. 拆分并利用 5. 變換順序,-7 6. 倒序相加或提公因式,4009。 “有理數(shù)計算題”例題解析 進行有理數(shù)的計算時,如果能根據(jù)運算律及題目具體特點,靈活選擇運算方法,那么既可以拓寬解題途徑,又能提高運算能力,本文特舉幾例說明。 例1 計算: 解:換位湊整 原式 例2 計算: 解:拆數(shù)湊整 原式 例3 計算: 解:分組湊整 原式 例4 計算: 解:按類分組 原式 例5 計算: 原式 例6 計算: 解:直接應用分配律 原式 例7 計算: 解:逆向應用分配律 原式 例8 計算: 解:綜合應用分配律 原式 例9 計算: 解:變形應用分配律 原式 “有理數(shù)乘除法” 例題解析 近年來,各地的中考試卷中均出現(xiàn)了一些與有理數(shù)乘除法有關的新題型,考查的形式也越來越靈活,下面我們就來見識一下。 1. 基本運算型 例1. (1)計算所得的結(jié)果是( ) A. 5 B. 6 C. D. (2)的倒數(shù)是( ) A. B. C. D. 解析:這是一道比較基礎的題目,考查了最基本的乘除運算、倒數(shù)的概念。 (1),所以選D。 (2)的倒數(shù)是,所以選B。 評注:注重對基礎知識、基本技能的考查是新課程改革下中考命題的基本要求,這道題體現(xiàn)了對數(shù)學本質(zhì)的考查,既不刻意求難,也不過分形式化。 2. 信息遷移型 例2. 十六進制是逢十六進位的記數(shù)法,采用整數(shù)0~9和字母A~F共16個符號,這些符號與十進制數(shù)之間的對應關系如表1。 表1 十六進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,十六進制中,E+F=1D,則等于( ) A. B0 B. 1A C. 5F D. 6E 解析:由于十進制是逢十進位,所以十六進制應是逢十六進位。題中給了一個例子,在十六進制中,,由此我們可以得到,故選D。 評注:這是一道新題目,我們要體會各種進制之間的相同點與不同點,同學們解答時應以雙向的思路來思考這類問題。 3. 規(guī)律探究型 例3. 某種細胞開始有2個,1h后分裂成4個并死去1個,2h后分裂成6個并死去1個,3h后分裂成10個并死去1個……按此規(guī)律,5h后細胞存活的個數(shù)是( ) A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 解析:我們應先找出細胞分裂的規(guī)律。1h后存活的細胞有(個);2h后存活的細胞有(個);3h后存活的細胞有(個)。后一小時存活的細胞數(shù)是前一小時存活的細胞數(shù)的2倍減去1。所以,4h后存活的細胞有(個),5h后存活的細胞有(個)。故選B。 例4. 有一列數(shù),從第2個數(shù)開始,每個數(shù)都等于1與它前面那個數(shù)的倒數(shù)的差。若等于( ) A. 2007 B. 2 C. D. 解析:這道題主要考查有理數(shù)的加減運算和倒數(shù)的有關知識。計算可得這一列數(shù)分別為…。于是不難發(fā)現(xiàn),這一列數(shù)是按照依次循環(huán)的。因為2007能被3整除,所以等于2。故選B。 評注:例3和例4形式多樣,但是也容易理解,具有較強的探索性,其求解過程反映了觀察、實驗、猜測、推理等活動方式。因此同學們既要重視基礎知識的學習,又要加強這種題型的訓練和研究,切實提高分析問題、解決問題的能力。 4. 知識滲透型 例5. 先閱讀下列材料,然后解答問題。 從A、B、C 3張卡片中選2張,有3種不同的選法,抽象成數(shù)學問題就是從3個元素中選取2個元素組合,不同的選法共有(種)。 一般地,從m個元素中選取n個元素()組合,記作。 例如,從7個元素中選取5個元素組合,不同的選法共有(種)。 問:從某個10人的學習小組中選取3人參加活動,不同的選法共有多少種? 解析:這是高中數(shù)學中的組合問題,出現(xiàn)在中考試卷中卻并沒有超出范圍的感覺。求解時只要通過閱讀題目中提供的解題方法即可簡捷解答。 通過閱讀可知,從10人中選取3人參加活動,不同的選法共有(種)。 評注:我們初看題目,會感覺比較難,但只要認真閱讀題目,通過模仿其運算,就很容易求解,這也是知識滲透型題目的一個特點。同學們在答題時不必害怕,要有戰(zhàn)勝困難的勇氣和信心。 在數(shù)學學習中,我們不僅要重視知識的形成過程,還要十分重視挖掘數(shù)學知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊藏的重要思想方法。從初一開始養(yǎng)成在問題解決中自覺運用數(shù)學思想方法的意識,有著不可估量的意義,本文談談有理數(shù)學習中幾種數(shù)學思想的體現(xiàn)。 一. 建模思想 數(shù)學建模是指根據(jù)具體問題,在一定假設條件下找出解決這個問題的數(shù)學框架,求出模型的解,并對它進行驗證的全過程。 例1. 一次團體操排練活動中,某班45名學生面向老師站成一列橫隊。老師每次讓其中任意6名學生向后轉(zhuǎn)(不論原來方向如何),能否經(jīng)過若干次后全體學生都背向老師站立?如果能夠的話,請你設計一種方案:如果不能夠,請說明理由。 分析:問題似乎與數(shù)學無關,卻又難以入手。注意到學生站立有兩個方向,與具有相反意義的量有關,向后轉(zhuǎn)有可想象為進行一次運算,或者說改變一次符號。我們能否設法聯(lián)系有理數(shù)的知識進行討論? 讓我們再發(fā)揮一下想象力:假設每個學生胸前一塊號碼布,上寫“+1”,背后有一塊號碼布,上寫“-1”,那么一開始全體學生面向老師,胸前45個“+1”的“乘積”是“+1”。如果最后全部背向老師,則45個“-1”的“乘積”是“-1”。 再來觀察每次6名學生向后轉(zhuǎn)進行的是什么“運算”。我們也設想老師不叫“向后轉(zhuǎn)”,而稱這6名學生對著老師的數(shù)字都“乘以(-1)”。這樣問題就解決了: 每次“運算”乘上了6個(-1),即乘上了(+1),故45個數(shù)的“乘積”不變,始終是(+1)。 所以要乘積為(-1)是不可能的。 一道難題,通過構(gòu)建數(shù)學模型––––被有理數(shù)的簡單的運算別出心栽地解決了。 例2. 一艘輪船從A島出發(fā),向北偏東40度的方向航行,行至B處發(fā)現(xiàn)前方有暗礁,轉(zhuǎn)向北偏西30度的方向航行至C處,欲使輪船回到原來的航向,輪船應( ) A. 順時針轉(zhuǎn)10度 B. 逆時針轉(zhuǎn)10度 C. 順時針轉(zhuǎn)70度 D. 逆時針轉(zhuǎn)70度 分析:按常規(guī)思路,本題需待到學習了平行線有關知識后方能解答,但能由順時針轉(zhuǎn),逆時針轉(zhuǎn)聯(lián)想到兩個具有相反意義的量,如規(guī)定輪船逆時針轉(zhuǎn)為“+”,則輪船順時針轉(zhuǎn)為“-”,這樣運用有理數(shù)加法較易得出正確答案為C。 二. 數(shù)形結(jié)合思想 由于數(shù)軸的出現(xiàn),使有理數(shù)與直線上的點聯(lián)系起來。實現(xiàn)數(shù)和形第一次親密接觸。數(shù)有了形而形象,形有了數(shù)而精確。 例3. 已知,,,試用“<”將,,,連接起來。 分析:本題可用特值法猜測大小關系,但這樣只能停留在猜想層面。缺乏嚴密的推理。利用數(shù)軸則可形象,直觀看出他們的大小關系。 解:由題意得,為正數(shù),為負數(shù),且的絕對值大于的絕對值,,,,在數(shù)軸上表示如下: 由圖象可知: 例4. 有一座三層樓房不幸起火了,一名消防隊員搭梯子準備爬上三樓搶救物品。當他爬到梯子正中一級時,二樓的窗口噴出火來,他就往下退了5級;等到火過去后,他又爬上了9級,這時樓頂有兩塊磚掉下來,他又往后退了3級,躲過磚塊后他又爬了8級,這時他離最高一層還有2級,這個梯子共有幾級? 分析:本題可以通過建立具有相反意義的量,用有理數(shù)的加法解答。也可以通過建立數(shù)軸,用線段示意圖形象解答。如圖: 梯子級數(shù)為: 三. 分類思想 負數(shù)的出現(xiàn)使數(shù)得到再一次擴展,也使不少結(jié)論在不同的情形下出現(xiàn)截然不同的結(jié)論。如對題設中出現(xiàn)“表示有理數(shù)”這類條件往往需分類考慮,又如絕對值得到正數(shù),平方(偶次方)得正數(shù)的數(shù)有兩個。因此得全面的考慮問題。 例5. a為有理數(shù),比較a與的大小關系。 分析:顯然a與的大小的關系由a的情況確定。利用a與互為倒數(shù)關系,可以在數(shù)軸上找到三個分點:-1,0,1,然后分區(qū)間討論。 解:如圖: (1)當時,則有 (2)當時,則有 (3)當時,則有 (4)當時,則有 (5)當時,則有 例6. 已知a、b、c都不等于零,求的值 分析:由于正數(shù)、負數(shù)、零的絕對值的差異,將導致本題結(jié)果的多樣性。a、b、c三數(shù)均可正可負,故有8種不同情形,分別是: ①+,+,+;②+,-,+;③+,+,-;④-,+,+;⑤-,-,+;⑥-,+,-;⑦+,-,-;⑧-,-,-。 本題又可根據(jù)式子的對稱性按負數(shù)的個數(shù)簡單分為: ①中有0個負數(shù);②有1個負數(shù); ③有2個負數(shù);④有3個負數(shù) 說明:可以按不同標準分類,但應做到不重不漏。 四. 轉(zhuǎn)化思想 有理數(shù)充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想。如利用相反數(shù),把減法轉(zhuǎn)化為加法;利用倒數(shù),把除法轉(zhuǎn)化為乘法。這種應用已學過的知識去研究新問題,把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的方法是學習數(shù)學的基本方法之一。     縱觀近年各地中考題,“用數(shù)學的意識”及開放性的問題受到普遍關注。涉及應用數(shù)學知識解決聯(lián)系實際問題的“應用題”數(shù)量增多,現(xiàn)以有理數(shù)為例,舉例如下。 例1. M國股民吉姆上星期六買進某公司股票1000股,每股27元,下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位:元) 星期 一 二 三 四 五 六 每股漲跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 +2 (1)星期三收盤時,每股是多少元? (2)本周內(nèi)每股最高價多少元?最低價多少元? (3)已知吉姆買進股票時,付了0.15%的手續(xù)費,賣出時還需付成交額0.15%的手續(xù)費和0.1%的交易稅,如果吉姆在星期六收盤前將全部股票賣出,他的收益情況如何? 分析:每天每股價格是買進時每股價格與當天及該天前各天漲跌價的代數(shù)和;收益是賣出時的成交額除去手續(xù)費和交易稅及買進所付的總額。 解:(1)星期三收盤時,每股價為: (元) (2)本周內(nèi)每天每股的價格為: 星期一:(元) 星期二:(元) 星期三:(元) 星期四:(元) 星期五:(元) 星期六:(元) 故本周內(nèi)每股最高價為35.5(元);最低價是每股26(元)。 (3)由(2)知星期六每股賣出價是28(元)。共收益 (元) 所以吉姆共收益889.5元。 例2. 出租車司機小李某天下午營運全是在東西走向的人民大道進行的,如果規(guī)定向東為正,向西為負,他這天下午行車里程如下(單位:千米): (1)將最后一名乘客送到目的地時,小李距下午出車地點的距離是___________千米。 (2)若汽車耗油量為a公升/千米,這天下午共耗油___________公升。 解:(1) 所以小李距下午出發(fā)地點的距離是0千米。(即回到原出發(fā)地) (2) 所以這天下午汽車共耗油118a公升。 評注:耗油量只與行駛的距離有關,與行駛的方向無關,因此(2)小題要求各數(shù)據(jù)絕對值的和。而(1)小題與方向有關,則應求代數(shù)和。 例3. 有一種“二十四點”的游戲,其游戲的規(guī)則是這樣的:任取四個1至13之間的自然數(shù),將這四個數(shù)(每個數(shù)用且只有一次)進行加減乘除四則運算,使其結(jié)果等于24。 例如1,2,3,4可作運算:。(注意上述運算與應視作相同方法的運算)。 現(xiàn)有四個有理數(shù)3,4,-6,10。運用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運算式,使其結(jié)果等于24,運算式如下: (1)_______________________ (2)_______________________ (3)_______________________ 另有四個數(shù)3,-5,7,-13??赏ㄟ^運算式(4)_______________________使其結(jié)果等于24。 參考答案: (1) (2) (3) (4) 評注:本題屬結(jié)論開放性試題,對能力的要求較高,解這類試題,一般要經(jīng)過多次的嘗試,探索。解這類題的能力一定要從平時做起。 有理數(shù)的加法運算律包括加法交換律和結(jié)合律: 加法交換律: 加法結(jié)合律: 恰當使用加法運算律可使運算簡便,且可以推廣到三個或三個以上的有理數(shù)。常用的方法有: 一、同號的數(shù)可先加,稱為“同號結(jié)合法” 例1. 計算: 解:原式 說明: (1)把算式寫成省略加號和的形式; (2)分類結(jié)合時,各部分之間用“+”號連結(jié)。 二、互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加,稱為“相反數(shù)結(jié)合法” 例2. 計算: 解:原式 三、幾個數(shù)相加得整數(shù)時可先知,稱為“湊整結(jié)合法” 例3. 計算: 解:原式 四、同分母的分數(shù)可先加,稱為“同分母結(jié)合法” 例4. 計算: 解:原式 說明: (1)便于通分的加數(shù)可結(jié)合; (2)當同一個算式中既有分母,又有小數(shù)時,一般要統(tǒng)一化為分數(shù)或小數(shù)(選擇計算簡便的那種形式)后,再計算。 練習:計算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1. 正負歸類 例1. 計算: 解: 2. 湊零歸類 例2. 計算: 解: 3. 小數(shù)與分數(shù)互化 例3. 計算: 解: 4. 拆帶分數(shù) 例4. 計算: 解: 5. 同分母歸類 例5. 計算: 解: 6. 前后相消 例6. 計算: 解: 7. 簡易方程法 例7. 計算: 解:不妨設 等式兩邊同乘以128,得: 即 所以 所以 以上介紹了有理數(shù)加法的幾種運算技巧,對于一個式子,如有加法也有減法,可根據(jù)有理數(shù)的減法法則把減法轉(zhuǎn)化為加法,寫成代數(shù)和的形式,然后再進行計算。 “小數(shù)與有理數(shù)”例題解析 教科書中說分數(shù)是有理數(shù),同學們也許要問:小數(shù)是有理數(shù)嗎?我們知道,某些小數(shù)可以化成分數(shù),那么這些小數(shù)肯定也是有理數(shù)。但是否所有的小數(shù)都能化成分數(shù)呢?小數(shù)的分類如下: 下面我們就來分類探討上面的問題。 1. 有限小數(shù) 有限小數(shù)是指小數(shù)點后數(shù)位有限的小數(shù),這類小數(shù)可以化為分數(shù),并且很簡單。 例1. 將下列小數(shù)化成分數(shù)。 (1) (2)0.357。 解析:有限小數(shù)化為分數(shù)的方法我們小學時就會了,但要注意,能化簡時要化成最簡分數(shù)。 (1) (2)。 2. 無限循環(huán)小數(shù)中的純循環(huán)小數(shù) 純循環(huán)小數(shù)是指從十分位開始循環(huán)的小數(shù)。 例2. 把純循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)。 解析:可以寫成0.276276…,將該數(shù)乘以1000,則得到276.276… 由于=,所以可得 =276。 所以=。 總結(jié):整數(shù)部分為0的純循環(huán)小數(shù),若其循環(huán)節(jié)有n位數(shù)字,則分母寫成各位數(shù)字全是9的n位整數(shù),分子寫成該循環(huán)節(jié),即可化為分數(shù)。 3. 無限循環(huán)小數(shù)中的混循環(huán)小數(shù) 混循環(huán)小數(shù)是指從十分位后面的某一位數(shù)開始循環(huán)的小數(shù)。 例3. 把循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)。 解析:觀察可知==,按前面所講的方法化成分數(shù),然后通分相加即可。 = = =。 4. 無限不循環(huán)小數(shù) 這類小數(shù)數(shù)位無限,且沒有循環(huán)節(jié),無法化成分數(shù)。如圓周率。 通過以上探究我們可以知道,有限小數(shù)、無限小數(shù)中的純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù),它們都是有理數(shù),而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分數(shù),故它不是有理數(shù)。

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