江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 2014～2015學(xué)年度第一學(xué)期期中考試 高三數(shù)學(xué)試題 (考試時(shí)間：120分鐘 總分160分) 命題人：王鴻、王光華 審題人：孟太、朱善宏 注意事項(xiàng)：所有試題的答案均填寫(xiě)在答題紙上，答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上． 1. 已知集合，則 ▲ ． 2．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是 ▲ ． 3. 若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則 ▲ ． 4．曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是

2、 ▲ ． 5．將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，則= ▲ ． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)， 則線段的長(zhǎng)度為 ▲ . 7. 不等式的解集為 ▲ . 8. 已知，且，則的值為 ▲ ． 9. 在中，“”是“”的 ▲ 條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 10．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，為的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，則 ▲ ． 11．設(shè)，已知在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)

3、的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為 ▲ . （第10題圖） 12．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，其前四項(xiàng)恰是方程 的四個(gè)根，則 ▲ . 13．已知圓C：，點(diǎn)P在直線l：上，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ ． 14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ，直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D．若記線段和在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a 、b ，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指

4、定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 16．設(shè)，函數(shù)． （Ⅰ）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的值； （Ⅱ）若函數(shù)在處取得極小值，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。 A B C D E F M N G 第17題 17．某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一個(gè)水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測(cè)量得到．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周?chē)鷾?zhǔn)

5、備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)． （Ⅰ）假設(shè)，試將五邊形的面積表示為的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域； （Ⅱ）問(wèn)：應(yīng)如何設(shè)計(jì)，可使市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出健身廣場(chǎng)的最大面積． 18. 已知圓：，點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、，切點(diǎn)為、． （Ⅰ）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； （Ⅲ）求線段長(zhǎng)度的最小值． 19.若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差

6、”數(shù)列． （Ⅰ）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有． ①求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； ②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 20. 已知函數(shù)，其中 （Ⅰ）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍. 高三數(shù)學(xué)期中試題（教師版） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．

7、 1.已知集合，則 ▲ ． 答案： 2．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是 ▲ ． 答案： 3. 若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則 ▲ ． 答案：13　 4．曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是 ▲ ． 答案： 5．將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，則= ▲ ． 答案： 6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)， 則線段的長(zhǎng)度為 ▲ . 答案：4 7. 不等式的解集為 ▲ . 答案： 8.已知，且，則的

8、值為 ▲ ． 答案： 9. 在中，“”是“”的 ▲ 條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分 10．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，為的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，則 ▲ ． 答案： （第10題圖） 11．設(shè)，已知

9、在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為 ▲ . 答案： 12．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，其前四項(xiàng)恰是方程的四個(gè)根，則 ▲ . 答案： 13．已知圓C：，點(diǎn)P在直線l：上，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ ． 答案： 14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ，直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D．若記線段和在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a 、b ，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為 ▲ ． 答案：32 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分

10、．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 由正弦定理得，所以 ……………………………4分 （Ⅱ）因?yàn)椋?，所以? 所以， 由余弦定理得，所以．……………………………8分 所以 即 ……………………………14分 16．設(shè)，函數(shù)． （Ⅰ）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的值； （Ⅱ）若函數(shù)在處取得

11、極小值，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。 解：（Ⅰ）， ……………………………2分 故 ， 為奇函數(shù)， ，即 ； ……………………………6分 （Ⅱ） 列表如下：

12、 ……………………………9分 在處取得極小值，在處取得極大值， 由題設(shè)，； ……………………………12分 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為 ……………………………14分 A B C D E F M N G 第17題 17．某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一個(gè)水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測(cè)量得到．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周?chē)鷾?zhǔn)

13、備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)． （Ⅰ）假設(shè)，試將五邊形的面積表示為的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域； （Ⅱ）問(wèn)：應(yīng)如何設(shè)計(jì)，可使市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出健身廣場(chǎng)的最大面積． 解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足為H， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)? 所以，所以 ………………2分 過(guò)作交于T，則 ， 所以 ………………………7分 由于與重合時(shí)，適合條件，故,…………………………8分 （Ⅱ），…………………10分 所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2000， ……13分 答：當(dāng)時(shí)，得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，

14、最大面積為．…………14分 18. 已知圓：，點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、，切點(diǎn)為、． （Ⅰ）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； （Ⅲ）求線段長(zhǎng)度的最小值． 解：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r＝2，設(shè)P（2b,b）， 因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90, 所以MP＝，解得 　　　所以　　　　　　　　 ……………………………4分 　（Ⅱ）設(shè)P（2b，b），因?yàn)椤螹AP＝90，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑， 其方程為： 即

15、　　 　　　　　由，　　　　　　 ……………………………7分 解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn) ……………………9分 （Ⅲ）因?yàn)閳A方程為 即 　　　　　　　　　　 ……① 　　　　　圓：，即　　　　　 ……② ②－①得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為： ……………………………11分 點(diǎn)M到直線AB的距離　 ……………………………13分 相交弦長(zhǎng)即： 　 當(dāng)時(shí)，AB有最小值　　　　　　……………………………16分 19.若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列． （Ⅰ）

16、若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有． ①求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； ②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（Ⅰ）易得數(shù)列 前項(xiàng)之和 ……………………………4分 （Ⅱ）①（）（A） （B） （B）（A）得（）． 所以，為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列． ……………………………6分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；

17、 ……………………………8分 ②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ． ……………………………12分 故當(dāng)時(shí)，，，， 由，則，解得． 所以存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（） ……………………………16分 20. 已知函數(shù)，其中 （Ⅰ）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意大于等于2的實(shí)數(shù)，總存在唯一的小于2的實(shí)數(shù)，使得成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（Ⅰ）為減函數(shù)。

18、理由如下： 因?yàn)椋? 由于，且， 所以，從而函數(shù)為減函數(shù)。 （亦可先分別用定義法或?qū)?shù)法論證函數(shù)和在上單調(diào)遞減，再得函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)。） ……………………………5分 （Ⅱ）①若時(shí)，； 時(shí)。 所以不成立. ……………………………7分 ②若時(shí)，，所以在單調(diào)遞減. 從而， 即. ……………………………9分 (a)若時(shí)，. 所以在上單調(diào)遞增，從而，即. 要使成立，只需，即成立即可. 由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以. ……………………………11分 (b)若時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 從而，即. ……………………………13分 要使成立，只需成立，即成立即可. 由，得. 故當(dāng)時(shí)，恒成立. 綜上所述，. ……………………………16分