廣東省惠州市高三第四次模擬考試 文科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 惠州市2015屆高三模擬考試 數(shù) 學(xué) 試 題 (文科） 2015.04 本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液

2、。不按以上要求作答的答案無(wú)效。 4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回。 參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng). 1．已知集合，則 （ ） A． B． C． D． 2．若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則 （ ） A． B． C． D． 3．已知點(diǎn)，和向量a，若a//

3、，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A． B． C． D． 4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則 （ ） 2 1 1 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 2 1 A．45 B．43 C． 40 D．42 5．下列函數(shù)中周期為且為偶函數(shù)的是 （ ） A． B． C． D． 6．已知某幾何體的三視圖如上圖所示，則該幾何體的體積為 ( ) A． B．

4、 C． D． 7．已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和 為，那么橢圓的離心率等于 ( ) 開(kāi)始 結(jié)束 是 否 輸出 A． B． C． D．[ 8．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的= （ ） A．30 B．25 C．20 D．12 9．若變量，滿足約束條件， 則的最大值等于 （ ） A． B． C．11 D．10 10. 若

5、直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)不同點(diǎn)、滿足條件：①、都在函數(shù)的圖像上；②、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn) 對(duì)與看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)=，則此函 數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有 （ ） 對(duì)． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題：本大題共5小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分20分． （一）必做題：第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答． 11．計(jì)算：= ．（為虛數(shù)單位） 12．函數(shù)在 處取得極小值. 13

6、．設(shè)，若是 與的等比中項(xiàng)，則的最小值為 ． （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分． 14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線 的 距離是 . 15．（幾何證明選做題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上， 延長(zhǎng)到使，過(guò)作圓的切線交于. 若，，則 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟． 16.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的最小正周期為，且. (1) 求的表達(dá)式； (2) 設(shè)，，，求的值. 1

7、7.（本小題滿分12分） 某班名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． (1) 根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的平均值； (2) 若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于的概率. 18．（本小題滿分14分） 如圖所示，在所有棱長(zhǎng)都為的三棱柱中，側(cè)棱，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)． A B C D A1 B1 C1 (1)求證：∥平面； (2)求四棱錐的體積． 19．（本小題滿分14分） 若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和

8、為，首項(xiàng)，點(diǎn)（）在曲線上.源: (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：. 20.（本小題滿分14分） 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn). 直線交橢圓于不同的兩點(diǎn). (1)求橢圓的方程； (2)求的取值范圍； (3)若直線不過(guò)點(diǎn)，求證：直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形. 21.（本小題滿分14分） 已知，函數(shù)． (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)時(shí)，． 惠州市2015屆高三模擬考試 ( 文科數(shù)學(xué))參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參

9、考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7

10、8 9 10 答案 B A C D B C B A D B 1．B 【解析】試題分析：由題根據(jù)集合，不難求得A,B的交集；由題 2．A 【解析】試題分析：根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系，原函數(shù)中時(shí)，， 故反函數(shù)中當(dāng)時(shí)，即 3．C 【解析】試題分析：根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得＝（3，1），∵∥，∴， 解得 4．D 【解析】試題分析：， 5．B 【解析】試題分析：由于周期為，故排除C,D；又由于是偶函數(shù)，而選項(xiàng)A，函數(shù) ，故排除A，又選項(xiàng)B，是偶函數(shù) 6．C 解析:由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得

11、7．B 【解析】，， 8．A 【解析】由題意可知，第一次循環(huán)S=5，n=2，T=2，不滿足T>S；第二次循環(huán)，S=10，n=4，T=2+4=6， 不滿足T>S；第三次循環(huán)，S=15，n=6，T=12，不滿足T>S；第四次循環(huán)，S=20，n=8，T=20， 不滿足T>S；第五次循環(huán)，S=25，n=10，T=30，滿足T>S；結(jié)束，此時(shí)T=30，故選A 9．D 【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面圖象如下圖的陰影部分，表示斜率為的直線系， 表示直線在軸上的截距，由圖象可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為 10．B 【解析】根據(jù)題意可知只須作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，確定它與

12、函數(shù) 交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可,由圖象可知，只有一個(gè)交點(diǎn)． 二．填空題 11． 12． 13． 14． 15． 11．【解析】 因?yàn)? 12．【解析】 由得：，列表得： ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在處取得極小值. 13．【解析】 由題意知，又， 所以，所以的最小值為. 14．【解析】 如下圖: . 15. 【解析】 如下圖:，得. 三．解答題 16. （本小題滿分1

13、2分） 解：(1)依題意得，∴， ……………………2分 由，得，即，∴, ……………………4分 ∴ ……………………5分 (2) 由，得， 即，∴， ……………………6分 又∵，∴， ……………………7分 由，得， 即，∴， ……………………9分 又∵，∴，

14、 ……………………10分 ……………………12分 17．解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，百米測(cè)試成績(jī)的平均值為 ……………………… 5分 （Ⅱ）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、； 成績(jī)?cè)?的人數(shù)為人，設(shè)為、、、 ………………………6分 若時(shí)，有種情況； ……………………7分 若時(shí)，有種情況； ……………………8分 若分別在和內(nèi)時(shí)， A

15、 B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有種情況. ……………………10分 所以基本事件總數(shù)為種，事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有種。 ∴（）。 ………………………12分 18、(本題滿分14分) A B C D A1 B1 C1 E 解：(1)連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)，…………1分 則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，…………

16、2分 因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)， 所以是的中位線， 所以∥， ………………4分 因?yàn)槠矫?，面，……?分 所以∥平面. ………………6分 (2)取線段中點(diǎn)，連結(jié)， ………………7分 ∵ ，點(diǎn)為線段中點(diǎn)， ∴ . ………………9分 又平面 即平面，平面 ∴ ， ………………11分 ∵ ， ∴ 平面，則是四棱錐的高 ………………12分 . ………………14分 19（本小題滿分14分） 解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以. …………1分 由得.

17、 ……………3分 且 所以數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列 ……………4分 所以, 即 ……………5分 當(dāng)時(shí)， ……………6分 當(dāng)時(shí)，也成立 ……………7分 所以， ……………8分 (2) 因?yàn)?所以, ……………9分 ……………12分 ……………14分 20.（本小題滿分14分）

18、 (1) （2） （3）見(jiàn)解析 (1) 由已知橢圓焦點(diǎn)在軸上可設(shè)橢圓的方程為，（） 因?yàn)?，所以? ① 又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以， ② 聯(lián)立①②解得，故橢圓方程為. ………………4分 (2) 將代入并整理得， 因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以，解得. ………………8分 (3) 設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明即可. 設(shè)，， 則. ………………10分 所以 所以，所以

19、直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形． ………………14分 21.（本小題滿分14分） 解：（1）由題意得 ………………1分 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ………………2分 當(dāng)時(shí)，， ………………4分 此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (－∞，］ ，［，＋∞)． ………………5分 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ［，］． ………………6分 (2)證明：由于0≤x≤1，故 當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3

20、－2ax＋2≥4x3－4x＋2． ………………8分 當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2． ……10分 設(shè)g(x)＝2x3－2x＋1， ， 則g′(x)＝6x2－2＝6(x－)(x＋)， ………………11分 x 0 (0，) (，1) 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 1 減 極小值 增 1 于是 ………………12分 所以，g(x)min＝g()＝1－＞0 ∴ 當(dāng)時(shí)， ………………13分 故． ∴ 當(dāng)時(shí)， ………………14分 （注：此問(wèn)還可以按分類(lèi)討論的思想，令， 證明當(dāng)時(shí)，成立，請(qǐng)參照給分） 19