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1、
3.3 幾何概型
1.函數(shù)f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率為( )
A.0.1 B. C.0.3 D.0.4
答案:C
2.有四個(gè)游戲盤(pán),如果撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎(jiǎng).小明希望最容易中獎(jiǎng),他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤(pán)為( )
解析:四個(gè)游戲盤(pán)中獎(jiǎng)概率分別為P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=.
∵P(A)>P(B)>P(D)>P(C),
∴A中獎(jiǎng)率大.
答案:A
3.(2012湖北高考,文10)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑
2、作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是
( )
A. B.
C.1- D.
解析:設(shè)OA=OB=2R,連接AB,如圖所示,由對(duì)稱(chēng)性可得,陰影的面積就等于直角扇形拱形的面積,S陰影=π(2R)2-(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-.
答案:C
4.平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線(xiàn),把一枚半徑為r(r
3、.
5.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M.
(1)求M與面ABCD的距離大于的概率;
(2)求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率.
解:V正方體=a3.(1)所求概率為.
(2)所求概率為.
6.如圖所示,∠AOB=60,OA=2,OB=5,在線(xiàn)段OB上任取一點(diǎn)C,試求△AOC為鈍角三角形的概率.
解:先看使△AOC為直角三角形的情況:
若∠OCA=90,則OC=1;
若∠OAC=90,則OC=4.
如圖,C1和C2分別是適合以上兩種情況的點(diǎn)C,它們均在線(xiàn)段OB上,由題意知,當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OC1或C2B上時(shí),△AO
4、C為鈍角三角形.
又OB=5,OC1+C2B=1+1=2,
則△AOC為鈍角三角形的概率為.
7.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b,若a,b都是從區(qū)間[0,4]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù),則f(1)>0成立的概率是( )
A. B. C. D.
解析:f(1)=-1+a-b,令f(1)>0,則a-b>1.又0≤a≤4,0≤b≤4,滿(mǎn)足a-b>1的陰影部分如圖所示.
∴P=.
答案:B
8.如圖,在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板,上面畫(huà)了小、中、大三個(gè)同心圓,半徑分別為2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投鏢.設(shè)投中線(xiàn)上或沒(méi)有投中木板時(shí)不算,可重投,則:
5、(1)投中大圓內(nèi)的概率是 .
(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是 .
(3)投中大圓之外的概率是 .
解析:設(shè)事件A={投中大圓內(nèi)},事件B={投中小圓與中圓形成的圓環(huán)},事件C={投中大圓外}.S正方形=162=256(cm2),S大圓=62π=36π(cm2),S中圓-S小圓=12π(cm2),S大圓外=S正方形-S大圓=(256-36π)(cm2).由幾何概型概率公式得P(A)=,P(B)=,P(C)==1-.
答案:(1) (2)π (3)1-
9.在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,求△ABP與△ABC的面積之比大于的概率.
解:如圖,設(shè)點(diǎn)P,C到邊AB的距
6、離分別為dP,dC,則S△ABP=ABdP,S△ABC=ABdC,
所以.要使,只需點(diǎn)P落在某條與AB平行的直線(xiàn)EF的上方,當(dāng)然點(diǎn)P應(yīng)在△ABC之內(nèi),而這條與AB平行的直線(xiàn)EF與AB的距離等于dC,由幾何概型概率公式,得P=.
10.兩艘輪船都要?？客粋€(gè)泊位,它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá).設(shè)兩船停靠泊位的時(shí)間分別為1小時(shí)與2小時(shí),求有一艘船欲?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率.
解:分別用x,y表示第一、二艘船到達(dá)泊位的時(shí)間,一艘船到達(dá)泊位時(shí)必須等待當(dāng)且僅當(dāng)0≤x-y≤2,0≤y-x≤1,即(x,y)落入如圖陰影區(qū)域,因此所求概率為
≈0.121.
11.某人從甲地去乙地共走了
7、500m,途經(jīng)一條寬為x m的河流,該人不小心把一件東西丟在了途中,若東西掉在河里,則找不到;若東西不掉在河里,則能找到,已知該件東西能被找到的概率為,問(wèn)河寬為多少?
解:設(shè)“該件東西能被找到”為事件A,由已知P(A)=,得x=100.
答:河寬為100m.
12.在區(qū)間[-1,1]上任取兩實(shí)數(shù)a,b,求方程x2+ax+b2=0的兩根:
(1)都是實(shí)數(shù)的概率;
(2)都是正數(shù)的概率.
解:如圖,把a(bǔ),b分別看作平面直角坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),則總區(qū)域面積為4.
(1)要使方程兩根為實(shí)數(shù),只需Δ=a2-4b2≥0,
則|a|≥2|b|,
區(qū)域?yàn)閳D中所示陰影部分,面積為1,
所以所求概率為.
(2)要使兩根均為正數(shù),則應(yīng)滿(mǎn)足:
所以區(qū)域僅為陰影部分的左半部分,面積為,故所求概率為.
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