新課標(biāo)Ⅱ高考壓軸卷 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、2014屆新課標(biāo)II高考壓軸卷 理科數(shù)學(xué) 一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 2. 已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（　?。? 　 A． ﹣1+2 i B． l+2i C． 2﹣i D． ﹣1﹣2i 3. 由y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=2sin的圖象，則 f（

2、x）為（　?。? 　 A． 2sin B． 2sin C． 2sin D． 2sin 4.已知函數(shù)，則的值是（　?。? 　 A． 9 B． ﹣9 C． D． 5. 設(shè)隨機(jī)變量(3，1)，若，，則P(2

3、（　?。? 　 A． 64 B． 32 C． 16 D． 8 8.已知、是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 9.一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），則該四面體中以平面為投影面的正視圖的面積為 A． B． C． D．

4、10. .已知函數(shù)，且，則 A． 　　 B．　 C．　 D． 11．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則+的最小值為（　?。? 　 A． 4 B． C． 1 D． 2 　12．設(shè)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，則該雙曲線的離心率為（　?。? 　 A． B． C． D． 二、填空題：本大題共4小題，每

5、小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置． 13.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5，40]中，其頻率分布直方圖如圖所示．從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根，則其棉花纖維的長度小于20mm的概率為　?。? 14.已知，，則的值為 　　　 ． 15.函數(shù)的最小值是 ． 16.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為________． 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

6、算步驟．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)． 17.已知函數(shù)，． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； （Ⅱ）已知中的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，若銳角滿足，且，，求的面積． 18.隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否讀營養(yǎng)說明，得到如下列聯(lián)表： 性別與讀營養(yǎng)說明列聯(lián)表 男 女 總計(jì) 讀營養(yǎng)說明 16 8 24 不讀營養(yǎng)說明 4 12 16 總計(jì) 20 20 40 ⑴根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系？ ⑵從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中，隨機(jī)

7、抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）． （注：，其中為樣本容量．） 19.已知正四棱柱中，. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 20.已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn). （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請說明理由； （Ⅲ）記的面積為，的面積為，令，求的最大值. 21.已知，函數(shù). (1)時(shí)，寫出的增區(qū)間

8、； (2)記在區(qū)間[0,6]上的最大值為，求的表達(dá)式； (3)是否存在，使函數(shù)在區(qū)間(0,6)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由． 請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請寫清題號. 22.選修4﹣1：幾何證明選講 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，AD丄CE，垂足為D． （I） 求證：AC平分∠BAD； （II） 若AB=4AD，求∠BAD的大?。? 23.選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 將圓x2+y2=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來的，所得曲線記作C；

9、將直線3x﹣2y﹣8=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90所得直線記作l． （I）求直線l與曲線C的方程； （II）求C上的點(diǎn)到直線l的最大距離． 24. 選修4﹣5：不等式選講 設(shè)函數(shù)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|． （I）求證f（x）≥1； （II）若f（x）=成立，求x的取值范圍． 2014新課標(biāo)II高考壓軸卷 理科數(shù)學(xué)參考答案 1. 【 答案】A. 【 解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．

10、 所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2． 故選C． 2. 【 答案】A. 【 解析】由z?i=2﹣i，得， ∴． 故選：A． 3. 【 答案】B. 【 解析】由題意可得y=2sin的圖象上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可得函?shù)y=2sin（6x﹣）的圖象． 再把函數(shù)y=2sin（6x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣）﹣）]=2sin（6x﹣2π﹣）=2sin 的圖象， 故選B． 4. 【 答案】C. 【 解析】=f（log2）=f（log22﹣2）=f（﹣2）=3﹣2=， 故選C． 5. 【 答案】C. 【 解析】因?yàn)椋? 所以P(2

11、= ，選C. 6. 【 答案】C. 【 解析】本程序計(jì)算的是 ，由，得，解得。此時(shí)，不滿足條件，輸出，所以①應(yīng)為，選C. 7. 【 答案】A. 【 解析】∵，（x＞0）， ∴f（x）=， ∴在點(diǎn)（a，f（a））處的切線斜率k=f（a）=（a＞0）． 且f（a）=， ∴切線方程為y﹣=（x﹣a）， 令x=0，則y=， 令y=0，則x=3a，即切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），（3a，0）， ∴三角形的面積為， 即， ∴a=64． 故選：A． 8. 【 答案】C 【 解析】 9. 【 答案】A 【 解析】設(shè)O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2

12、），C（0，0，1），易知該四面體中以平面為投影面的正視圖為直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3. 10. 【 答案】B 【 解析】因?yàn)?，所? ， ，所以,選B. 11. 【 答案】A. 【 解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域， 得到如圖的四邊形OABC及其內(nèi)部，其中 A（2，0），B（4，6），C（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），將直線l：z=ax+by進(jìn)行平移， 觀察y軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值 ∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12． 因此，+=（+

13、）（4a+6b）=2+（）， ∵a＞0，b＞0，可得≥=12， ∴當(dāng)且僅當(dāng)即2a=3b=3時(shí)，的最小值為12， 相應(yīng)地，+=2+（）有最小值為4． 故選：A 12. 【 答案】C. 【 解析】雙曲線的漸近線為：y=x，設(shè)焦點(diǎn)F（c，0），則A（c，），B（c，﹣），P（c，）， ∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ））， ∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=， 又由λμ=得=，解得=， ∴e== 故選C． 13. 【 答案】 【 解析】根據(jù)題意，棉花纖維的長度小于20mm的有三組， [5，10）這一組的頻率為50.01=0.05，有1000.05=5根棉花

14、纖維在這一組， [10，15）這一組的頻率為50.01=0.05，有1000.05=5根棉花纖維在這一組， [15，20）這一組的頻率為50.04=0.2，有1000.2=20根棉花纖維在這一組， 則長度小于20mm的有5+5+20=30根， 則從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根，其長度小于20mm的概率為=； 故答案為． 14. 【 答案】. 【 解析】由得，所以。所以 。 15. 【 答案】1. 【 解析】，當(dāng)且僅當(dāng) 16. 【 答案】. 【 解析】∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立， ∴f(x)在R上是增函數(shù)． 又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)

15、為奇函數(shù)． 由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)， ∴mx－2<－x，即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立． 記g(m)＝xm－2＋x， 17. 【 解析】（Ⅰ） ………………………………………………………2分 的最小正周期為 ………………………………………3分 由得：，， 的單調(diào)遞減區(qū)間是， ………………6分 （Ⅱ）∵，∴，∴ ………………7分 ∵，∴．由正弦定理得：， 即，∴ ……………………………………………………9分 由

16、余弦定理得：， 即，∴ ………………………………………………………11分 ∴ …………………………………………12分 18. 【 解析】⑴由表中數(shù)據(jù)，得……4分（列式2分，計(jì)算1分，比較1分）， 因此，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為性別與讀營養(yǎng)說明有關(guān)……5分 ⑵的取值為0，1，2……6分 ，，……12分 的分布列為 ……13分 的均值為……14分． 19. 【 解析】證明：(Ⅰ)因?yàn)闉檎睦庵? 所以平面，且為正方形. ………1分 因?yàn)槠矫妫? 所以.

17、 ………2分 因?yàn)? 所以平面. ………3分 因?yàn)槠矫? 所以. ………4分 (Ⅱ) 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則 ………5分 所以. 設(shè)平面的法向量. 所以 .即……6分

18、 令，則. 所以. 由（Ⅰ）可知平面的法向量為 . ……7分 所以. ……8分 因?yàn)槎娼菫殁g二面角， 所以二面角的余弦值為. ………9分 (Ⅲ)設(shè)為線段上一點(diǎn),且. 因?yàn)? 所以. ………10分 即. 所以.

19、 ………11分 設(shè)平面的法向量. 因?yàn)椋? 所以 .即. ………12分 令，則. 所以. ………13分 若平面平面，則. 即，解得. 所以當(dāng)時(shí)，平面平面. ………14分 20. 【 解析】（I）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為 由于動(dòng)圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動(dòng) 圓與圓只能內(nèi)切 ………………………………………2分 圓心的軌跡為以為焦

20、點(diǎn)的橢圓，其中， 故圓心的軌跡： …………………………………………………………4分 （II）設(shè)，直線，則直線 由可得：， ……………………………6分 由可得： ………………………………8分 和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為……………………………………9分 （III），的面積的面積， 到直線的距離 …………………………11分 令，則 （當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)取等號） 當(dāng)時(shí)，取最大值……………………………………………………13分 21. 【 解析】(1)； (2)當(dāng)0≤x≤t時(shí)，f(x)＝；當(dāng)x＞t時(shí)，f(x)＝. 因此，當(dāng)x∈(0，t)

21、時(shí)，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(t，＋∞)時(shí)，f′(x)＝＞0，f(x)在(t，＋∞)上單調(diào)遞增． ①若t≥6，則f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，g(t)＝f(0)＝. ②若0＜t＜6，則f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減，在(t,6)上單調(diào)遞增． 所以g(t)＝mtx{f(0)，f(6)}． 而f(0)－f(6)＝，故當(dāng)0＜t≤2時(shí)，g(t)＝f(6)＝； 當(dāng)2＜t＜6時(shí)，g(t)＝f(0)＝.綜上所述，g(t)＝ (3)由(1)知，當(dāng)t≥6時(shí)，f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，故不滿足要求． 當(dāng)0＜t＜6時(shí)，f(x)在(0，t)上單調(diào)遞減，在(t,

22、6)上單調(diào)遞增． 若存在x1，x2∈(0,6)(x1＜x2)，使曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則x1∈(0，t)，x2∈(t,6)，且f′(x1)f′(x2)＝－1， 即.亦即x1＋3t＝.(*) 由x1∈(0，t)，x2∈(t,6)得x1＋3t∈(3t,4t)，∈. 故(*)成立等價(jià)于集合T＝{x|3t＜x＜4t}與集合B＝的交集非空．因?yàn)椋?t，所以當(dāng)且僅當(dāng)0＜3t＜1，即0＜t＜時(shí)，T∩B≠. 綜上所述，存在t使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直，且t的取值范圍是. 22. 【 解析】證

23、明：（Ⅰ）連接BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90． ∴∠B+∠CAB=90 ∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90， ∵AC是弦，且直線CE和圓O切于點(diǎn)C， ∴∠ACD=∠B ∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD； （Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴，由此得AC2=AB?AD． ∵AB=4AD，∴AC2=4AD?AD?AC=2AD，于是∠DAC=60， 故∠BAD的大小為120． 23. 【 解析】(Ⅰ）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x2+y2=4上， 于是x2+（2y）2=4，即． 直線3x﹣2y﹣8=0的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ

24、﹣2ρsinθ﹣8=0，將其記作l0， 設(shè)直線l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ﹣90）在l0上， 于是3ρcos（θ﹣90）﹣2ρsin（θ﹣90）﹣8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0， 故直線l的方程為2x+3y﹣8=0； （Ⅱ）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ）， 它到直線l的距離為d==， 其中ψ0滿足：cosψ0=，sinψ0=． 24. 【 解析】（Ⅰ）證明：由絕對值不等式得： f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分） （Ⅱ）∵==+≥2， ∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2， 即，或，或， 解得x≤，或x≥． 故x的取值范圍是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分） - 20 -