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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第二篇 第1講 選擇題的解法技巧
題型概述
選擇題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,側(cè)重于解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和快捷性,以“小”“巧”著稱.解選擇題只要結(jié)果,不看過程,更能充分體現(xiàn)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力.
解題策略:充分利用題干和選項(xiàng)提供的信息作出判斷,先定性后定量,先特殊后推理,先間接后直接,先排除后求解,一定要小題巧解,避免小題大做.
方法一 直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā),運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí),通過嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運(yùn)算,從而得出正確的結(jié)論,然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”,作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法.
例1 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若<0,則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
(2)(xx廣雅中學(xué)高三一模)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若a=,A=,cos B=,則b等于( )
A. B. C. D.
解析 (1)由題意知a=,b=1,c=,
∴F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).
∵<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,
即x-3+y<0.
∵點(diǎn)M(x0,y0)在雙曲線上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0,∴-
0,n=1,2,3,…,且a5a2n-5=22n(n≥3),當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )
A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2
解析 (1)若a=-1,則f(x)=
易知f(-1)是f(x)的最小值,排除A,B;
若a=0,則f(x)=易知f(0)是f(x)的最小值,故排除C.D正確.
(2)因?yàn)閍5a2n-5=22n(n≥3),所以令n=3,代入得a5a1=26,再令數(shù)列為常數(shù)列,得每一項(xiàng)為8,則log2a1+log2a3+log2a5=9=32.結(jié)合選項(xiàng)可知只有C符合要求.
答案 (1)D (2)C
思維升華 特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效,比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題,但用特例法解選擇題時(shí),要注意以下兩點(diǎn):
第一,取特例盡可能簡(jiǎn)單,有利于計(jì)算和推理;
第二,若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符,則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn),或改用其他方法求解.
跟蹤演練2 (1)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
(2)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心,∠A=60,+=2m,則m的值為( )
A. B. C.1 D.
方法三 排除法
排除法也叫篩選法或淘汰法,使用排除法的前提條件是答案唯一,具體的做法是采用簡(jiǎn)捷有效的手段對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”,將其中與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除,從而獲得正確答案.
例3 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至xx年我國(guó)二氧化硫排放量(單位:萬噸)柱形圖.以下結(jié)論不正確的是( )
A.逐年比較,xx年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B.xx年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C.xx年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)
D.xx年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
(2)(xx浙江)函數(shù)f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為( )
解析 (1)從xx年,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較,得到xx年二氧化硫排放量與xx年排放量的差最大,A選項(xiàng)正確;
xx年二氧化硫排放量較xx年降低了很多,B選項(xiàng)正確;
雖然xx年二氧化硫排放量較xx年多一些,但自xx年以來,整體呈遞減趨勢(shì),即C選項(xiàng)正確;自xx年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān),D選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選D.
(2)∵f(x)=(x-)cos x,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù),排除A,B;當(dāng)x→π時(shí),f(x)<0,排除C.故選D.
答案 (1)D (2)D
思維升華 排除法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí),先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以否定,再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾,這樣逐步篩選,直到得出正確的答案.
跟蹤演練3 (1)已知f(x)=x2+sin(+x),則f′(x)的圖象是( )
(2)(xx北京)設(shè){an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是( )
A.若a1+a2>0,則a2+a3>0
B.若a1+a3<0,則a1+a2<0
C.若0<a1<a2,則a2>
D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0
方法四 數(shù)形結(jié)合法
在處理數(shù)學(xué)問題時(shí),能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來,通過對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析,將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來,利用圖象的直觀性,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問題得到解決,這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法.
例4 設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= 則f(x)的值域是( )
A.[-,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞)
C.[-,+∞) D.[-,0]∪(2,+∞)
解析 由x2;
由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
∴f(x)=
即f(x)=
當(dāng)x<-1時(shí),f(x)>2;當(dāng)x>2時(shí),f(x)>8.
∴當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?2,+∞).
當(dāng)-1≤x≤2時(shí),-≤f(x)≤0.
∴當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇-,0].
綜上可知,f(x)的值域?yàn)閇-,0]∪(2,+∞).
答案 D
思維升華 數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀性進(jìn)行分析的,用這種方法解題比直接計(jì)算求解更能抓住問題的實(shí)質(zhì),并能迅速地得到結(jié)果.使用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)一定要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形、圖象的性質(zhì),否則會(huì)因?yàn)殄e(cuò)誤的圖形、圖象得到錯(cuò)誤的結(jié)論.
跟蹤演練4 函數(shù)f(x)=|x-1|+2cos πx(-2≤x≤4)的所有零點(diǎn)之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
方法五 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法,依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息,把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式,揭示問題的本質(zhì),從而溝通解題思路的方法.
例5 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)于?x∈R,均有f(x)>f′(x),則有( )
A.e2 016f(-2 016)e2 016f(0)
B.e2 016f(-2 016)f(0),f(2 016)>e2 016f(0)
D.e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)f′(x),并且ex>0,
所以g′(x)<0,故函數(shù)g(x)=在R上單調(diào)遞減,
所以g(-2 016)>g(0),g(2 016)f(0),f(0),f(2 016)0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
(2)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列五個(gè)命題:
①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直;
②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等;
③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180;
④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;
⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
方法六 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng),解答又無需過程,因此,有些題目不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算,只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì),便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量,但是加強(qiáng)了思維的層次.
例6 (1)已知x1是方程x+lg x=3的根,x2是方程x+10x=3的根,則x1+x2等于( )
A.6 B.3 C.2 D.1
(2)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,EF∥AB,EF=,EF與平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為( )
A. B.5 C.6 D.
解析 (1)因?yàn)閤1是方程x+lg x=3的根,所以20,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正負(fù)不確定,因而a2+a3符號(hào)不確定,故選項(xiàng)A錯(cuò);若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正負(fù)不確定,因而a1+a2符號(hào)不確定,故選項(xiàng)B錯(cuò);若00,d>0,a2>0,a3>0,∴a-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴a2>,故選項(xiàng)C正確;若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)=d(-d)=-d2≤0,故選項(xiàng)D錯(cuò).
跟蹤演練4 C [由f(x)=|x-1|+2cos πx=0,
得|x-1|=-2cos πx,
令g(x)=|x-1|(-2≤x≤4),
h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4),
又因?yàn)間(x)=|x-1|=
在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)g(x)=|x-1|(-2≤x≤4)和h(x)
=-2cos πx(-2≤x≤4)的圖象(如圖),
由圖象可知,函數(shù)g(x)=|x-1|關(guān)于x=1對(duì)稱,
又x=1也是函數(shù)h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的對(duì)稱軸,
所以函數(shù)g(x)=|x-1|(-2≤x≤4)和h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的交點(diǎn)也關(guān)于x=1對(duì)稱,且兩函數(shù)共有6個(gè)交點(diǎn),所以所有零點(diǎn)之和為6.]
跟蹤演練5 (1)A (2)C
解析 (1)因?yàn)閒(x)(x∈R)為奇函數(shù),
f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.當(dāng)x≠0時(shí),令g(x)=,則g(x)為偶函數(shù),且g(1)=g(-1)=0.則當(dāng)x>0時(shí),g′(x)=′=<0,故g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù).所以在(0,+∞)上,當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>g(1)=0?>0?f(x)>0;在(-∞,0)上,當(dāng)x<-1時(shí),g(x)<g(-1)=0?<0?f(x)>0.綜上,得使f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),選A.
(2)構(gòu)造長(zhǎng)方體,使三組對(duì)棱恰好是長(zhǎng)方體的三組平行面中異面的對(duì)角線,在此背景下,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z.
對(duì)于①,需要滿足x=y(tǒng)=z,才能成立;
因?yàn)楦鱾€(gè)面都是全等的三角形(由對(duì)棱相等易證),則四面體的同一頂點(diǎn)處對(duì)應(yīng)三個(gè)角之和一定恒等于180,故②正確,③顯然不成立;
對(duì)于④,由長(zhǎng)方體相對(duì)面的中心連線相互垂直平分判斷④正確;
每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)恰好分別等于各個(gè)面的三角形的三邊長(zhǎng),⑤顯然成立.故正確命題有②④⑤.
跟蹤演練6 (1)B (2)B
解析 (1)因?yàn)?>a=log23>1,b=2>2,c=3<1,所以c
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