[高二數(shù)學(xué)]高中數(shù)學(xué)人教A版選修11全套教案
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1、1.1.1 命題及其關(guān)系(一) (第1課時(shí)) 教學(xué)要求:了解命題的概念,會(huì)判斷一個(gè)命題的真假,并會(huì)將一個(gè)命題改寫成“若,則”的形式. 教學(xué)重點(diǎn):命題的改寫. 教學(xué)難點(diǎn):命題概念的理解. 教學(xué)過(guò)程: 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 閱讀下列語(yǔ)句,你能判斷它們的真假嗎? (1)若直線∥,則直線和直線無(wú)公共點(diǎn); (2)2+4=7; (3)垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行; (4)若,則; (5)兩個(gè)全等三角形的面積相等; (6)3能被2整除. 二、講授新課 1. 教學(xué)命題的概念: ①命題:可以判斷真假的陳述句叫做命題(proposition). 也就是說(shuō),判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題關(guān)鍵是
2、看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個(gè)條件. 上述6個(gè)語(yǔ)句中,(1)(2)(4)(5)(6)是命題. ②真命題:判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題(true proposition); 假命題:判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題(false proposition). 上述5個(gè)命題中,(2)是假命題,其它4個(gè)都是真命題. ③例1:判斷下列語(yǔ)句中哪些是命題?是真命題還是假命題? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整數(shù)是素?cái)?shù),則是奇數(shù); (3)2小于或等于2; (4)對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎? (5); (6)平面內(nèi)不相交的兩條直線一定平行; (7)明天下雨. (學(xué)生自練個(gè)別回答教
3、師點(diǎn)評(píng)) ④探究:學(xué)生自我舉出一些命題,并判斷它們的真假. 2. 將一個(gè)命題改寫成“若,則”的形式: ①例1中的(2)就是一個(gè)“若,則”的命題形式,我們把其中的叫做命題的條件,叫做命題的結(jié)論. ②試將例1中的命題(6)改寫成“若,則”的形式. ③例2:將下列命題改寫成“若,則”的形式. (1)兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn); (2)對(duì)頂角相等; (3)全等的兩個(gè)三角形面積也相等. (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) 三、小結(jié):命題概念的理解,會(huì)判斷一個(gè)命題的真假,并會(huì)將命題改寫“若,則”的形式. 四、鞏固練習(xí):教材 P4 1、2、3 五、作業(yè):教材P8 第1題。
4、 1.1.2 命題及其關(guān)系(二) (第2課時(shí)) 教學(xué)要求:進(jìn)一步理解命題的概念,了解命題的逆命題、否命題與逆否命題,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系. 教學(xué)重點(diǎn):四種命題的概念及相互關(guān)系. 教學(xué)難點(diǎn):四種命題的相互關(guān)系. 教學(xué)過(guò)程: 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備: 指出下列命題中的條件與結(jié)論,并判斷真假: (1)矩形的對(duì)角線互相垂直且平分;(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 二、講授新課 1. 教學(xué)四種命題的概念: 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 若,則 若,則 若,則 若,則 ①寫出命題“菱形的對(duì)角線互相垂直”的逆命題、否命題及逆否命題,并判斷它們的真假.
5、(師生共析學(xué)生說(shuō)出答案教師點(diǎn)評(píng)) ②例1:寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假: (1)同位角相等,兩直線平行; (2)正弦函數(shù)是周期函數(shù); (3)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) 2. 教學(xué)四種命題的相互關(guān)系: ①討論:例1中命題(2)與它的逆命題、否命題、逆否命題間的關(guān)系. ②四種命題的相互關(guān)系圖: ③討論:例1中三個(gè)命題的真假與它們的逆命題、否命題、逆否命題的真假間關(guān)系. ④結(jié)論一:原命題與它的逆否命題同真假; 結(jié)論二:兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)
6、系. ⑤例2 若,則.(利用結(jié)論一來(lái)證明)(教師引導(dǎo)學(xué)生板書教師點(diǎn)評(píng)) 三、小結(jié):四種命題的概念及相互關(guān)系. 四、鞏固練習(xí) 寫出下列命題的逆命題、否命題及逆否命題,并判斷它們的真假. (1)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)若,則;(3)若,則全為0; (4)全等三角形一定是相似三角形;(5)相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn). 五、作業(yè):教材P8頁(yè) 第2題、第3題。 1.2.1充分條件與必要條件(一) (第3課時(shí)) 教學(xué)要求:正確理解充分條件、必要條件及充要條件的概念. 教學(xué)重點(diǎn):理解充分條件和必要條件的概念. 教學(xué)難點(diǎn):理解必要條件的概念. 教學(xué)過(guò)程: 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 寫出下列命題
7、的逆命題、否命題及逆否命題,并判斷它們的真假: (1)若,則; (2)若,則。 二、講授新課 1. 認(rèn)識(shí)“”與“”: ①在上面兩個(gè)命題中,命題(1)為真命題,命題(2)為假命題. 也就是說(shuō),命題(1)中“”,經(jīng)過(guò)推理可以得出“”,也就是說(shuō),“若”成立,那么“”一定成立,即;而命題(2)中由“”不能得到“”,即 ②練習(xí):教材P10 第1題. 2. 教學(xué)充分條件和必要條件: ①若,則是的充分條件(sufficient condition),是的必要條件(necessary condition). 上述命題(1)中“”是“”的充分條件,而“”則是“”的必要條件. ②例1:下列“
8、若,則”形式的命題中,哪些命題中的是的充分條件?(略) (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) ③練習(xí):P10頁(yè) 第2題。 ④例2:下列“若,則”形式的命題中,哪些命題中的是的必要條件? (1))若,則; (2)若兩個(gè)三角形的面積相等,則這兩個(gè)三角形全等; (3)若,則。 (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) ⑤練習(xí):P10頁(yè) 第3題。 ⑥例3:判斷下列命題的真假 (1)“是6的倍數(shù)”是“是2的倍數(shù)”的充分條件;(2)“”是“”的必要條件。 (學(xué)生自練個(gè)別回答學(xué)生點(diǎn)評(píng)) 三、小結(jié):充分條件與必要條件的理解。 四、鞏固練習(xí):P10頁(yè) 第4題。 五、作業(yè):教材P12頁(yè) 第1、2題。
9、1.2.2充要條件 (第4課時(shí)) 教學(xué)要求:進(jìn)一步理解充分條件、必要條件的概念,同時(shí)學(xué)習(xí)充要條件的概念. 教學(xué)重點(diǎn):充要條件概念的理解. 教學(xué)難點(diǎn):理解必要條件的概念. 教學(xué)過(guò)程: 一、情境設(shè)置 已知:整數(shù)是6的倍數(shù),:整數(shù)是2和3的倍數(shù)。那么是的什么條件,是的什么條件? 答:,所以是的充分條件,是的必要條件。另一方面,,所以的必要條件,是的充分條件。 二、講授新課 1. 教學(xué)充要條件 ①一般地,如果既有,又有,就記作. 此時(shí),我們說(shuō),是的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件(sufficient and necessary condition). ②上述命題滿足,也就是說(shuō)是的
10、充要條件,當(dāng)然,也可以說(shuō)是的充要條件. 2. 教學(xué)典型例題: ①例1:下列命題中,哪些是的充要條件? (1)四邊形的對(duì)角線相等,四邊形是平行四邊形; (2),函數(shù)是偶函數(shù); (3),; (4),。 (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) ②練習(xí)教材P12 練習(xí)第1、2題。 ③探究:請(qǐng)同學(xué)們自己舉出一些是的充要條件的命題來(lái)。 ④例2:已知:的半徑為,圓心O到直線的距離為。 求證:是直線與相切的充要條件。 (教師引導(dǎo)學(xué)生板書教師點(diǎn)評(píng)) 三、鞏固練習(xí) 1. 從“”、“”與“”中選出適當(dāng)?shù)姆?hào)填空: (1) ??;?。?) ; (3) ;?。?) . 2. 判斷下列命題的真假
11、: (1)“”是“”的充分條件;(2)“”是“”的必要條件; (3)“”是“”的充要條件;(4)“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充分不必要條件; (5)“”是“”的充分條件。 四、小結(jié):充要條件概念的理解。 五、 作業(yè):教材P12頁(yè) 習(xí)題第3、4題。 1.3.1簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(一) (第5課時(shí)) 教學(xué)要求:通過(guò)教學(xué)實(shí)例,了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”的含義,使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 教學(xué)重點(diǎn):正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”的含義,并能正確表述這“”、“”、這些新命題. 教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述新命題“”、“”. 教學(xué)過(guò)程: 一、創(chuàng)設(shè)情境 思考:下列三個(gè)命題間有
12、什么關(guān)系? (1)12能被3整除;(2)12能被4整除;(3)12能被3整除且能被4整除. 發(fā)現(xiàn):命題(3)是由命題(1)(2)使用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題. 二、講授新課 1. 教學(xué)命題: ①一般地,用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來(lái),就得到一個(gè)新命題,記作,讀作“且”. ②規(guī)定:當(dāng),都是真命題時(shí),是真命題;當(dāng),中有一個(gè)命題是假命題時(shí),是假命題. ③例1:將下列命題用“且”聯(lián)結(jié)成新命題,并判斷它們的真假: (1)平行四邊形的對(duì)角線互相平方,:平行四邊形的對(duì)角線相等; (2):菱形的對(duì)角線互相垂直,:菱形的對(duì)角線互相平分; (3):35是15的倍數(shù),:35是7的倍數(shù)。
13、 (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) ④例2:用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”改寫下列命題,并判斷它們的真假: (1)1既是奇數(shù),又是素?cái)?shù);(2)2和3都是素?cái)?shù). (學(xué)生自練個(gè)別回答學(xué)生點(diǎn)評(píng)) 2. 教學(xué)命題: ①思考:下列三個(gè)命題間有什么關(guān)系? (1)27是7的倍數(shù);(2)27是9的倍數(shù);(3)27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù)。 發(fā)現(xiàn):命題(3)是由命題(1)(2)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題。 ②一般地,用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來(lái),就得到一個(gè)新命題,記作,讀作“或”. 規(guī)定:當(dāng),兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí),是真命題;當(dāng),兩個(gè)命題都是假命題時(shí),是假命題. 例如:“”、“27是7或9的
14、倍數(shù)”等命題都是的命題. ③例3:判斷下列命題的真假: (1)或;(2)方程的判別式大于或等于0; (3)10或15是5的倍數(shù);(4)集合是的子集或是的子集; (5)周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等. (學(xué)生自練個(gè)別回答教師點(diǎn)評(píng)) 三、小結(jié):“”、“”命題的概念及真假 四、鞏固練習(xí): 教材P17練習(xí)第1、2題 。 五、作業(yè):教材P18頁(yè) 習(xí)題第1、2題. 1.3.2簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(二) (第6課時(shí)) 教學(xué)要求:通過(guò)教學(xué)實(shí)例,了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”的含義,使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 教學(xué)重點(diǎn):正確理解聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”
15、的含義,并能正確表述“”、“”、“”這些新命題. 教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述新命題“”、“”、“”. 教學(xué)過(guò)程: 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 1. 分別用“”、“”填空: (1)命題“6是自然數(shù)且是偶數(shù)”是 的形式;(2)命題“3大于或等于2”是 的形式; (3)命題“正數(shù)或0的平方根是實(shí)數(shù)”是 的形式. 2. 下列兩個(gè)命題間有什么關(guān)系? (1)7是35的約數(shù);(2)7不是35的約數(shù). 二、講授新課 教學(xué)命題 1、思考:下列兩個(gè)命題間有什么關(guān)系? (1)35能被5整除;(2)35不能被5整除。 發(fā)現(xiàn):命題(2)是命題(1)的否定。 師:一般地,對(duì)一個(gè)命題
16、全盤否定,就得到一個(gè)新命題,記作,讀作“非”或“的否定. 2、師:命題的真假如何確定?
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24、 規(guī)定:若是真命題,則必是假命題;若是假命題,則必是真命題. 師:命題的否定與否命題有什么區(qū)別? 師生共同歸納:命題的否定是只否定命題的結(jié)論;而否命題是既要否定結(jié)論同時(shí)還
25、要否定條件。 3、例1:寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假: (1):是周期函數(shù);(2):;(3):空集是集合的子集; (4):若,則全為0;(5):若都是偶數(shù),則是偶數(shù)。 (學(xué)生自練個(gè)別回答學(xué)生點(diǎn)評(píng)) 4、練習(xí)教材P17頁(yè) 練習(xí)第3題。 5、例2:分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“”、“”、“”形式的復(fù)合命題的真假: (1):9是質(zhì)數(shù),:8是12的約數(shù);(2):,:; (3):,:;(4):平行線不相交. 三、 小結(jié):邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解及“”、“”、“”這些新命題的正確表述和應(yīng)用. 四、鞏固練習(xí) 1. 練習(xí):判斷下列命題的真假 (1);(2);(3). 2. 分別指出由
26、下列命題構(gòu)成的“”、“”、“”形式的新命題的真假 (1):是無(wú)理數(shù),:是實(shí)數(shù);(2):,:; (3):李強(qiáng)是短跑運(yùn)動(dòng)員,:李強(qiáng)是籃球運(yùn)動(dòng)員. 五、 作業(yè):教材P18頁(yè) 習(xí)題第3題。 1.4.1-1.4.2全稱量詞與存在量詞(一) (第7課時(shí)) 教學(xué)目的:了解生活和數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩類量詞的含義,并會(huì)判斷此類命題的真假。 教學(xué)重點(diǎn):判斷全稱命題和特稱命題的真假。 教學(xué)難點(diǎn):會(huì)判斷全稱命題和特稱命題的真假。 教學(xué)過(guò)程: 一、 設(shè)置情境 思考:下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系? (1)x>3;(2) 2x+1是整數(shù);(3)對(duì)所有的x∈R, x>3
27、;(4)對(duì)任意一個(gè)x∈Z,2x+1是整數(shù)。 推理、判斷(讓學(xué)生自己表述):(1)、(2)不能判斷真假,不是命題。 語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“對(duì)所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定;語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定,從而 使(3)(4)成為可以判斷真假的語(yǔ)句,因此(3)(4)是命題。 (學(xué)生回答——教師點(diǎn)評(píng)——引入新課) 二、探索研究 (一)教學(xué)全稱量詞 1、發(fā)現(xiàn)、歸納: 命題(3)、(4)用到 “所有的”“任意一個(gè)” 這樣的詞語(yǔ),這些詞語(yǔ)一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部,這樣的詞叫做全稱量詞,用符號(hào)“"”表示,含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題。
28、 例如:對(duì)任意的是奇數(shù);所有的正方形都是矩形。都是全稱命題。 通常將含有變量x的語(yǔ)句用p(x),q(x),r(x),……表示,變量x的取值范圍用M表示。那么全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:" M, p(x),讀做“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”。 2、例題分析 例1:判斷下列全稱命題的真假 (1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2);(3)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù),也是無(wú)理數(shù). 教師:引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)。 學(xué)生:關(guān)鍵是要通過(guò)(1)(2)(3)的探究、交流和討論使學(xué)生自己能夠總結(jié):要判斷全稱命題“”是真命題,需要對(duì)集合中的每一個(gè)元素,證明成立;如果在集合中找到一個(gè)元素
29、,使得不成立,則這個(gè)命題就是假名題. 解:略。 (二)教學(xué)存在量詞 1、思考:下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系? (1); (2)能被2和3整除; (3)存在一個(gè)使; (4)至少有一個(gè)能被2和3整除。 2、推理、判斷(讓學(xué)生自己表述):(1)、(2)不能判斷真假,不是命題。 語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定;語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“至少有一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定,從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語(yǔ)句,因此(3)(4)是命題。 命題(3)(4)用到了“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”這樣的詞語(yǔ),這些詞語(yǔ)
30、都是表示整體的一部分的詞叫做存在量詞。并用符號(hào)“”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題. 例如:有的平行四邊形是菱形;有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)。都是特稱命題。 特稱命題:“存在M中一個(gè),使成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為:。讀做:“存在一個(gè)屬于M,使成立”。 全稱量詞相當(dāng)于日常語(yǔ)言中“凡是”、“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“每一個(gè)”、“任意一個(gè)”等;存在量詞相當(dāng)于日常語(yǔ)言中“存在一個(gè)”、“有一個(gè)”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“ 至多有一個(gè)”等. 3、例題分析 例2、判斷下列特稱命題的真假: (1)有一個(gè)實(shí)數(shù),使;(2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一平面; (3)有些整數(shù)只
31、有兩個(gè)正因數(shù). 教師:引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)。 學(xué)生:通過(guò)(1)(2)(3)的探究、交流和討論使學(xué)生自己能夠總結(jié):要判斷特稱命題“”是真命題,只需在集合中的找一個(gè)元素,使成立即可;如果在集合中找不到任何一個(gè)元素,使成立,則這個(gè)命題就是假命題。(解:略。) 三、鞏固練習(xí):P23 練習(xí) 1、2題。 四、總結(jié):1、全稱量詞和存在量詞的概念;2、如何判斷全稱命題和特稱命題的真假? 五、作業(yè):P26習(xí)題1.4A組1、2題。 1.4.3 含有一個(gè)量詞命題的否定 (第8課時(shí)) 教學(xué)目標(biāo):利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對(duì)量詞命題的否定,使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用。 教學(xué)重點(diǎn):
32、全稱量詞與存在量詞間的轉(zhuǎn)化。 教學(xué)難點(diǎn):隱蔽性否定命題的確定。 教學(xué)過(guò)程: 一、 創(chuàng)設(shè)情境 數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、 “任何”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ),在邏輯中分別稱為全稱量詞和存在量詞(用符號(hào)分別記為“”與“”來(lái)表示);由這些量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題和特稱命題。在全稱命題與特稱命題的邏輯關(guān)系中,,都容易判斷,但它們的否定形式是我們困惑與癥結(jié)所在。這節(jié)課,我們就來(lái)討論它們的否定形式。 二、探索研究 1、問(wèn)題1:我們?cè)谏弦还?jié)中學(xué)習(xí)過(guò)邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”。對(duì)給定的命題,如何得到命題的否定(或非),它們的真
33、假性之間有何聯(lián)系?(讓生回顧邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義和用法。) 生:回顧,并敘述自己的看法。 問(wèn)題2:你能寫出含有一個(gè)量詞的命題的否定嗎? 師:引導(dǎo)學(xué)生分析具體的數(shù)學(xué)實(shí)例,從具體到一般,通過(guò)觀察、分析,抽象概括出一般規(guī)律。 生:學(xué)生思考,分組交流、討論老師提出的問(wèn)題。 師:引導(dǎo)學(xué)生分析下面探究問(wèn)題: 指出下列命題的否定: (1)所有的矩形都是平行四邊形;(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù);(3)。 分析:上面三個(gè)命題都是全稱命題,即具有形式“”其中命題(1)的否定是“并非所有的矩形平行四邊形”,也就是說(shuō),存在一個(gè)矩形不是平行四邊形;命題(2)的否定:存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù);命題(3)的否定:
34、 問(wèn):這些命題和它們的否定在形式上有什么變化? 答:從命題形式看,這三個(gè)全稱命題的否定都變成了特稱命題。 結(jié)論:全稱命題,它的否定 全稱命題的否定的特稱命題。 2、例題分析 例1:寫出下列全稱命題的否定: (1):所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù);(2):每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓; (3):對(duì)任意的個(gè)位數(shù)字不等于3. 解:(1):存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù);(2):存在一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓; (3): 的個(gè)位數(shù)字等于3. 3、探究:寫出下列命題的否定 (1)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);(2)某些平行四邊形是菱形;(3) 分析:上面三個(gè)命題都是全稱命題,即具有形式
35、“”其中命題(1)的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù)”也就是說(shuō),所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù);命題(2)的否定:每一個(gè)平行四邊形都不是菱形;命題(3)的否定:。 問(wèn):這些命題和它們的否定在形式上有什么變化? 答:從命題形式看,這三個(gè)特稱命題的否定都變成了全稱命題。 結(jié)論:特稱命題的否定是全稱命題。 4、分析例題 例2:略。 三、回顧反思 在教學(xué)中,務(wù)必理清個(gè)類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系,才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定,才能避免犯邏輯性錯(cuò)誤,才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上,達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。 四、鞏固練習(xí):P26 練習(xí)。 五、作業(yè):P26
36、習(xí)題 1.4 A組 第3題。 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (第9、10課時(shí)) 教學(xué)目標(biāo): (一)知識(shí)目標(biāo):準(zhǔn)確理解橢圓的定義及焦點(diǎn)、焦距的概念,能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (二)能力目標(biāo):通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手嘗試畫橢圓、發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過(guò)程進(jìn)而歸納出橢圓的定義,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、合作學(xué)習(xí)能力及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 (三)情感目標(biāo):通過(guò)經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn),增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美。通過(guò)討論橢圓方程推導(dǎo)的等價(jià)性養(yǎng)成學(xué)生扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,同時(shí)激發(fā)學(xué)生的求知欲望和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)同學(xué)們勇于探索,敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 教學(xué)重
37、點(diǎn):橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 教學(xué)難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。 教學(xué)過(guò)程: 一、創(chuàng)設(shè)情境 問(wèn)題1:我們的太陽(yáng)系里行星的運(yùn)行軌道是什么? 問(wèn)題2:2008年9月25日21時(shí)10分,“神州七號(hào)”載人飛船順利升空,標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階,請(qǐng)問(wèn):“神州七號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是什么?(橢圓) 引出課題:橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。 二、探索研究 1、提出問(wèn)題:請(qǐng)同學(xué)們想一想,在我們的現(xiàn)實(shí)生活中,見沒(méi)見過(guò)橢圓?請(qǐng)同學(xué)回憶。 由現(xiàn)實(shí)生活中的橢圓形物件引發(fā)同學(xué)們思考,提出問(wèn)題:如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢?那就先讓我們一起做個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 2、實(shí)驗(yàn): [1]取
38、一條細(xì)繩;[2]把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2; [3]用鉛筆尖把細(xì)繩拉緊,在板上慢慢移動(dòng)觀察畫出的圖形,引出橢圓定義,橢圓的焦點(diǎn)、焦距。 學(xué)生經(jīng)過(guò)動(dòng)手操作→獨(dú)立思考→小組討論→共同交流的探究過(guò)程, 教師歸納:,并由學(xué)生回答下列問(wèn)題: ①當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么圖形?答:圖形不存在。 ②當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么圖形?答:是線段。 ③當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么圖形?答:是橢圓 再一次歸納出橢圓的定義:平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.其中F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn),F(xiàn)1、F2的距離叫做橢圓的焦距. 3、練習(xí):到兩定點(diǎn)F1(-4,0)和F
39、2(4,0)的距離和為8的點(diǎn)M的軌跡是( B ) A、橢圓 B、線段 C、圓 D、以上都不對(duì) 4、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 問(wèn)題1:觀察橢圓的形狀,你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系,怎樣選取焦距才能使橢圓的方程最簡(jiǎn)單? M y 師生共同探索出:以兩焦點(diǎn)F1、F2所在的直線為X軸,線段F1F2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)橢圓的焦距為2c,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為2a,則F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),又設(shè)M(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn), F2 F1 0 x 根據(jù)橢圓的定義得: 問(wèn)題2:怎樣化簡(jiǎn)方程: 解答:把左式的兩個(gè)根式放在方程的兩邊,使其
40、中一邊只有一個(gè)根式,再兩邊平方。 M y 問(wèn)題3:推導(dǎo)出方程以后,觀察課本圖形,你能找出表示的線段嗎? 0 F2 F1 x 解答: 令 結(jié)論:把方程 叫焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 問(wèn)題4:如果焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在Y軸上,且F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為F1(0,-C),F(xiàn)2(0,C),a、b的意義同上,那么橢圓的方程是怎樣的? 解答:,把方程中的對(duì)調(diào)。 三、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。 1、例1:已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別是(-2,0),(2,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解略。 問(wèn):已知橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo),如何求a?解答:根據(jù)橢圓的定義。 問(wèn):除了書本的解法,還有其
41、它解法嗎?解答:待定系數(shù)法。 2、例2:P34 3、思考:從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎? 4、例3:P35. 四、鞏固練習(xí):P36 練習(xí) 1、2、3、4題。 五、總結(jié):(1)我們學(xué)習(xí)了橢圓,橢圓的定義是怎樣的? (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? 六、作業(yè):課本P42 第2題。 2.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (第11、12課時(shí)) 教學(xué)目標(biāo): (1)通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,理解并掌握橢圓的幾何性質(zhì); (2)能夠根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率并能根據(jù)其性質(zhì)畫圖; (3)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,并為學(xué)習(xí)其它圓錐曲線作方法上的準(zhǔn)備. 教學(xué)重點(diǎn):橢
42、圓的幾何性質(zhì). 通過(guò)幾何性質(zhì)求橢圓方程并畫圖 教學(xué)難點(diǎn):橢圓離心率的概念的理解. 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 1、橢圓的定義,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),焦距。 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 二、探索新知 通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,在掌握新知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)能力. [在解析幾何里,是利用曲線的方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)的,我們現(xiàn)在利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究其幾何性質(zhì).] 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 1.范圍 [我們要研究橢圓在直角坐標(biāo)系中的范圍,就是研究橢圓在哪個(gè)區(qū)域里,只要討論方程中x,y的范圍就知道了.] 問(wèn)題1:方程中x、y的取值范圍是什么?
43、 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式 ≤1, ≤1 即 x2≤a2, y2≤b2 所以 |x|≤a, |y|≤b 即 -a≤x≤a, -b≤y≤b 這說(shuō)明橢圓位于直線x=a, y=b所圍成的矩形框里。 2.對(duì)稱性 復(fù)習(xí)關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系: 點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y); 點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x, y); 點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y); 問(wèn)題2:在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方
44、程中①以-y代y②以-x代x③同時(shí)以-x代x、以-y代y,你有什么發(fā)現(xiàn)? (1) 在曲線的方程里,如果以-y代y方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上時(shí),它關(guān)于x的軸對(duì)稱點(diǎn)P’(x,-y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱。 (2) 如果以-x代x方程方程不變,那么說(shuō)明曲線的對(duì)稱性怎樣呢?[曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。] (3) 如果同時(shí)以-x代x、以-y代y,方程不變,這時(shí)曲線又關(guān)于什么對(duì)稱呢?[曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。] 歸納提問(wèn):從上面三種情況看出,橢圓具有怎樣的對(duì)稱性? 橢圓關(guān)于x軸,y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的。 這時(shí),橢圓的對(duì)稱軸是什么?[坐標(biāo)軸] 橢圓的對(duì)稱中心是什么?[原點(diǎn)] 橢圓的
45、對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。 3.頂點(diǎn) [研究曲線的上的某些特殊點(diǎn)的位置,可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常常需要求出曲線與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).] 問(wèn)題3:怎樣求曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)? 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里, 令x=0,得y=b。這說(shuō)明了B1(0,-b),B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 令y=0,得x=a。這說(shuō)明了A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 因?yàn)閤軸,y軸是橢圓的對(duì)稱軸,所以橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn),這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。 線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。 它們的長(zhǎng)|A1A2|=2a,|B1B2|=
46、2b (a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng))
觀察圖形,由橢圓的對(duì)稱性可知,橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等,且等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng),即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a
在Rt△OB2F2中,由勾股定理有
|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2 ,即c2=a2-b2
這就是在前面一節(jié)里,我們令a2-c2=b2的幾何意義。
4.離心率
定義:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e=,叫做橢圓的離心率。 因?yàn)閍>c>0,所以0 47、心率變化(分越接近1和越接近0兩種情況討論)對(duì)橢圓形狀的影響]
得出結(jié)論:(1)e越接近1時(shí),則c越接近a,從而b越小,因此橢圓越扁;
(2)e越接近0時(shí),則c越接近0,從而b越接近于a,這時(shí)橢圓就越接近于圓。
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合于橢圓的中心,圖形變成圓。
當(dāng)e=1時(shí),圖形變成了一條線段。[為什么?留給學(xué)生課后思考]
三、例題講解
1、例1:求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出它的圖形.
[根據(jù)剛剛學(xué)過(guò)的橢圓的幾何性質(zhì)知,橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b,該方程中的a=?b=?c=?因?yàn)轭}目給出的橢圓方程不 48、是標(biāo)準(zhǔn)方程,所以必須先把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再討論它的幾何性質(zhì)]
解:把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程, 這里a=5,b=4,所以c==3
因此,橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別是2a=10,2b=8
離心率e==
兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-3,0),F2(3,0), 四個(gè)頂點(diǎn)分別是A1(-5,0) A1(5,0) A1(0,-4) F1(0,4).
[提問(wèn):怎樣用描點(diǎn)法畫出橢圓的圖形呢?我們可以根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,先畫出第一象限內(nèi)的圖形。]
將已知方程變形為 ,根據(jù)
在0≤x≤5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)
x
0
1
2
3
4
5
y
4
3.9
3.7
49、3.2
2.4
0
先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分,再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓(如圖)
說(shuō)明:本題在畫圖時(shí),利用了橢圓的對(duì)稱性。利用圖形的幾何性質(zhì),可以簡(jiǎn)化畫圖過(guò)程,保證圖形的準(zhǔn)確性。
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),用下面的方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖:
(1) 以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫矩形;
(2) 由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn);
(3) 用平滑的曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓。
[畫圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性]
2、練習(xí)
(1)填空:已知橢圓的方程是9x2+25y2=225,
①將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程是_________________.②a= 50、___,b=___,c=___.
③橢圓位于直線________和________所圍成的________區(qū)域里.橢圓的長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別是____和____,
離心率e=_____,兩個(gè)焦點(diǎn)分別是_______、______,四個(gè)頂點(diǎn)分別是______、______、______、_______.
(2)求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
①經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0)、(0,-2); ②長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于20,離心率等于0.6
3、例2、如圖,一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面) 的一部分。過(guò)對(duì)稱軸的截口ABC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上 51、,片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2。已知AC^F1F2,|F1A|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在橢圓的方程。
4、例3: 點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),求點(diǎn)的軌跡.
(教師分析——示范書寫)
三、課堂練習(xí):課本P41 練習(xí)。
焦點(diǎn)在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比.
四、小結(jié)
(1)理解橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),給出方程會(huì)求橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)和離心率;
(2)了解離心率變化對(duì)橢圓形狀的影響;
(3)通過(guò)曲線的方程研究曲線的 52、幾何性質(zhì)并畫圖是解析幾何的基本方法.
五、布置作業(yè): 課本習(xí)題2.1 的6、7、8題.
2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
(第13課時(shí))
教學(xué)目的:1能根據(jù)條件利用工具會(huì)畫雙曲線;2 常握雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程;3 利用定義會(huì)求雙曲線的方程;
4 利用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式會(huì)求雙曲線的方程;5 提高運(yùn)算能力。
重 點(diǎn):雙曲線的定義和及其標(biāo)準(zhǔn)方程
難 點(diǎn):標(biāo)準(zhǔn)方程中a與b的判斷和換元法
教學(xué)過(guò)程:
一、回顧與引入主題
橢圓定義是與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)(大于)的點(diǎn)軌跡是橢圓,那么與兩定點(diǎn)距離的差非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢?
二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
工具: 圖釘,筆,拉鏈. 53、
方法: 將拉鏈拉開一部分,在拉開的兩邊上各選取一點(diǎn),分別固定在,上,到的長(zhǎng)為2a(a>0).把筆尖放在處,,隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏,筆尖就畫出一條曲線(先用模型演示,后用電腦演示)。
問(wèn):這條曲線是滿足什么條件的點(diǎn)的集合。
答:
如果使點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離減去到點(diǎn)F的距離所得差等于2a,就得到另一條曲線(電腦演示),這條曲線是滿足下例條件的點(diǎn)的集合,即 。
名詞:這兩條曲線合起來(lái)叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支。(此時(shí)板書課題)
上述演示中有幾個(gè)關(guān)鍵的地方:
1、= 常數(shù)(=2a>0); 2、=常數(shù)(=2a>0); 3、a 54、此時(shí)M的軌跡是雙曲線
問(wèn):若a=c 或a>c時(shí),則M的軌跡又是什么?請(qǐng)思考(先電腦演示后回答,再看結(jié)果)
三、雙曲線定義
為了給出雙曲線定義,請(qǐng)?jiān)偎伎迹?
1、與哪個(gè)大? 、 2、點(diǎn)M與F、F點(diǎn)的距離之差應(yīng)怎么表示?
3、點(diǎn)M與F、F點(diǎn)的距離之差與的大小關(guān)系怎樣?
回答后,板書。
通過(guò)上述討論得到雙曲線定義:(板書)
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。
四、求標(biāo)準(zhǔn)方程
以過(guò)兩定點(diǎn)的直線為X軸,以線段的平分線為Y軸,建立直角坐標(biāo)系,
設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x,y) 55、,=2c,并設(shè)
根據(jù),得:
(板書此處化簡(jiǎn)的過(guò)程)
化簡(jiǎn)方程,得:
由雙曲線定義可知,2c>2a,即c>a,所以>0。令,其中b>0,
代入上式,得
()(板書)
這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它的特點(diǎn)是焦點(diǎn)在X軸上,焦點(diǎn)是, ,這里。
想一想:焦點(diǎn)在Y軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程又怎樣嗎?
歸納:(方程與圖形都發(fā)生變化)(師生共同完成)
焦點(diǎn)是、,a、b的意義同上,那么只要將原方程的x、y互換,就可以得到它的方程
()(板書)
這個(gè)也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
小結(jié):(師生共同完成)
練習(xí):
1.已知:,求:a=_ ,b=_ ,c=_ .2.已知:, 56、求:a=_ ,b=_ ,c=_ .
五、例題
1、例1 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線上一點(diǎn)P到的距離的差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解:因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在X軸上,所以設(shè)它的方程為
(a>0,b>0)
2a=6,2c=10, a=3 , c=5, b=4
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
注:此題用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的特征來(lái)解的,也可以利用軌跡思想和兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解,但較繁。
練習(xí):(電腦展示)
2、例2.(課本第47頁(yè))
六、鞏固練習(xí):課本48頁(yè)練習(xí)。
七、 總結(jié):
本節(jié)課主要掌握
概 念:雙曲線定義 57、,焦點(diǎn),焦距,長(zhǎng)軸,短軸。 公 式:標(biāo)準(zhǔn)方程(兩種形式)。
幾何含義:a、b、c.
2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)
(第14課時(shí))
教學(xué)目標(biāo):
1、掌握雙曲線的幾何性質(zhì)
2、能通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定雙曲線的頂點(diǎn)、實(shí)虛半軸、焦點(diǎn)、離心率、漸近線方程.
教學(xué)重點(diǎn):雙曲線的幾何性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn):雙曲線的漸近線
教學(xué)過(guò)程
一、設(shè)置情景:
師:上一節(jié),我們學(xué)習(xí)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,這一節(jié),我們要根據(jù)它來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì).同學(xué)們可以按照研究橢圓幾何性質(zhì)的方法和步驟,自己推出雙曲線的幾何性質(zhì),然后與課文對(duì)照。所以,我們先來(lái)回顧一下研究橢圓的幾何 58、性質(zhì)的方法與步驟.(略)
二、講授新課:
思考:類比橢圓幾何性質(zhì)的研究,你認(rèn)為應(yīng)研究雙曲線
如何研究這些性質(zhì)?
1、范圍:
雙曲線在不等式x≥a與x≤-a所表示的區(qū)域內(nèi).
2、對(duì)稱性:
雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱,這時(shí),坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸,
原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心,雙曲線的對(duì)稱中心叫雙曲線的中心。
3、頂點(diǎn):
雙曲線和它的對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0),它們叫做雙曲線的頂 點(diǎn)。
線段A1A2叫雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng);
線段B1B2叫雙曲線的虛軸, 59、它的長(zhǎng)等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。
4.漸近線
①?gòu)挠覉D可以看出,雙曲線的各支向外延伸時(shí),與直線y=逐漸接近。
我們把兩條直線y=叫做雙曲線的漸近線。
②等軸雙曲線:實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。
③利用雙曲線的漸近線,可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖.具體做法是:畫出雙曲線的漸近線,先確定雙曲線頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置,然后過(guò)這兩點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分,最后利用雙曲線的對(duì)稱性畫出完整的雙曲線。
5.離心率:
雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=,叫雙曲線的離心率。
說(shuō)明:①由c>a>0可得e>1;
② 60、雙曲線的離心率越大,它的開口越闊.
師:為使大家進(jìn)一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì),我們來(lái)看下面的例題。
例1、求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。
解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.
.
由此可知,實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3.
.
焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-5),(0,5).
離心率.
漸近線方程為 .
說(shuō)明:此題要求學(xué)生認(rèn)識(shí)到第二種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的雙曲線性質(zhì)與課本性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).可讓學(xué)生比較得出(作為練習(xí)).
三、課堂練習(xí):
1、寫出第二種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的雙曲線性質(zhì)。
2、課本P53練習(xí)1。
四、課堂總結(jié)
師:通 61、過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì),尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)。
五、作業(yè):習(xí)題2.2 第3題。
2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(二)
(第15課時(shí))
教學(xué)目標(biāo):
1、掌握雙曲線的準(zhǔn)線方程. 2、能應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線方程;
3、應(yīng)用雙曲線知識(shí)解決生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題.
教學(xué)重點(diǎn):雙曲線的準(zhǔn)線與幾何性質(zhì)的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):雙曲線離心率、準(zhǔn)線方程與雙曲線關(guān)系.
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)回顧:
師:上一節(jié),我們利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了雙曲線的幾何性質(zhì),下面我們作一簡(jiǎn)要的回顧(略),這一節(jié)我們將繼續(xù)研究雙曲線的幾何 62、性質(zhì)及其應(yīng)用.
二、講授新課:
例1、雙曲線型冷卻塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高為55 m.。試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線的方程(精確到1m).
解:如圖8—17,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A圓的直徑AA′在x軸上,圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸,且=132 (m),=252 (m).
設(shè)雙曲線的方程為
(a>0,b>0)
令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25,y-55).因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上,所以
解方程組
由方程(2)得 (負(fù)值 63、舍去).
代入方程(1)得
化簡(jiǎn)得 19b2+275b-18150=0 (3)
解方程(3)得 b≈25 (m).
所以所求雙曲線方程為:
說(shuō)明:這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目.解這類題目時(shí),首先要解決以下兩個(gè)問(wèn)題;(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)將實(shí)際問(wèn)題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。
例2、 點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,o)的距離和它到定直線l:x=的距離的比是常數(shù)求點(diǎn)M的軌跡。
解:設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離.根據(jù)題意,所求軌跡是集合
p=,
由此得
.
化簡(jiǎn)得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
設(shè)c2-a2=b2,就可化為:
64、
這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,所以點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)分別為2a、2b的雙曲線.(如圖)
說(shuō)明:此例題要求學(xué)生進(jìn)一步熟悉并熟練掌握求解曲線軌跡方程的一般步驟.
6、雙曲線的準(zhǔn)線:
由例2可知,當(dāng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=(e>1)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。
準(zhǔn)線方程:x=其中x=相應(yīng)于雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0);x=-相應(yīng)于左焦點(diǎn)F′(-c,0).
師:下面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)進(jìn)一步熟悉雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用.
三、課堂練習(xí):課本P53 2、3、4.(要求學(xué)生注意離心率、準(zhǔn)線方程與雙曲線的關(guān)系的 65、應(yīng)用.)
四、課堂小結(jié)
師:通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家熟練掌握雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用,并注意利用離心率、準(zhǔn)線方程與雙曲線的關(guān)系確定雙曲線方程的方法,并了解雙曲線在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題.
五、作業(yè): 習(xí)題2.2 4、6.
2.3.1拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程
(第16課時(shí))
知識(shí)與技能目標(biāo):
1、使學(xué)生掌握拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程.
2、要求學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法,提高分析、對(duì)比、概括、轉(zhuǎn)化等方面的能力.
情感,態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):
1、培養(yǎng)學(xué)生用對(duì)稱的美學(xué)思維來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美。
2、培養(yǎng)學(xué)生觀察,實(shí)驗(yàn),探究與交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)能力。
能力目標(biāo):
1、重 66、視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng);
2、啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題,善于獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題;
3、通過(guò)教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。
教學(xué)過(guò)程:
一、設(shè)置情景
1、回憶平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡,當(dāng)0<e<1時(shí)是橢圓,當(dāng)e>1時(shí)是雙曲線,那么當(dāng)e=1時(shí),它又是什么曲線?
2、運(yùn)用信息技術(shù)
用《幾何畫板》畫圖,如圖2.3-1,點(diǎn)F是定點(diǎn),l是不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的定直線。H是l上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M。拖動(dòng)點(diǎn)H,觀察點(diǎn)M的軌跡。你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎? 可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有|MF|=|MH|,即點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等。請(qǐng)同學(xué)們來(lái)歸納拋物線的定義,教師總結(jié)。
二、新課講授過(guò)程
1、由上面的探究過(guò)程得出拋物線的定義
(板書)平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上).定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。
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