高三復習 板塊模型 牛二律(育紅中學許邱)

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1、育紅中學 許宏偉 邱宏 板塊問題 說明： “板塊”問題就是通常遇到的疊放問題，由于其往往可看成由物塊和木板構成的一對相互作用模型，故將其形象稱為“板塊”問題。其應用的知識面較為廣泛，與運動學、受力分析、動力學、功與能等有著密切聯(lián)系，而且往往牽涉著臨界極值問題問題，的確是教學的一大難點。板塊問題能夠較好的考查學生對知識的掌握程度和學生對問題的分析綜合能力，是增強試卷區(qū)分度的有力題目。因此，板塊問題不論在平時的大小?？贾?，還是在高考試卷中都占據(jù)著非常重要的地位。學生在學習這類問題問題時通常對相對運動情況、臨界情形和功能關系等不能很好理清。 板、塊的相對運動 例題1如圖所示，一速

2、率為v0=10m/s的物塊沖上一置于光滑水平面上且足夠長的木板上。物塊質量為m=4kg，木板質量M=6kg，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)，試問：物塊將停在木板上何處？ 【啟導】物塊沖上木板后相對木板向右運動，會在木板摩擦力作用下勻減速運動，木板會在摩擦力作用下勻加速運動，兩者共速后，一起勻速運動。求物塊停在木板上何處，實際是在求物塊與木板的相對位移大小。 【解析】 方法一（基本公式法） 由牛頓第二定律可知 對物塊 對木板 解得 ， 設兩者共速時所用時間為t，則 解得 這段時間物塊與車的位移大小分別為 兩車的位移之差

3、 故物塊能停距木板左端5m處 方法二（圖像法） v0 0 t v/ms-1 t/s 作出物塊與木板的運動圖像如圖所示。由牛頓第二定律可求得物塊與木板的加速度 兩者t時刻速度相等，則 解得 分析可知，圖中陰影面積為板、塊的相對位移，由幾何關系知 故物塊能停距木板左端5m處 解法三（相對運動法） 以地面為參考系，由牛頓第二定律可知 對物塊 對木板 解得 ， 以木板為參考系，物塊的初速度為，加速度為，則 兩者相對位移為 故物塊能停在距木板左端5m處 【答案】物塊能停在距木板左端5m處 【品味】本題是板塊問題得基

4、本問題。求解本題一定要弄清摩擦力起的作用，物體的運動情況和理解相對位移。本題用不同方法進行了求解意在加強學員從不同角度分析處理問題的意識與能力，要注意對比不同方法的解題出發(fā)點，有意識培養(yǎng)自己的思維靈活性、方法的多樣性。 木板受牽引的板塊問題 例題2如圖所示，長、質量的木板靜止放在水平面上，質量的小物塊（可視為質點）放在木板的右端，木板和小木塊間的動摩擦因數(shù)，木板與地面間的動摩擦因數(shù)?，F(xiàn)對木板施加一水平向右的拉力，取，求： （1）使小物塊不掉下木板的最大拉力（小物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。 （2）如果拉力恒定不變，小物塊所能獲得的最大動能是多少。 【引導】當木板所受水平外力

5、F小于某一值時，木板會在水平外力作用下加速運動，物塊相對于木板就有了相對運動趨勢，就會受到木板的靜摩擦力作用，并且在其作用下也做與木板加速相同的加速運動。由于物塊的加速度由靜摩擦力提供，所以物塊與木板相同加速度的加速運動的加速度是有上限的，就是物塊和木板摩擦力為最大靜摩擦時、對物塊所產生的加速度，而這也是木板與物塊能保持相對靜止一塊加速的臨界加速度。求出這個臨界加速度，就可以求出物塊不掉下去的最大拉力，因為只要板、塊發(fā)生了相對滑動，其就必然能夠掉下去。如果物塊在木板上滑動了，那么其從木板后端將要掉下去時的動能最大，因為此前其一直在滑動摩擦力作用下加速。 【解析】（1）設物塊與木板能保持相對靜

6、止的臨界加速度為，則 對物塊 對整體 所以 （2）當拉力時，物塊相對于木板滑動，則 對木板 設物塊在木板上滑行時間為，則 解得 物塊的最大速度 所以 【答案】（1）12N （2）0.5J 【品味】在本題第一問的求解中，對臨界加速度的分析和求解是關鍵，而在第二問的求解中用相對位移求時間則是關鍵。不難發(fā)現(xiàn)，就是這樣一個看起來并不很長的題目竟然包含著臨界問題和相對運動問題，難怪乎不少學員都嘆息板塊問題太難！“困難像彈簧，你弱它就強

7、！”有些人寧愿被困難征服，有些人喜歡征服困難，你想做哪一種呢？其實，當你全心投入的時候，你會發(fā)現(xiàn)別樣的精彩！不妨來試試。 例題3 www靜止在光滑水平面上的平板車B的質量為m＝0.5kg、長L＝1m。某時刻A以v0＝4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，物體A的質量M＝1kg，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的拉力。忽略物體A的大小，已知A與B之間的動摩擦因數(shù)=0.2，取重力加速度g=10m/s2。試求： （1）若F=5N，物體A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離； （2）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應滿足的條件。 【引導】本題與上題運動情境不同之處在于本題中物塊

8、有初速度，而上題中卻沒有。物塊在平板車上做勻減速運動，當兩者速度相等時具有最大相對位移（如果兩者速度能相等的話）。要想A不從平板車B上滑落，F(xiàn)不能太小，致使物塊從平板車右端沖出；F也不能太大，致使兩者速度相等后依然不能相對靜止而從平板車左端滑出。 【解析】（1）物體A滑上平板車B以后，做勻減速運動，有 平板車B做加速運動，有 解得 兩者速度相同時，有 解得 這段時間內A、B運行的位移大小分別為 物體A在平板車上運動時相對平板車滑行的最大距離 由于，所以以上分析和結論成立。 （2）物體A不滑落的臨界條件是A

9、到達B的右端時，A、B 具有共同的速度，則位移關系為 時間關系為 聯(lián)立以上兩式解得 由牛頓第二定律得 若，則A滑到B的右端時，速度仍大于B的速度，A將從B右端滑落，所以要想不滑落，F(xiàn)必須大于等于1N。 當F大于某一值時，在A到達B的右端之前，B就與A具有共同的速度，之后，只有A 與B保持相對靜止，才不會從B的左端滑落，所以 由以上兩式解得 若F大于3N，A與B具有相同的速度之后，A會相對B向左滑動，要想不滑落，F(xiàn)必須小于等于3N。 綜上所述，F(xiàn)應滿足的條件是

10、 【答案】（1）0.5m （2） 【品味】本題中物塊有了速度，較之上一題運動情境要復雜一些，在分析時就要更加細心。在求解本題第二問時，思維是否縝密直接影響到問題能否得到完滿解決，有不少學員可能只考慮到不從平板車右邊沖出一種情況。 物塊受牽引的板塊問題 例題4如圖所示，一塊質量為、長為l的勻質木板放在很長的水平桌面上，板的左端有一質量為的物塊，物塊上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪并與桌面平行，某人以恒定的速度向下拉繩，物塊最多只能到達板的中點，且此時板的右端距離桌邊定滑輪足夠遠．求： （1）若板與桌面間光滑，物塊與板的動摩擦因數(shù)． （2）若板與

11、桌面間有摩擦，為使物塊能到達板右端，板與桌面的動摩擦因數(shù)的范圍． 【引導】由“物塊最多只能到達板的中點”知當物塊與木板相對位移為木板長度的一半時兩者共速。根據(jù)位移關系可求出時間，由牛頓第二定律可求出木板加速度，再加上速度相等這一臨界條件就可以求出動摩擦因數(shù)。若斜面不光滑 【解析】（1）以板為研究對象，由牛頓第二定律知 ① 設物塊運動到木板中點用時為t1，則 ②

12、 ③ 聯(lián)立①②③式，解得 （2）物塊能到達木板右端的條件為：兩者速度相等時，其相對位移大于或等于板長，設物塊與木板達到共速所用時間為，則 ④ ⑤ ⑥ 聯(lián)立④⑤⑥式，解得 【答案】（1） （2）大于或等于 【品味】求解本題第一問的關鍵是抓住物體的位移關系，而第二問中

13、弄清物塊能夠運動到木板右端的臨界條件則是解題的關鍵。 斜面上的板塊問題 例題5如圖所示，在傾角為的足夠長的斜面上，有一質量為的長木板。開始時，長木板上有一質量為的小鐵塊（視為質點）以相對斜面的初速度從長木板的中點沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為的勻速運動（已知二者速率的值），小鐵塊最終跟長木板一起向上做勻速運動。已知小鐵塊與木板、木板與斜面間的動摩擦因數(shù)均為（），試求： （1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度？ （2）長木板至少多長？ （3）小鐵塊從中點開始運動到最終勻速運動的過程中拉力做了多少功？ 【引導】物塊受到沿斜面的重力分量和摩擦力的作用，且由

14、于，所以物塊受到的摩擦力一定大于重力沿斜面的分力，物塊做勻減速運動，利用牛頓第二定律即可求出加速度。由于物塊最終跟長木板一起向上做勻速運動，所以物塊速度減為零后又會反向加速，但在物塊和木板共速前物塊運動方向始終沿斜面向下。由于木板一直勻速運動，因此由平衡條件可以求出拉力大小，再求出物塊位移，就可以按照功的定義求解拉力做功了。當然，也可以依據(jù)動能定理求解。 【解析】（1）因為，所以小鐵塊相對木板由沿斜面向上得加速度。設小鐵塊的加速度為，由牛頓第二定律得 解得 （2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零，再沿斜面向上勻加速，最終獲得穩(wěn)定速度，設時間后小鐵塊達到穩(wěn)定速度，則

15、 設此過程小鐵塊的位移為，木板的位移為，則 ，方向沿斜面向下（因為） ，方向沿斜面向上 由于 ，所以 （3）對木板進行受力分析，知 所以 【答案】（1） （2） （3） 【品味】本題運動情境較為復雜，根據(jù)對鐵塊運動狀態(tài)的判斷體現(xiàn)了學員對斜面模型規(guī)律的掌握程度；對小鐵塊運動情況的分析與運算則又能反映出學員對運動學規(guī)律的認識深度；對臨界條件的分析又能彰顯學員對臨界問題的分析能力；而對拉力做功的運算則不僅考查學員對功、能的理解，也能反映出學員對問題的綜合把控能力。本題綜合性較強，覆蓋面較廣，對學生的悟性要求也較高。 多對象板塊問題

16、 例題6（2009山東）如圖所示，某貨場將質量為m1=100 kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物中軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8 m。地面上緊靠軌道次排放兩聲完全相同的木板A、B，長度均為l=2m，質量均為m2=100 kg，木板上表面與軌道末端相切。貨物與木板間的動摩擦因數(shù)為1，木板與地面間的動摩擦因數(shù)=0.2。（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10 m/s2） （1）求貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力。 （2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求1應滿足的條件。

17、 （3）若1=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間。 【啟導】物塊滑下圓軌道末端獲得速度，由圓周運動規(guī)律可以求得物塊對軌道的壓力。第（2）問中當其沖上木板A后，A未動，說明物塊施予A的摩擦力小于地面對A、B板的最大靜摩擦力。物塊滑上B后，B動了，說明物塊施予B的摩擦力大于地面與B間的最大靜摩擦力。第（3）問中看1=0.5是否滿足（2）中所求的范圍內，若滿足的話，可根據(jù)運動學規(guī)律求時間。 【解析】（1）設貨物滑到圓軌道末端是的速度為，對貨物的下滑過程中根據(jù)機械能守恒定律得 ① 設貨物在軌道末端

18、所受支持力的大小為,根據(jù)牛頓第二定律得 ② 聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得 N ③ 根據(jù)牛頓第三定律，貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小為3000N，方向豎直向下。 （2）若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得 ④ 若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得 ⑤ 聯(lián)立④⑤式代入數(shù)據(jù)得

19、 ⑥ （3），由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動。設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為，由牛頓第二定律得 ⑦ 設貨物滑到木板A末端是的速度為，由運動學公式得 ⑧ 聯(lián)立①⑦⑧式代入數(shù)據(jù)得 ⑨ 設在木板A上運動的時間為t，由運動學公式得 ⑩ 聯(lián)立①⑦⑨⑩

20、式代入數(shù)據(jù)得 【答案】（1）3000N （2） （3）0.4s 【品味】本題第（2）問中根據(jù)“A動B不動”分析物塊摩擦力所滿足關系是一個難點！本題與前面所研究過的題目不同，其對象較多，除物塊外有兩個木板。物塊在A上運動過程中，可將A、B看做整體來分析，問題就得到了簡化。因為A隨然沒動，但有向右運動的趨勢，我們不妨理解為A發(fā)生了形變，從而了擠壓B，而地面又阻礙B運動，所以歸根結底，地面對A、B整體的摩擦力是阻礙A運動的原因。 總結： 1．板塊問題本質特征 ①兩物體疊放并接觸 ②兩物體間通過摩擦力發(fā)生作用 2．常見基本問題及其處理方法 常見基本問題 處理方法 分析

21、物體所受的摩擦力（動力、阻力） 根據(jù)物塊與木板的相對運動方向來判斷，摩擦力的突變的時刻：與相同時 板、塊能一起加速運動的最大加速度 板、塊間達到最大靜摩擦力時 相對位移的計算 弄清對地位移和相對位移的概念是前提?？上扔蛇\動學公式求出某段時間內物體與傳送帶的對地位移，然后用“快”的減去“慢”的就是差距。也可應用圖像法或相對運動法進行求解 物塊不從木板上掉下去的條件 物塊與木板保持相對靜止時物塊還在木板上，弄清達到臨界狀態(tài)的時間和位移關系 摩擦生的熱（內能） 外力對板塊系統(tǒng)做的功 課堂練習 1.質量的小滑塊（可視為質點）放在質量為的長木板的右端，木板上表面光滑，木板與

22、地面之間的動摩擦因數(shù)為，木板長。開始時兩者都處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)對木板施加水平向右的恒力，如圖所示。為使小滑塊不掉下木板，試求（?。? （1）用水平恒力作用的最長時間； （2）水平恒力作功的最大值。 【解析】（1）撤離前后木板先加速后減速，由牛頓第二定律得 撤力前 解得 撤力后 解得 木板的位移 為使小滑塊不從木板上掉下，應滿足 又 由以上各式解得 故作用的最長時間為1s （2）木板在拉力作用下的最大位移為 所以做功的最大值 【答案】（1）1s （2）8J 【回味】本題第（1）問中，弄清

23、物塊不掉下去的條件是關鍵。一些學員由于理解不了“最長時間”陷入困境，其實只要能想著弄清物體運動過程，找出時間、位移關系，再考慮上臨界條件，還是不難求解的。第（2）問，難度不大，考查了功的計算。 2.如圖所示，一平板車以某一速度v0勻速行駛，某時刻一貨箱（可視為質點）無初速度地放置于平板車上，貨箱離車后端的距離為l=3m，貨箱放入車上的同時，平板車開始剎車，剎車過程可視為做a=4m/s2的勻減速直線運動。已知貨箱與平板車之間的摩擦因數(shù)為μ=0.2，g=10m/s2。為使貨箱不從平板上掉下來，平板車勻速行駛的速度v0應滿足什么條件？ 【解析】由于，故可作出貨箱、平板車的圖像如圖所示。圖中陰影面

24、積即為貨箱與平板車在共速前的相對位移大小，則 v0 v/ms-1 t/s 0 t 解得 陰影面積 要使貨箱不從平板上掉下來，需滿足 解得 【答案】 【回味】本題中在貨箱與平板車共同前進，平板車運動的“快”，貨箱相對平板車向后運動；共速后，兩者依然要發(fā)生相對運動，但貨箱較“快”，貨箱相對平板車向前運動。因此要想貨箱不從平板車上掉下來，只要滿足共速前的相對位移大小不超過l就可以了。本題解析應用了圖像法求解，學員也可應用其它方法試試。 a A B 3.一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊

25、重合，如圖所示。已知盤與桌布間的動摩擦因數(shù)為，盤與桌面間的摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？（g表示重力加速度） 【解析】分析可知，盤在桌布上做勻加速運動，脫離桌布后，在桌面上做勻減速運動，則 ① ② ③

26、 ④ 要想盤不從桌面掉下，需滿足 ⑤ 設桌布從盤下抽出所用時間為t，這段時間內桌布位移為x，則 ⑥ ⑦ ⑧ 聯(lián)立①~⑧式，解得 【答案】 【回味】本題牽涉過程較復雜，找出盤子與

27、桌布間的位移關系以及盤子不掉下去的條件是關鍵。求解時要在分析物體運動過程，及位移關系上下功夫。本題中，關于方程組的求解也是一個難點，是對學員運算思維能力的一個考驗。 課后練習 1.如圖，在光滑水平面上有一質量為m1的足夠長的木板， 其上疊放一質量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等?，F(xiàn)給木塊施加一隨時間t增大的水平力F=kt（k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是（ ） 2．一塊足夠長得木板C質量為2m，放在光滑水平面上，如圖所示。在木板上自左向右放有A、B兩個完全相同的物塊，兩物塊質量均為m，與木板

28、間的動摩擦因數(shù)均為。開始時木板靜止不動，A、B兩物塊的初速度分別為、，方向如圖所示。剛開始時A、B、C三物體的加速度之比為 ；A物塊在整個運動過程中最小速度為 ；A速度減至最小過程中，AC間的摩擦生熱跟BC間的摩擦生熱之比為 。 3．如圖所示，有一木板靜止在光滑且足夠長的水平面上，木板質量為kg，長為；木板右端放著一小物塊，小物塊質量為m=1kg，其尺寸遠遠小于L。小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為（g取10m/s2） （1）現(xiàn)用恒力F作用在木板M上，求：能使m從M上面滑落下來的F的范圍？ （2）其它條件不變，若恒力F=22.8N，求：m從M上面滑

29、落下來所用的時間？ 4．如圖所示，質量M=8kg的長木板放在光滑水平面上，在長木板的右端施加一水平恒力F=8N，當長木板向右運動速率達到時，在其右端有一質量為m=2kg的小物塊（可視為質點）以水平向左的速率滑上木板，物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)，小物塊始終沒有離開長木板，，求： （1）經過多長時間小物塊與長木板相對靜止； （2）長木板至少要多長才能保證小物塊不滑離長木板； （3）上述過程中長木板對小物塊所做的功。 5.如圖所示，質量為M的長木板，靜止放在粗糙水平面上，有一個質量為m，可視為質點的物塊，以某一水平初速度從左端沖上木板，從物塊沖上木板到物塊和木板達到共同速度的過程中，物塊和

30、木板的圖像分別如圖中的折線acd和bcd所示，a、b、c、d點得坐標為a(0，10)、b(0，0)、c(4，4)、d(12，0)。根據(jù)圖像（g=10m/s2），求： （1）物塊沖上木板做勻速直線運動的加速度大小a1，木板開始做勻加速直線運動的加速度大小a2，達到相同速度之后，一起做勻減速直線運動的加速度大小a； （2）物塊質量m與長木板質量M之比； （3）物塊相對長木板滑行的距離。 6．如圖所示，一塊質量為、長為的勻質木板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為的物塊，物塊上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪，某人以恒定的速度向下拉繩，物塊最多只能到達板的中點，而且此

31、時板的右端尚未到達桌邊定滑輪．求： （1）物塊與板的動摩擦因數(shù)及物塊剛到達板的中點時板的位移； （2）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能到達板右端，板與桌面的動摩擦因數(shù)的范圍； （3）若板與桌面間的動摩擦因數(shù)取第（2）問中的最小值，在物塊從板的左端運動到右端的過程中，人拉繩的力所做的功（其它阻力均不計）。 7．如圖所示，在高出水平地面的光滑平臺上放置一質量、由兩種不同材料連接成一體的薄板A，其右段長度且表面光滑，左段表面粗糙。在A最右端放有可視為質點的物塊B，其質量。B與A左段間動摩擦因數(shù)。開始時二者均靜止，現(xiàn)對A施加水平向右的恒力，待B脫離A（A尚未露出平臺）后，將A取走。B離開平臺后的

32、落地點與平臺右邊緣的水平距離。（取g=10m/s2）求： l2 （1）B離開平臺時的速度。 （2）B從開始運動到剛脫離A時，B運動的時間tB和位移xB （3）A左端的長度l2 答案 1．A 2．1:1:1 1:3 3．【答案】（1）F大于20N （2）2s 解：（1）兩者能保持相對靜止的最大加速度 故要使m從M上滑落，只需滿足 （2）由于F=22.8N >20 N，所以物塊相對于木板滑動，由牛頓第二定律知 設m從M上面滑落下來所用的時間為t，則 解得 4．【答案】（1）8s （2）48m （3）192J

33、解：（1）由牛頓第二定律知 木板的加速度 物塊的加速度 設時間后，兩者達到共同速度，則 對木板 對物塊 解得 ， （2）此過程中，木板與物塊的位移分別為 木板長度至少為 （3）摩擦力對小物塊做的功 5．【答案】（1） （2） （3） 解：（1）由圖像可知 ，， （2）由牛頓第二定律得 對物塊： 對木板： 對整體： 聯(lián)立以上各式，解得 （3）圖中的面積即為物塊相對長木板滑行的距離，所以 6．【答案】（1） （2）大于或等于 （3）

34、 解：（1）以板為研究對象，由牛頓第二定律知 ① 設物塊運動到木板中點用時為t1，木板位移為x則 ② ③ ④ 聯(lián)立①②③式，解得 ， （2）物塊能到達木板右端的條件為：兩者速度相等時，其相對位移大于或等于板長，設物塊與木板

35、達到共速所用時間為，則 ⑤ ⑥ ⑦ 聯(lián)立⑤⑥⑦式，解得 （3）若板與桌面的動摩擦因數(shù)取第（2）問中最小值，則物塊到達木板右端時，兩者恰好共速，有 ⑧ 由于物塊一直勻速運動，所以繩拉力對物塊做的功等于摩擦力對物塊做的功，則

36、 ⑨ 聯(lián)立⑧⑨式，解得 7．【答案】（1）2m/s （2）0.5m （3）1.5m 解：（1）設物塊平拋運動的時間為t，由運動學知識可得 ① ② 聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)得 ③ （2）設B的加速度為a2，由牛頓第二定律和運動學的知識得 ④

37、 ⑤ ⑥ 聯(lián)立③④⑤⑥式，代入數(shù)據(jù)得 ⑦ ⑧ （3）設B剛開始運動時A的速度為，由動能定理得 ⑨ 設B運動后A的加速度為，由牛頓，第二定律和運動學知識得 ⑩ 聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，代入數(shù)據(jù)得 19