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1、
常州市2016屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測
數(shù)學(xué)I試題 2016.01
一、填空題（70分）
1、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（z＋i）（2＋i）＝5（i為虛數(shù)單位），則z＝
2、設(shè)全集U＝，集合A＝，B＝，則＝
3、某地區(qū)有高中學(xué)校10所，初中學(xué)校30所，小學(xué)學(xué)校60所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取20所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康檢查，則應(yīng)抽取初中學(xué)?！ ∷?
4、已知雙曲線C：的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)P（1，－2），則該雙曲線的離心率為
5、函數(shù)的值域?yàn)椤 ?
6、某校從2名男生和3名女生中隨機(jī)選出3名學(xué)生做義工，則選出的學(xué)生中男女生都有的概率
為
2、
7、如圖所示的流程圖中，輸出S的值是
8、已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2，銳角為60的菱形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝3，若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則三棱錐M－PAD的體積為
9、已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為
10、，，若，
則＝
11、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，＝40，則的值為
12、如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，AD＝AB＝4，CD＝1，動點(diǎn)P在邊BC上，且滿足均為正數(shù)），則的最小值為
13、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O：，動點(diǎn)P在直線上，過P分別作圓O，O1的切線，切點(diǎn)
3、分別為AB，若滿足PB＝2PA的點(diǎn)P有且只有兩個，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是
14、已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
二、解答題（90分）
15、（本小題滿分14分）
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，已知，且成等比數(shù)列，求：
（1）的值；
（2）A；
（3）的值。
16、（本小題滿分14分）
如圖，正三棱柱A1B1C1－ABC，點(diǎn)D、E分別是A1C、AB的中點(diǎn)。
（I）求證：ED∥平面BB1C1C；
（II）若AB＝BB1，求證：AB⊥平面B1CE。
17、（本小題滿分14分）
4、
已知等差數(shù)列的公為d為整數(shù)，且，，其中為常數(shù)且。
（1）求k及；
（2）設(shè)，的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0），前n項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)m，使得，求q。
18、（本小題滿分16分）如圖，直線是湖岸線，O是上一點(diǎn)，弧AB是以O(shè)為圓心的半圓形棧橋，C為湖岸線上一觀景亭，現(xiàn)規(guī)劃在湖中建一小島D，同時沿線段CD和DP（點(diǎn)P在半圓形棧橋上且不與點(diǎn)A，B重合）建棧橋。考慮到美觀需要，設(shè)計方案為DP＝DC，∠CDP＝60且圓弧棧橋BP在∠CDP的內(nèi)部，已知BC＝2OB＝2（km），沒湖岸BC與直線棧橋CD，DP及圓弧棧橋BP圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為S（km2），∠BO
5、P＝。
（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試判斷S是否存在最大值，若存在，求出對應(yīng)的cos的值，若不存在，說明理由。
19、（本小題滿分16分）
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)橢圓的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長軸長為4。
（I）求橢圓C的方程；
（II）點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點(diǎn)P作圓O：的切線，過點(diǎn)O且垂直于OP的直線與交于點(diǎn)A，問點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論。
20、（本小題滿分14分）
已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)。
（1）當(dāng)＝1且時，求函數(shù)的最大值M（b）;
（2）當(dāng)時，記。
①函
6、數(shù)的圖象上一點(diǎn)P處的切線方程為，記。
問：是否存在，使得對于任意，任意，都有恒成立？若存在，求出所有可能的組成的集合，若不存在，說明理由。
②令函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)k，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)s的取值集合。
數(shù)學(xué)II（附加題）2016.01
21．【選做題】
A．[選修4—1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）
如圖所示，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延長線交AP于點(diǎn)D。
求證：AD2＝DEDC
B．[選修4—2：矩陣與變換]（本小題滿分10
7、分）
已知矩陣M＝的屬于特征值8的一個特征向量是，點(diǎn)P（－1,2）在M對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。
C．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
在平面直角坐標(biāo)xoy中，曲線C：為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點(diǎn)到直線的最大距離。
D、選修4－5：不等式選講
已知，求證：
[必做題]（第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）
22、（10分）
如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1⊥底面AB
8、CD，D1A＝D1D＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2。
（1）在平面ABCD內(nèi)找一點(diǎn)F，使得D1F⊥平面AB1C；
（2）求二面角C－B1A－B的平面角的余弦值。
23、（10分）
已知數(shù)列滿足，設(shè)。
（1）求證：
（2）當(dāng)為奇數(shù)，，猜想當(dāng)為偶數(shù)時，關(guān)于b的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。
參考答案
1、2－2 2、 3、6 4、 5、
6、 7、 8、 9、7.5 10、2
11、117 12、 13、 14、
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江蘇省常州市高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試題及答案
