高考數(shù)學140分專項訓練-30道壓軸題及答案.doc
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1.橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點()的準線與x軸相交于點,,過點的直線與橢圓相交于、兩點。 (1)求橢圓的方程及離心率; (2)若,求直線的方程; (3)設(shè)(),過點且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點,證明. (14分) 2. 已知函數(shù)對任意實數(shù)x都有,且當時,。 (1) 時,求的表達式。 (2) 證明是偶函數(shù)。 (3) 試問方程是否有實數(shù)根?若有實數(shù)根,指出實數(shù)根的個數(shù);若沒有實數(shù)根,請說明理由。當 3.(本題滿分12分)如圖,已知點F(0,1),直線L:y=-2,及圓C:。 (1) 若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1,求動點M的軌跡E的方程; (2) 過點F的直線g交軌跡E于G(x1,y1)、H(x2,y2)兩點,求證:x1x2 為定值; (3) 過軌跡E上一點P作圓C的切線,切點為A、B,要使四邊形PACB的面積S最小,求點P的坐標及S的最小值。 4.以橢圓=1(a>1)短軸一端點為直角頂點,作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形,試判斷并推證能作出多少個符合條件的三角形. 5 已知,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c及一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c∈R,a>b>c,a+b+c=0. (Ⅰ)求證:f(x)及g(x)兩函數(shù)圖象相交于相異兩點; (Ⅱ)設(shè)f(x)、g(x)兩圖象交于A、B兩點,當AB線段在x軸上射影為A1B1時,試求|A1B1|的取值范圍. 6 已知過函數(shù)f(x)=的圖象上一點B(1,b)的切線的斜率為-3。 (1) 求a、b的值; (2) 求A的取值范圍,使不等式f(x)≤A-1987對于x∈[-1,4]恒成立; (3) 令。是否存在一個實數(shù)t,使得當時,g(x)有最大值1? 7 已知兩點M(-2,0),N(2,0),動點P在y軸上的射影為H,︱︱是2和的等比中項。 (1) 求動點P的軌跡方程,并指出方程所表示的曲線; (2) 若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q,求實軸最長的雙曲線C的方程。 8.已知數(shù)列{an}滿足 (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前項和為Sn,試比較Sn與的大小,并證明你的結(jié)論. 9.已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點,且兩條漸近線與以點為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個焦點與A關(guān)于直線對稱. (Ⅰ)求雙曲線C的方程; (Ⅱ)設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A,B兩點,另一直線經(jīng)過M(-2,0)及AB的中點,求直線在軸上的截距b的取值范圍; (Ⅲ)若Q是雙曲線C上的任一點,為雙曲線C的左,右兩個焦點,從引的平分線的垂線,垂足為N,試求點N的軌跡方程. 10. 對任意都有 (Ⅰ)求和的值. (Ⅱ)數(shù)列滿足:=+,數(shù)列是等差數(shù)列嗎?請給予證明; A O B x P y (Ⅲ)令 試比較與的大小. 11. :如圖,設(shè)OA、OB是過拋物線y2=2px頂點O的兩條弦,且=0,求以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡.(13分) 12.知函數(shù)f(x)=log3(x2-2mx+2m2+)的定義域為R (1)求實數(shù)m的取值集合M; (2)求證:對m∈M所確定的所有函數(shù)f(x)中,其函數(shù)值最小的一個是2,并求使函數(shù)值等于2的m的值和x的值. 13.設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為函數(shù)f(x)= (1). 求f(的值。 (2)。證明:f(x)在[上是增函數(shù)。 (3)。對任意正數(shù)x1、x2,求證: 14.已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),Sn為其前n項的和.對于任意的,都有. I、求數(shù)列的通項公式. II、若對于任意的恒成立,求實數(shù)的最大值. 15.( 12分)已知點H(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足=0,=-, (1)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C; (2)過點T(-1,0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點,若在x軸上存在一點E(x0,0),使得△ABE為等邊三角形,求x0的值. 16.(14分)設(shè)f1(x)=,定義fn+1 (x)=f1[fn(x)],an=,其中n∈N*. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*,試比較9T2n與Qn的大小. 17. 已知=(x,0),=(1,y),(+)(–). (I) 求點(x,y)的軌跡C的方程; (II) 若直線L:y=kx+m(m0)與曲線C交于A、B兩點,D(0,–1),且有 |AD|=|BD|,試求m的取值范圍. 18.已知函數(shù)對任意實數(shù)p、q都滿足 (1)當時,求的表達式; (2)設(shè)求證: (3)設(shè)試比較與6的大?。? 19.已知函數(shù)若數(shù)列:…, 成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項; (2)若的前n項和為Sn,求; (3)若,對任意,求實數(shù)t的取值范圍. 20.已知△OFQ的面積為 (1)設(shè)正切值的取值范圍; (2)設(shè)以O(shè)為中心,F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q(如圖),, 當取得最小值時,求此雙曲線的方程. (3)設(shè)F1為(2)中所求雙曲線的左焦點,若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動 點,且2|AB|=5|F1F|,求線段AB的中點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 21、已知函數(shù)是偶函數(shù),是奇函數(shù),正數(shù)數(shù)列滿足 ① 求的通項公式; ②若的前項和為,求. 22、直角梯形ABCD中∠DAB=90,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=.橢圓C以A、B為焦點且經(jīng)過點D. (1)建立適當坐標系,求橢圓C的方程; (2)若點E滿足,問是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點且,若存在,求出直線l與AB夾角的范圍,若不存在,說明理由. 23、.設(shè)函數(shù) (1)求證:對一切為定值; (2)記求數(shù)列的通項公式及前n項和. 24. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).當X0時, =. (I) 求當X<0時, 的解析式; (II) 試確定函數(shù)= (X0)在的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論. (III) 若且,證明:|-|<2. 25、已知拋物線的準線與軸交于點,過作直線與拋物線交于A、B兩點,若線段AB的垂直平分線與X軸交于D(X0,0) ⑴求X0的取值范圍。 ⑵△ABD能否是正三角形?若能求出X0的值,若不能,說明理由。 26、已知□ABCD,A(-2,0),B(2,0),且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD對角線交點E的軌跡方程。 ⑵過A作直線交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點,且∣MN∣=,MN的中點到Y(jié)軸的距離為,求橢圓的方程。 ⑶與E點軌跡相切的直線l交橢圓于P、Q兩點,求∣PQ∣的最大值及此時l的方程。 Y D C E A O B X 27.(14分)(理)已知橢圓,直線l過點A(-a,0)和點B(a,ta) (t>0)交橢圓于M.直線MO交橢圓于N.(1)用a,t表示△AMN的面積S; (2)若t∈[1,2],a為定值,求S的最大值. 28.已知函數(shù)f(x)= 的圖象過原點,且關(guān)于點(-1,1)成中心對稱. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:an>0,a1=1,an+1= [f()]2,求數(shù)列{an}的通項公式an,并證明你的結(jié)論. 30、已知點集其中點列在中,為與軸的交點,等差數(shù)列的公差為1,。 (1)求數(shù)列,的通項公式; (2)若求; (3)若是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。 21.經(jīng)過拋物線的焦點F的直線與該拋物線交于、兩點. (12分) (1)若線段的中點為,直線的斜率為,試求點的坐標,并求點的軌跡方程 (2)若直線的斜率,且點到直線的距離為,試確定的取值范圍. 1(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為。 由已知得解得 所以橢圓的方程為,離心率。 (2)解:由(1)可得A(3,0)。 設(shè)直線PQ的方程為。由方程組 得,依題意,得。 設(shè),則, ① 。 ② 由直線PQ的方程得。于是 。 ③ ∵,∴。 ④ 由①②③④得,從而。 所以直線PQ的方程為或 (3,理工類考生做)證明:。由已知得方程組 注意,解得 因,故 。 而,所以。 2 ①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1,4]上有4個實根 3 ①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(2,1) SMIN= 4 .解:因a>1,不防設(shè)短軸一端點為B(0,1) 設(shè)BC∶y=kx+1(k>0) 則AB∶y=-x+1 把BC方程代入橢圓, 是(1+a2k2)x2+2a2kx=0 ∴|BC|=,同理|AB|= 由|AB|=|BC|,得k3-a2k2+ka2-1=0 (k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0 ∴k=1或k2+(1-a2)k+1=0 當k2+(1-a2)k+1=0時,Δ=(a2-1)2-4 由Δ<0,得1<a< 由Δ=0,得a=,此時,k=1 故,由Δ≤0,即1<a≤時有一解 由Δ>0即a>時有三解 5 解:依題意,知a、b≠0 ∵a>b>c且a+b+c=0 ∴a>0且c<0 (Ⅰ)令f(x)=g(x), 得ax2+2bx+c=0.(*) Δ=4(b2-ac) ∵a>0,c<0,∴ac<0,∴Δ>0 ∴f(x)、g(x)相交于相異兩點 (Ⅱ)設(shè)x1、x2為交點A、B之橫坐標 則|A1B1|2=|x1-x2|2,由方程(*),知 |A1B1|2= ∵,而a>0,∴ ∵,∴ ∴ ∴4[()2++1]∈(3,12) ∴|A1B1|∈(,2) 6、解:(1)= 依題意得k==3+2a=-3, ∴a=-3 ,把B(1,b)代入得b= ∴a=-3,b=-1 (2)令=3x2-6x=0得x=0或x=2 ∵f(0)=1,f(2)=23-322+1=-3 f(-1)=-3,f(4)=17 ∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17 要使f(x)≤A-1987對于x∈[-1,4]恒成立,則f(x)的最大值17≤A-1987 ∴A≥2004。 (1) 已知g(x)=- ∴ ∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0, ① 當t>3時,t-3x2>0, ∴g(x)在上為增函數(shù), g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合題意,舍去) ② 當0≤t≤3時, 令=0,得x= 列表如下: x (0, ) + 0 - g(x) ↗ 極大值 ↘ g(x)在x=處取最大值-+t=1 ∴t==<3 ∴x=<1 ③當t<0時,<0,∴g(x)在上為減函數(shù), ∴g(x)在上為增函數(shù), ∴存在一個a=,使g(x)在上有最大值1。 7、解:(1)設(shè)動點的坐標為P(x,y),則H(0,y),,=(-2-x,-y) =(2-x,-y) ∴=(-2-x,-y)(2-x,-y)= 由題意得∣PH∣2=2 即 即,所求點P的軌跡為橢圓 (2)由已知求得N(2,0)關(guān)于直線x+y=1的對稱點E(1,-1),則∣QE∣=∣QN∣ 雙曲線的C實軸長2a=(當且僅當Q、E、M共線時取“=”),此時,實軸長2a最大為 所以,雙曲線C的實半軸長a= 又 ∴雙曲線C的方程式為 8.(1) (2) 9.解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,則kx-y=0 ∵該直線與圓相切, ∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=x.…………………………………………2分 故設(shè)雙曲線C的方程為. 又雙曲線C的一個焦點為 ∴,. ∴雙曲線C的方程為.………………………………………………4分 (Ⅱ)由得. 令 直線與雙曲線左支交于兩點,等價于方程f(x)=0在上有兩個不等實根. 因此 解得. 又AB中點為, ∴直線l的方程為.………………………………6分 令x=0,得. ∵, ∴ ∴.………………………………………………8分 (Ⅲ)若Q在雙曲線的右支上,則延長到T,使, 若Q在雙曲線的左支上,則在上取一點T,使. 根據(jù)雙曲線的定義,所以點T在以為圓心,2為半徑的圓上,即點T的軌跡方程是 ①…………………………………………10分 由于點N是線段的中點,設(shè),. 則,即. 代入①并整理得點N的軌跡方程為.………………12分 10 解:(Ⅰ)因為.所以.……2分 令,得,即.……………4分 (Ⅱ) 又………………5分 兩式相加 . 所以,………………7分 又.故數(shù)列是等差數(shù)列.………………9分 (Ⅲ) ………………10分 ………………12分 所以……………………………………………………………………14分 11.設(shè)直線OA的斜率為k,顯然k存在且不等于0 則OA的方程為y=kx 由解得A() ……4分 又由,知OA⊥OB,所以O(shè)B的方程為y=-x 由解得B(2pk2,-2pk) ……4分 從而OA的中點為A(),OB的中點為B(pk2,-pk) ……6分 所以,以O(shè)A、OB為直徑的圓的方程分別為 x2+y2-=0 ……① x2+y2-2pk2x+2pky=0 ……② ……10分 ∵P(x,y)是異于O點的兩圓交點,所以x≠0,y≠0 由①-②并化簡得y=(k-)x ……③ 將③代入①,并化簡得x(k2+-1)=2p ……④ 由③④消去k,有x2+y2-2px=0 ∴點P的軌跡為以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(除去原點). ……13分 12.(1)由題意,有x2-2mx+2m2+>0對任意的x∈R恒成立 所以△=4m2-4(2m2+)<0 即-m2-<0 ∴>0 由于分子恒大于0,只需m2-3>0即可 所以m<-或m> ∴M={m|m<-或m>} ……4分 (2)x2-2mx+2m2+=(x-m)2+m2+≥m2+ 當且僅當x=m時等號成立. 所以,題設(shè)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的最小值為m2+ ……7分 又因為以3為底的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù) ∴f(x)≥log3(m2+) ∴當且僅當x=m(m∈M)時,f(x)有最小值為log3(m2+) ……10分 又當m∈M時,m2-3>0 ∴m2+=m2-3++3≥2+3=9 當且僅當m2-3=,即m=時, log3(m2+)有最小值log3(6+)=log39=2 ∴當x=m=時,其函數(shù)有最小值2. 13.解析:(1)。,由根與系數(shù)的關(guān)系得, 同法得f( (2).證明:f/(x)=而當x時, 2x2-tx-2=2(x-故當x時, f/(x)≥0, 函數(shù)f(x)在[上是增函數(shù)。 (3)。證明: , 同理. 又f(兩式相加得: 即 而由(1),f( 且f(, . 14(I)當時,, ,又{an}各項均為正數(shù),.數(shù)列是等差數(shù)列, (II) ,若對于任意的恒成立,則.令,.當時,.又,. 的最大值是. 15.(1)設(shè)點M的坐標為(x,y),由=-,得P(0,-),Q(,0), 2分 由=0,得(3,-)(x,)=0,又得y2=4x, 5分 由點Q在x軸的正半軸上,得x>0, 所以,動點M的軌跡C是以(0,0)為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線,除去原點. 6分 (2)設(shè)直線l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,① 7分 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1,x2是方程①的兩個實根,∴x1+x2=-,x1x2=1, 所以,線段AB的中點坐標為(,), 8分 線段AB的垂直平分線方程為y-=-(x-), 9分 令y=0,x0=+1,所以點E的坐標為(+1,0) 因為△ABE為正三角形,所以點E(+1,0)到直線AB的距離等于|AB|, 而|AB|==, 10分 所以,=, 11分 解得k=,得x0=. 12分 16.(1)f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1[fn(0)]=, an+1====-=-an, 4分 ∴數(shù)列{an}是首項為,公比為-的等比數(shù)列,∴an=(-)n-1. 6分 (2)T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n, -T2n=(-a1)+(-)2a2+(-)3a3+…+(-)(2n-1)a2n-1+(-)2na2n =a2+2a3+…+(2n-1)a2n-na2n, 8分 兩式相減得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n, 所以,T2n=+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1, 10分 T2n=-(-)2n+(-)2n-1=(1-). ∴9T2n=1-, Qn=1-, 12分 當n=1時,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n<Qn; 當n=2時,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n<Qn; 13分 當n≥3時,22n=[(1+1)n]2 =(C+C+C+…+C)2>(2n+1)2,∴9T2n>Qn. 14分 17.解(I)+=(x,0)+(1,y)=(x+, y), –=(x, 0)(1,y)= (x,– y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, 故P點的軌跡方程為. ?。ǎ斗郑? (II)考慮方程組 消去y,得(1–3k2)x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 顯然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0. 設(shè)x1,x2為方程*的兩根,則x1+x2=,x0=, y0=kx0+m=, 故AB中點M的坐標為(,), 線段AB的垂直平分線方程為y=(), 將D(0,–1)坐標代入,化簡得 4m=3k21, 故m、k滿足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4. 又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+). ?。ǎ保卜郑? 18.(1)解 由已知得 . (4分) (2)證明 由(1)可 知 設(shè) 則 . 兩式相減得+…+ . (9分) (3)解 由(1)可知 則 = 故有 =6. (14分) 19.(1) (2) (3) 為遞增數(shù)列 中最小項為 20.(1) (2)設(shè)所求的雙曲線方程為 又由 當且僅當c=4時,最小,此時Q的坐標為 所求方程為 (3)設(shè) 的方程為的方程為 則有① ② ③ 設(shè)由①②得 , 代入③得 的軌跡為 焦點在y軸上的橢圓. 21、解:(1)為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 是以為首項,公比為的等比數(shù)列. (2) 22、解析:(1)如圖,以AB所在直線為x軸,AB中垂線為y軸建立直角坐標系,A(-1,0),B(1,0) 設(shè)橢圓方程為: 令 ∴ ∴ 橢圓C的方程是: ?。?),,l⊥AB時不符, 設(shè)l:y=kx+m(k≠0) 由 M、N存在D 設(shè)M(,),N(,),MN的中點F(,) ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴ l與AB的夾角的范圍是,. 23、(1) 24、(1)當X<0時, (3分) (2)函數(shù)= (X0)在是增函數(shù);(證明略) (9分) (3)因為函數(shù)= (X0)在是增函數(shù),由x得; 又因為,所以,所以; 因為,所以,且,即, 所以,-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即|-|<2. (14分) 25、解:⑴由題意易得M(-1,0) 設(shè)過點M的直線方程為代入得 ………………………………………(1) 再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 則x1+x2=,x1x2=1 y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k= ∴AB的中點坐標為() 那么線段AB的垂直平分線方程為,令得 ,即 又方程(1)中△= ⑵若△ABD是正三角形,則需點D到AB的距離等于 點到AB的距離d= 據(jù)得: ∴,∴,滿足 ∴△ABD可以為正△,此時 26、解:⑴設(shè)E(x,y),D(x0,y0) ∵ABCD是平行四邊形,∴, ∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y)∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y) ∴ 又 即: ∴□ABCD對角線交點E的軌跡方程為 ⑵設(shè)過A的直線方程為 以A、B為焦點的橢圓的焦距2C=4,則C=2 設(shè)橢圓方程為 , 即…………………(*) 將代入(*)得 即 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則 ∵MN中點到Y(jié)軸的距離為,且MN過點A,而點A在Y軸的左側(cè),∴MN中點也在Y軸的左側(cè)。 ∴,∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ , ,∵ ,∴ ∴ ∴所求橢圓方程為 ⑶由⑴可知點E的軌跡是圓 設(shè)是圓上的任一點,則過點的切線方程是 ①當時,代入橢圓方程得: ,又 ∴ ∴ = 令 則 , ∵ ∴當t=15時, 取最大值為15 ,的最大值為。 此時 ,∴直線l的方程為 ②當時,容易求得 故:所求的最大值為,此時l的方程為 27.解(理)(1)易得l的方程為…1分 由,得(a2t2+4)y2-4aty=0…2分 解得y=0或 即點M的縱坐標………………4分 S=S△AMN=2S△AOM=|OA|yM=…7分 (2)由(1)得, 令…………9分 由 當時,…10分 若1≤a≤2,則,故當時,Smax=a11分 若a>2,則在[1,2]上遞增,進而S(t)為減函數(shù). ∴當t=1時,13分 綜上可得…………14分 28. (1) ∵函數(shù)f(x)= 的圖象過原點,即f(0)=0,∴c =0,∴f(x)= . 又函數(shù)f(x)= = b - 的圖象關(guān)于點(-1,1)成中心對稱,∴a=1,b=1,∴f(x)= .(2)由題意有an+1=[ ]2,即 = ,即 = +1,∴ - =1. ∴數(shù)列{}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列. ∴ =1+(n-1)=n,即 = ,∴an= .∴a2= ,a3= ,a4= ,an= . 29、解:(1)由,得 …………2分 ,則 …………4分 (2)當時,, …………6分 …………8分 (3)假設(shè)存在符合條件的使命題成立 當是偶數(shù)時,是奇數(shù),則 由得 …………11分 當是奇數(shù)時,是偶數(shù),則 由得無解 綜上存在,使得 …………14分 30.解:(1)設(shè),,直線AB的方程為: 把代入得: ∴∴ ∴∴點M的坐標為; 消去可得點M的軌跡方程為:; (2)∵ ∴∴∴ ∵∴,∴∴ ∴或∴或 ∴∴的取值范圍為。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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