北京市門頭溝區(qū)2015屆九年級上期末考試數(shù)學試題及答案.doc

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門頭溝區(qū)2014—2015學年度第一學期期末測試試卷 九 年 級 數(shù) 學 考 生 須 知 1．本試卷共8頁，五道大題，25道小題，滿分120分?？荚嚂r間120分鐘。 2．在試卷和答題卡上認真填寫學校名稱、班級、姓名、考場號和座位號。 3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。 4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。 5．考試結(jié)束，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．已知，則的值是 A． B． C． D． 2．已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點P與⊙O的位置關系是 A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．不能確定 3．如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90，AB=5，BC=4，則sinB的值是 A． B． C． D． 4．如果反比例函數(shù)在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是 A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－1 5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，如果，那么 ∠ACB的度數(shù)是 A．40 B．50 C．60 D．80 6．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上分別刻有1、2、3、4、5、6的點數(shù)，擲這 個骰子一次，則擲得面朝上的點數(shù)為奇數(shù)的概率是 A． B． C． D． 7．將拋物線先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是 A． B． C． D． 8．如圖，等邊三角形ABC邊長為2，動點P從點A出發(fā)，以每秒 1個單位長度的速度，沿A→B→C→A的方向運動，到達點 A時停止．設運動時間為x秒，y=PC，則y關于x 函數(shù) 的圖象大致為 A B C D 二、填空題：（本題共16分，每小題4分） 9． 扇形的半徑為9，圓心角為120，則它的弧長為_______. 10．三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成的影子如圖 所示. 如果OA=20cm，OA′=50cm，那么這個三角 尺的周長與它在墻上形成影子的周長的比是 . 11． 如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線， 在下列結(jié)論中，唯一正確的是 . （請將正確的序號填在橫線上） ① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0； ④ b2－4ac＜0；⑤ 當x=時，y的最大值為． 12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD頂點A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個單位”為一次變換． （1）如果正方形ABCD經(jīng)過1次這樣的變換得到正方形A1B1C1D1， 那么B1的坐標是 ． （2）如果正方形ABCD經(jīng)過2014次這樣的變換得到 正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐標是 ． 三、解答題：（本題共30分，每題5分） 13．計算： 14．已知拋物線y=x2－4x+3． （1）用配方法將y=x2－4x+3化成y=a(x－h(huán))2+k的形式； （2）求出該拋物線的對稱軸和頂點坐標； （3）直接寫出當x滿足什么條件時，函數(shù)y＜0. 15．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，且∠ABC=∠ACD． （1）求證：△ACD∽△ABC； （2）若AD=3，AB=7，求AC的長. 16．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45，看這棟高樓底部C的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離AD 為20m，求這棟樓的高度．（結(jié)果保留根號） 17．如圖，AB是⊙O 的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E． （1）求證：∠BCO=∠D； （2）若CD=，AE=2，求⊙O的半徑． 18．如圖，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為A（2，3）． （1）分別求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （2）過點A作AC⊥x軸，垂足為C，若點P在反比例 函數(shù)圖象上，且△PBC的面積等于18，請直接寫 出點P的坐標． 四、解答題：（本題共20分，每題5分） 19．如圖，在銳角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA=． （1）求tanB的值； （2）求AB的長． 20．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=－x2+bx+c經(jīng)過點（－3，0）和（1，0）. （1）求拋物線的表達式； （2）在給定的坐標系中，畫出此拋物線； （3）設拋物線頂點關于y軸的對稱點為A，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G．點B是拋物線對稱軸上一動點，如果直線AB與圖象G有公共點，請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點B縱坐標t的取值范圍． 21．如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，且BF是⊙O的切線，BF交AC的延長線于F． （1）求證：∠CBF=∠CAB． （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長． 22．閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度數(shù)． 小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決（如圖2）． 圖1 圖2 請回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于　　 ，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于　　 ． 參考小明思考問題的方法，解決問題： 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為（，1），連接AO．如果點B是x軸上的一動點，以AB為邊作等邊三角形ABC. 當C（x，y）在第一象限內(nèi)時，求y與x之間的函數(shù)表達式． 五、解答題：（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分） 23．已知關于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）． （1）求證：方程總有兩個實數(shù)根； （2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值； （3）在（2）的條件下，將關于的二次函數(shù)y= mx2+(3m+1)x+3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請結(jié)合這個新的圖象回答：當直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍． 24．矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處． 圖1 圖2 （1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA． ① 求證：△OCP∽△PDA； ② 若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長． （2）如圖2，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連接BP．動點M在線段AP上（不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，說明理由． 25．我們規(guī)定：函數(shù)（a、b、k是常數(shù)，k≠ab）叫奇特函數(shù)．當a=b=0時，奇特函數(shù)就是反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）． （1）如果某一矩形兩邊長分別是2和3，當它們分別增加x和y后，得到新矩形的面積為8．求y與x之間的函數(shù)表達式，并判斷它是否為奇特函數(shù)； （2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A、C坐標分別為（6，0）、（0，3），點D是OA中點，連接OB、CD交于E，若奇特函數(shù)的圖象經(jīng)過點B、E，求該奇特函數(shù)的表達式； （3）把反比例函數(shù)的圖象向右平移4個單位，再向上平移 個單位就可得到（2）中得到的奇特函數(shù)的圖象； （4）在（2）的條件下，過線段BE中點M的一條直線l與這個奇特函數(shù)圖象交于P，Q兩點（P在Q右側(cè))，如果以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請直接寫出點P的坐標． 以 下 為 草 稿 紙 門頭溝區(qū)2014—2015學年度第一學期調(diào)研參考答案 九 年 級 數(shù) 學 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D B C A C 二、填空題（本題共16分，每小題4分） 題號 9 10 11 12 答案 ③ （－1，1） （4025，－1） 三、解答題（本題共30分，每題5分） 13．解： …………………………………………………………………4分 . …………………………………………………………………5分 14．解：（1）y=x2－4x+4－4+3 …………………………………………………………1分 =(x－2)2－1 ………………………………………………………………2分 （2）對稱軸為直線，頂點坐標為（2，－1）. …………………………4分 （3）1＜x＜3. …………………………………………………………………5分 15．（1）證明：∵∠A=∠A，∠ABC=∠ACD，…………………………………………1分 ∴ △ACD∽△ABC. ……………………………………………………2分 （2）解：∵ △ACD∽△ABC， ∴ ………………………………………………………………3分 ∴ ………………………………………………………………4分 ∴ ………………………………………………………………5分 16．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90，∠BAD=45， ∴ BD=AD=20．………………………………………………………………2分 在Rt△ACD中，∠ADC=90，∠CAD=60， ∴ CD=AD=．……………………………………………………4分 ∴ BC=BD+CD=20+（m）．………………………………………………5分 答：這棟樓高為（20+）m． 17．（1）證明：∵ OC=OB， ∴ ∠BCO=∠B．…………………………………………………………1分 ∵ ， ∴ ∠B=∠D， ∴ ∠BCO=∠D．…………………………………………………………2分 （2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB， ∴ CE=．……………………………………………3分 在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， 設⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OA－AE=r－2， ∴，…………………………………………………4分 解得：r=3， ∴⊙O的半徑為3．………………………………………………………5分 18．解：（1）把A（2，3）代入，∴ ． ∴ m=6． ∴．…………………………………………………………………1分 把A（2，3）代入y=kx+2， ∴ 2k+2=3，……………………………………………………………………2分 ∴ ． ∴．………………………………………………………………3分 （2）P1（1，6）或P2（－1，－6）．…………………………………………5分 四、解答題（本題共20分，每題5分） 19．解：（1）如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D．………………………………1分 ∵ 在Rt△ADC中，∠ADC=90， ∴． 設CD=3k，則AB=AC=5k． ∴AD=，…2分 ∴BD=AB－AD=5k－4k=k， ∴． …………………………………………………3分 （2）在Rt△BDC中，∠BDC=90， ∴BC=． ∵BC=10，∴，…………………………………………………4分 ∴． ∴AB=5k=．………………………………………………………5分 20．解：（1）∵拋物線y=－x2+bx+c經(jīng)過點（－3，0）和（1，0）. ∴ ………………………………………………………1分 解得 ……………………………………………………………2分 ∴拋物線的表達式為y=－x2－2x+3．……………………………………3分 （2）正確畫出圖象．…………………………………………………………4分 （3）2＜t≤4．……………………………………………………………………5分 21．（1）證明：連結(jié)AE. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB=90， ∴∠1+∠2=90. ∵BF是⊙O的切線， ∴BF⊥AB， ∴∠CBF +∠2=90. ∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1分 ∵AB=AC，∠AEB=90， ∴∠1=∠CAB. ∴∠CBF=∠CAB. ……………………………………………………2分 （2）解：過點C作CG⊥AB于點G. ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=. ∵∠AEB=90，AB=5. ∴BE=ABsin∠1=. ∵AB=AC，∠AEB=90， ∴BC=2BE=.…………………………………………………………3分 在Rt△ABE中，由勾股定理得. ∴sin∠2=，cos∠2=. 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3. ……………………………………………………………………4分 ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF. ∴， ∴.…………………………………………………5分 22．解：圖1中∠PP′C的度數(shù)等于90．………………………………………………1分 圖1中∠APB的度數(shù)等于150．………………………………………………3分 如圖，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD． ∵點A的坐標為（，1）， ∴tan∠AOE=， ∴AO=OD=2，∠AOE=30， ∴∠AOD=60． ∴△AOD是等邊三角形． ………………………………………………………4分 又∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60， ∴∠CAD=∠OAB， ∴△ADC≌△AOB． ∴∠ADC=∠AOB=150，又∵∠ADF=120， ∴∠CDF=30． ∴DF=CF． ∵C（x，y）且點C在第一象限內(nèi)， ∴y－2=x， ∴y=x+2（x＞0）．………………………………………………………5分 五、解答題：（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分） 23．（1）證明：∵m≠0， ∴mx2+(3m+1)x+3=0是關于x的一元二次方程. ∴△=(3m+1)2－12m………………………………………………………1分 =(3m－1)2． ∵ (3m－1)2≥0， ∴方程總有兩個實數(shù)根. ……………………………………………… 2分 （2）解：由求根公式，得x1=－3，x2=． ……………………………………3分 ∵方程的兩個根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)， ∴m=1．……………………………………………………………………4分 （3）解：∵m=1時，∴y=x2+4x+3． ∴拋物線y=x2+4x+3與x軸的交點為A（－3，0）、B（－1，0）． 依題意翻折后的圖象如圖所示．…………………………………………5分 當直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=3． 當直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=1． ∴1＜b＜3． …………………6分 當直線y=x+b與y=－x2－4x－3 的圖象有唯一公共點時， 可得x+b=－x2－4x－3， ∴x2+5x+3+b=0， ∴△=52－4(3+b) =0， ∴b=． ∴b＞．…………………………………………………………………7分 綜上所述，b的取值范圍是1＜b＜3，b＞． 24．解：（1）① 如圖1，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90．………………………………………………………1分 ∴∠1+∠3=90． ∵由折疊可得∠APO=∠B=90， ∴∠1+∠2=90． ∴∠2=∠3．……………………2分 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3分 ② 如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4， ∴．∴CP=AD=4． 設OP=x，則CO=8－x． 在Rt△PCO中，∠C=90， 由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．…………………………………………4分 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5分 ∴邊AB的長為10． （2）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ．又BN=PM， ∴BN=QM． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ=PQ． ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF． 又∵∠QFM=∠NFB， ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF=QB． ∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．……………………………………6分 由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90． ∴PB=，∴EF=PB=． ∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的 長度為．……………………………………………………………7分 25．解：（1）由題意得，(2+x)(3+y)=8． ∴． ∴．…………………………………………………1分 根據(jù)定義，是奇特函數(shù)．…………………………………2分 （2）由題意得，B（6，3）、D（3，0）， ∴點E（2，1）．……………………………………………………………3分 將點B（6，3）和E（2，1）代入得 ……………………………………………………………4分 解得 ∴奇特函數(shù)的表達式為．……………………………………5分 （3）2．………………………………………………………………………6分 （4）P1（，）、P2（，）．…………………………8分 說明：若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分，謝謝！