六盤水市水城縣2017屆九年級上期中數學試卷含答案解析.doc

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2016-2017學年貴州省六盤水市水城縣九年級（上）期中數學試卷 　 一．選擇題（3*10=30分） 1．正方形的對角線（　　） A．相等垂直且互相平分 B．相等但不垂直 C．垂直但不相等 D．以上說法都不對 2．拋擲一枚硬幣，出現正面和反面的概率為（　?。? A．都為 B．都為1 C．都為 D．都為 3．在下列方程中，一元二次方程的個數是（　?。? ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x﹣2）（x+5）=11④3x2﹣5x=0． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．矩形有而菱形不具有的性質是（　　） A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．四條邊都相等 5．已知粉筆盒里有4支紅色粉筆和n支白色粉筆，每支粉筆除顏色外均相同，現從中任取一支粉筆，取出紅色粉筆的概率是，則n的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．若關于x的方程kx2﹣6x+9=0有實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 7．如果ab=cd，那么有（　?。? A． B． C． D． 8．關于x的方程：（m2﹣1）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（　?。┆? A．m≠0 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m≠1 9．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　?。? A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 10．2010年某市政府投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2012年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同．設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，列出方程為（　?。? A．2（1+x）2=9.5 B．2（1+x）+2（1+x）2=9.5 C．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 D．8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5 　 二．填空題（3*10=30分） 11．一元二次方程3x2﹣5x=9化為一般形式為　　，二次項系數為　　，常數項為　?。? 12．一個口袋中裝有10個相同的紅球和白球，其中白球4個，現從中任意摸出一個球，則摸到紅球的概率為　?。? 13．已知菱形的周長為40cm，一條對角線長為16cm，則這個菱形的面積為　　cm2． 14．設==，則=　?。? 15．某地區(qū)為估計該地區(qū)黃羊的只數，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標志，然后放回，待有標志的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發(fā)現其中2只有標志．從而估計該地區(qū)有黃羊　　只． 16．關于x的一元二次方程（x+3）（x﹣1）=0的根是　?。? 17．已知正方形的面積為4，則正方形的邊長為　　，對角線長為　?。? 18．若關于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，則m=　?。? 19．解一元二次方程x2+2x﹣3=0時，可轉化為解兩個一元一次方程，請寫出其中的一個一元一次方程　?。? 20．如圖所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到△CDA，添加一個條件　　，使四邊形ABCD為矩形． 　 三．解答題（共90分） 21．（24分）解下列方程： （1）x2+8x﹣20=0（用配方法） （2）x2﹣2x﹣3=0 （3）（x﹣1）（x+2）=4（x﹣1） （4）3x2﹣6x=1（用公式法） 22．（12分）已知關于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0． ①m為何值時，此方程為一元二次方程？ ②當m=2時，不解方程，請判斷該方程是否有實數根？ 23．（12分）袋中有一個紅球和兩個白球，它們除了顏色外都相同．任意摸出一個球，記下球的顏色，放回袋中；攪勻后再任意摸出一個球，記下球的顏色．請解答下列問題： （1）兩次從袋中摸球可能出現的情況有　　種，并用樹狀圖或列表格的方法進行表示． （2）求摸到一紅一白兩球的概率． 24．（12分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且DE∥BC． （1）若AD=5，DB=7，EC=12，求AE的長． （2）若AB=16，AD=4，AE=8，求EC的長． 25．（14分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售、增加盈利盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應降價多少元？請完成下列問題： （1）未降價之前，某商場襯衫的總盈利為　　 元． （2）降價后，設某商場每件襯衫應降價x元，則每件襯衫盈利　　元，平均每天可售出　　件（用含x的代數式進行表示） （3）請列出方程，求出x的值． 26．（16分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF． （1）求證：BE=DF； （2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，FM，判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論． 　  2016-2017學年貴州省六盤水市水城縣九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（3*10=30分） 1．正方形的對角線（　　） A．相等垂直且互相平分 B．相等但不垂直 C．垂直但不相等 D．以上說法都不對 【考點】正方形的性質． 【分析】根據正方形的性質選擇正確的答案即可． 【解答】解：正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角， 故選A． 【點評】本題考查了正方形的性質，題目比較簡單，對學生的解題能力要求不高，解題的關鍵是熟記正方形的各種性質． 　 2．拋擲一枚硬幣，出現正面和反面的概率為（　?。? A．都為 B．都為1 C．都為 D．都為 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】拋擲一枚硬幣，有兩種情況：即出現正面與出現反面，故出現正面和反面的概率都是． 【解答】解：P（正面向上）=P（反面向上）=． 故選：A． 【點評】本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=． 　 3．在下列方程中，一元二次方程的個數是（　　） ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x﹣2）（x+5）=11④3x2﹣5x=0． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】只含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程，根據以上定義判斷即可． 【解答】解：一元二次方程有①③④，共3個， 故選C． 【點評】本題考查了一元二次方程的定義的應用，能理解一元二次方程的定義是解此題的關鍵． 　 4．矩形有而菱形不具有的性質是（　　） A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．四條邊都相等 【考點】矩形的性質；菱形的性質． 【分析】由矩形具有的性質是：對角線相等，對角線互相平分；菱形具有的性質是：對角線互相垂直，對角線互相平分，四條邊都相等，即可求得答案． 【解答】解：∵矩形具有的性質是：對角線相等，對角線互相平分；菱形具有的性質是：對角線互相垂直，對角線互相平分，四條邊都相等， ∴矩形有而菱形不具有的性質是：對角線相等． 故選B． 【點評】此題考查了矩形的性質以及菱形的性質．注意熟記矩形與菱形的性質定理是解此題的關鍵． 　 5．已知粉筆盒里有4支紅色粉筆和n支白色粉筆，每支粉筆除顏色外均相同，現從中任取一支粉筆，取出紅色粉筆的概率是，則n的值是（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 【考點】概率公式． 【分析】根據紅色粉筆的支數除以粉筆的總數即為取出紅色粉筆的概率即可算出n的值． 【解答】解：由題意得： =， 解得：n=6， 故選B． 【點評】考查概率公式的應用；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 6．若關于x的方程kx2﹣6x+9=0有實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【考點】根的判別式． 【分析】由于k的取值范圍不能確定，故應分k=0和k≠0兩種情況進行解答． 【解答】解：（1）當k=0時，﹣6x+9=0，解得x=； （2）當k≠0時，此方程是一元二次方程， ∵關于x的方程kx2﹣6x+9=0有實數根， ∴△=（﹣6）2﹣4k9≥0，解得k≤1， 由（1）、（2）得，k的取值范圍是k≤1． 故選B． 【點評】本題考查的是根的判別式，解答此題時要注意分k=0和k≠0兩種情況進行討論． 　 7．如果ab=cd，那么有（　　） A． B． C． D． 【考點】比例的性質． 【分析】根據比例的性質，用十字相乘可得到答案． 【解答】解：∵ab=cd， ∴=． 故選B． 【點評】本題是基礎題，考查了比例的基本性質，比較簡單． 　 8．關于x的方程：（m2﹣1）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（　　） A．m≠0 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m≠1 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，可知：m2﹣1≠0，繼而可求出答案． 【解答】解：根據一元二次方程的定義，可知：m2﹣1≠0， ∴m≠1． 故選D． 【點評】本題考查一元二次方程的定義，注意掌握只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程． 　 9．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正確的是（　?。? A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，把常數項2移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣4的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常數項移到等號的右邊，得到x2﹣4x=﹣2， 方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4， 配方得（x﹣2）2=2． 故選：A． 【點評】配方法的一般步驟： （1）把常數項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數． 　 10．2010年某市政府投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2012年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同．設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，列出方程為（　　） A．2（1+x）2=9.5 B．2（1+x）+2（1+x）2=9.5 C．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 D．8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設每年市政府投資的增長率為x．根據到2012年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，列方程求解． 【解答】解：（1）設每年市政府投資的增長率為x， 根據題意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5． 故選C． 【點評】主要考查了一元二次方程的實際應用，本題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為a（1+x）n，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數據，x是增長率． 　 二．填空題（3*10=30分） 11．一元二次方程3x2﹣5x=9化為一般形式為　3x2﹣5x﹣9=0　，二次項系數為　3　，常數項為　﹣9　． 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】方程整理為一般形式，找出二次項系數，常數項即可． 【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x=9化為一般形式為3x2﹣5x﹣9=0，二次項系數為3，常數項為﹣9， 故答案為：3x2﹣5x﹣9=0；3；﹣9 【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）． 　 12．一個口袋中裝有10個相同的紅球和白球，其中白球4個，現從中任意摸出一個球，則摸到紅球的概率為　?。? 【考點】概率公式． 【分析】由在一個不透明的口袋中，裝有6個紅球和4個白球，它們除顏色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵在一個不透明的口袋中，裝有6個紅球和4個白球，它們除顏色外都相同， ∴從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率為：． 故答案為： 【點評】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 13．已知菱形的周長為40cm，一條對角線長為16cm，則這個菱形的面積為　96　cm2． 【考點】菱形的性質． 【分析】畫出草圖分析．因為周長是40，所以邊長是10．根據對角線互相垂直平分得直角三角形，運用勾股定理求另一條對角線的長，最后根據菱形的面積等于對角線乘積的一半計算求解． 【解答】解：因為周長是40cm，所以邊長是10cm． 如圖所示：AB=10cm，AC=16cm． 根據菱形的性質，AC⊥BD，AO=8cm， ∴BO=6cm，BD=12cm． ∴面積S=1612=96（cm2）． 故答案為96． 【點評】此題考查了菱形的性質及其面積計算．主要利用菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理來解決． 菱形的面積有兩種求法： （1）利用底乘以相應底上的高； （2）利用菱形的特殊性，菱形面積=兩條對角線的乘積． 具體用哪種方法要看已知條件來選擇． 　 14．設==，則=　?。? 【考點】分式的值． 【分析】設===t，則x=3t，y=5t，將其代入所求的代數式進行求值即可． 【解答】解：設===t，則x=3t，y=5t， 所以==． 故答案是：． 【點評】本題考查了分式的值．解題時，利用了“設而不求法”進行解答的． 　 15．某地區(qū)為估計該地區(qū)黃羊的只數，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標志，然后放回，待有標志的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發(fā)現其中2只有標志．從而估計該地區(qū)有黃羊　600　只． 【考點】用樣本估計總體． 【分析】捕捉60只黃羊，發(fā)現其中2只有標志．說明有標記的占到，而有標記的共有20只，根據所占比例解得． 【解答】解：20 =600（只）． 故答案為600． 【點評】本題考查了用樣本估計總體的思想，統計的思想就是用樣本的信息來估計總體的信息，本題體現了統計思想，考查了用樣本估計總體． 　 16．關于x的一元二次方程（x+3）（x﹣1）=0的根是　﹣3，1?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解． 【分析】兩個因式的積為0，這兩個因式分別為0，可以求出方程的根． 【解答】解：（x+3）（x﹣1）=0 x+3=0或x﹣1=0 ∴x1=﹣3，x2=1． 故答案是：﹣3，1． 【點評】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，一個一元二次方程化為兩個因式的積為0的形式，由這兩個因式分別為0求出方程的根． 　 17．已知正方形的面積為4，則正方形的邊長為　2　，對角線長為　?。? 【考點】正方形的性質． 【分析】根據正方形的面積公式可得到正方形的邊長，根據正方形的對角線的求法可得對角線的長． 【解答】解：設正方形的邊長為x，則對角線長為=x； 由正方形的面積為4，即x2=4； 解可得x=2，故對角線長為2； 故正方形的邊長為2，對角線長為2． 故答案為2，2． 【點評】本題考查正方形的面積公式以及正方形的性質． 　 18．若關于x的方程3x2+mx+m﹣6=0有一根是0，則m=　6　． 【考點】一元二次方程的解． 【分析】本題根據一元二次方程的根的定義求解．把x=0代入方程求出m的值． 【解答】解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定義，可得m﹣6=0，解此方程得到m=6． 【點評】本題逆用一元二次方程解的定義易得出m的值． 　 19．解一元二次方程x2+2x﹣3=0時，可轉化為解兩個一元一次方程，請寫出其中的一個一元一次方程　x﹣1=0或x+3=0?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】把方程左邊分解，則原方程可化為x﹣1=0或x+3=0． 【解答】解：（x﹣1）（x+3）=0， x﹣1=0或x+3=0． 故答案為x﹣1=0或x+3=0． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）． 　 20．如圖所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到△CDA，添加一個條件　∠B=90　，使四邊形ABCD為矩形． 【考點】旋轉的性質；矩形的判定． 【分析】根據旋轉的性質得AB=CD，∠BAC=∠DCA，則AB∥CD，得到四邊形ABCD為平行四邊形，根據有一個直角的平行四邊形為矩形可添加的條件為∠B=90． 【解答】解：∵△ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到△CDA， ∴AB=CD，∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD， ∴四邊形ABCD為平行四邊形， 當∠B=90時，平行四邊形ABCD為矩形， ∴添加的條件為∠B=90． 故答案為∠B=90． 【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了矩形的判定． 　 三．解答題（共90分） 21．（24分）（2016秋?水城縣校級期中）解下列方程： （1）x2+8x﹣20=0（用配方法） （2）x2﹣2x﹣3=0 （3）（x﹣1）（x+2）=4（x﹣1） （4）3x2﹣6x=1（用公式法） 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）利用配方法得到（x+4）2=36，然后利用直接開平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）先移項得到（x﹣1）（x+2）﹣4（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程； （4）利用公式法解方程． 【解答】解：（1）x2+8x+16=36， （x+4）2=36， x+4=6， 所以x1=2，x2=﹣10； （2）（x﹣3）（x+1）=0， 所以x1=3，x2=﹣1； （3）（x﹣1）（x+2）﹣4（x﹣1）=0， （x﹣1）（x+2﹣4）=0， 所以x1=1，x2=2； （4）3x2﹣6x﹣1=0， △=（﹣6）2﹣43（﹣1）=48， x==， 所以x1=，x2=． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了配方法和公式法解一元二次方程． 　 22．（12分）（2016秋?水城縣校級期中）已知關于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0． ①m為何值時，此方程為一元二次方程？ ②當m=2時，不解方程，請判斷該方程是否有實數根？ 【考點】根的判別式． 【分析】①根據一元二次方程定義即可得； ②將m=2代入方程可得3x2﹣3x+2=0，根據根的判別式即可得． 【解答】解：①根據題意，得：m2﹣1≠0，即m≠1， 答：m≠1時，此方程為一元二次方程； ②當m=2時，方程為3x2﹣3x+2=0， ∵△=（﹣3）2﹣432=﹣15＜0， ∴方程沒有等實數根． 【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根． 　 23．（12分）（2016秋?水城縣校級期中）袋中有一個紅球和兩個白球，它們除了顏色外都相同．任意摸出一個球，記下球的顏色，放回袋中；攪勻后再任意摸出一個球，記下球的顏色．請解答下列問題： （1）兩次從袋中摸球可能出現的情況有　9　種，并用樹狀圖或列表格的方法進行表示． （2）求摸到一紅一白兩球的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）利用畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數， （2）找出一紅一白兩球的結果數，然后根據概率公式求解． 【解答】解：（1）畫樹狀圖為： 共有9種等可能的結果數； 故答案為9； （2）一紅一白兩球出現的結果數為4， 所以一紅一白兩球的概率=． 【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 　 24．（12分）（2016秋?水城縣校級期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且DE∥BC． （1）若AD=5，DB=7，EC=12，求AE的長． （2）若AB=16，AD=4，AE=8，求EC的長． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】（1）根據平行線分線段成比例，可以求得AE的長； （2）根據平行線分線段成比例，可以求得AC的長，從而可以求得EC的長． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴， ∵AD=5，DB=7，EC=12， ∴， 解得，AE=； （2））∵DE∥BC， ∴， ∵AB=16，AD=4，AE=8， ∴， 解得，AC=32， ∴EC=AC﹣AE=32﹣8=24． 【點評】本題考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 　 25．（14分）（2016秋?水城縣校級期中）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售、增加盈利盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應降價多少元？請完成下列問題： （1）未降價之前，某商場襯衫的總盈利為　900　 元． （2）降價后，設某商場每件襯衫應降價x元，則每件襯衫盈利?。?5﹣x）　元，平均每天可售出?。?0+4x）　件（用含x的代數式進行表示） （3）請列出方程，求出x的值． 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】（1）利用銷量20每件的利潤即可； （2）每件的盈利=原利潤﹣降價；銷量=原銷量+多售的數量； （3）商場平均每天盈利數=每件的盈利售出件數；每件的盈利=原來每件的盈利﹣降價數．設每件襯衫應降價x元，然后根據前面的關系式即可列出方程，解方程即可求出結果． 【解答】解：（1）2045=900， 故答案為：900； （2）降價后，設某商場每件襯衫應降價x元，則每件襯衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件， 故答案為：（45﹣x）；（20+4x）； （3）由題意得：（45﹣x）（20+4x）=2100， 解得：x1=10，x2=30． 因盡快減少庫存，故x=30． 答：每件襯衫應降價30元． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，需要注意的是：（1）盈利下降，銷售量就提高，每件盈利減，銷售量就加；（2）在盈利相同的情況下，盡快減少庫存，就是要多賣，降價越多，賣的也越多，所以取降價多的那一種． 　 26．（16分）（2010?青島）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF． （1）求證：BE=DF； （2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，FM，判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論． 【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF； （2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=90， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∵， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL） ∴BE=DF； （2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為： 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCA=∠DCA=45（正方形的對角線平分一組對角）， BC=DC（正方形四條邊相等）， ∵BE=DF（已證）， ∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性質）， 即CE=CF， 在△COE和△COF中， ， ∴△COE≌△COF（SAS）， ∴OE=OF，又OM=OA， ∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）， ∵AE=AF， ∴平行四邊形AEMF是菱形． 【點評】本題主要考查對正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．