通信原理習(xí)題-【例1-1】某數(shù)字通信系統(tǒng)用正弦載波的四.doc

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《通信原理》習(xí)題 第一章 緒論 例1-1 例1-2 例1-3 例1-4 第二章 隨機(jī)信號分析 例2-1 例2-2 第三章 信道 例3-1 例3-2 例3-3 第四章 模擬調(diào)制系統(tǒng) 例4-1 例4-2 例4-3 例4-4 第五章 數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng) 例5-1 例5-2 例5-3 例5-4 例5-5 例5-6 例5-7 第六章 正弦載波數(shù)字調(diào)制系統(tǒng) 例6-1 例6-2 例6-3 例6-4 例6-5 例6-6 第七章 模擬信號的數(shù)字傳輸 例7-1 例7-2 例7-3 例7-4 例7-5 第八章 數(shù)字信號的最佳接收 例8-1 例8-2 第九章 同步原理 例9-1 【例1-1】 某數(shù)字通信系統(tǒng)用正弦載波的四個(gè)相位0、、π、來傳輸信息，這四個(gè)相位是互相獨(dú)立的。 (1) 每秒鐘內(nèi)0、、π、出現(xiàn)的次數(shù)分別為500、125、125、250，求此通信系統(tǒng)的碼速率和信息速率； (2) 每秒鐘內(nèi)這四個(gè)相位出現(xiàn)的次數(shù)都為250，求此通信系統(tǒng)的碼速率和信息速率。 解： (1) 每秒鐘傳輸1000個(gè)相位，即每秒鐘傳輸1000個(gè)符號，故 RB=1000 Baud 每個(gè)符號出現(xiàn)的概率分別為P(0)=,P=,P(π)=,P=，每個(gè)符號所含的平均信息量為 H(X)=(1+3+2)bit/符號=1 bit/符號 信息速率Rb=(10001)bit/s=1750 bit/s (2) 每秒鐘傳輸?shù)南辔粩?shù)仍為1000，故 RB=1000 Baud 此時(shí)四個(gè)符號出現(xiàn)的概率相等，故 H(X)=2 bit/符號 Rb=(10002)bit/s=2000 bit/s 【例1-2】已知等概獨(dú)立的二進(jìn)制數(shù)字信號的信息速率為2400 bit/s。 (1) 求此信號的碼速率和碼元寬度； (2) 將此信號變?yōu)樗倪M(jìn)制信號，求此四進(jìn)制信號的碼速率、碼元寬度和信息速率。 解：(1) RB=Rb/log2M=(2400/log22)Baud=2400 Baud T == s=0.42 ms (2) RB=(2400/log24)Baud=1200 Baud T== s=0.83 ms Rb=2400 b/s 【例1-3】設(shè)一信息源的輸出由128個(gè)不同符號組成。其中16個(gè)出現(xiàn)的概率為1/32，其余112個(gè)出現(xiàn)概率為1/224。信息源每秒發(fā)出1000個(gè)符號，且每個(gè)符號彼此獨(dú)立。試計(jì)算該信息源的平均信息速率。 解：每個(gè)符號的平均信息量為 H(X)=16log232 +112log2224 =6.404 bit/符號 已知碼元速率RB=1000 Baud ,故該信息源的平均信息速率為 Rb= RBH(X)=6404 bit/s 【例1-4】一個(gè)由字母A，B，C，D組成的字，對于傳輸?shù)拿恳粋€(gè)字母用二進(jìn)制脈沖編碼，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每個(gè)脈沖寬度為5ms. (1)不同的字母是等可能出現(xiàn)時(shí)，試計(jì)算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾剩? (2)若每個(gè)字母出現(xiàn)的可能性分別為 PA=， PB=， PC=， PD= 試計(jì)算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省? 解：(1)每個(gè)字母的持續(xù)時(shí)間為25 ms，所以字母傳輸速率為 RB4==100Baud 不同的字母等可能出現(xiàn)時(shí)，每個(gè)字母的平均信息量為 H(X)= log24 =2 bit/符號 平均信息速率為 Rb= RB4H(X)=200 bit/s (2) 每個(gè)字母的平均信息量為 H(X)= -log2 -log2-log2-log2 =1.985 bit/符號 所以，平均信息速率為 Rb= RB4H(X)=198.5 bit/s 【例2-1】設(shè)隨機(jī)過程(t)可表示成(t)=2cos(2πt +) ，式中是一個(gè)離散隨機(jī)變量，且(=0)=1/2、(=/2)=1/2，試求E[(1)]及(0，1)。 解：在t=1時(shí)，(t)的數(shù)學(xué)期望為 (1)= = (=0)+(=) =2cos0+2cos =1 在t1=0時(shí)，t2=1時(shí)，(t)的自相關(guān)函數(shù) (0，1)= = =(=0)+(=) =+ =2 【例2-2】設(shè)z(t)=x1cos-x2sin是一隨機(jī)過程，若x1和x2是彼此獨(dú)立且具有均值為0、方差為的正態(tài)隨機(jī)變量，試求 (1)，； (2) z(t)的一維分布密度函數(shù)f(z)； (3)B(t1，t2)與R(t1，t2)。 解： (1) = = cos-sin =0 = = cos2-2cossin+sin2 因?yàn)?+==，同理=。 又因?yàn)閤1和x2彼此獨(dú)立，則有 = ，所以 = cos2+sin2= (2)因?yàn)閦(t)是正態(tài)隨機(jī)變量x1和x2經(jīng)線性變換所得，所以z(t)也是正態(tài)隨機(jī)過程。 同時(shí)z(t)的方差 =-= 所以z(t)的一維分布密度函數(shù) f(z)= (3) R(t1，t2)= = = = 因?yàn)?0，所以有 B(t1，t2)= R(t1，t2)- = R(t1，t2) = 【例3-1】設(shè)一恒參信道的幅頻特性和相頻特性分別為 其中，K0和td都是常數(shù)。試確定信號s(t)通過該信道后的輸出信號的時(shí)域表示式，并討論之。 解：該恒參信道的傳輸函數(shù)為 = 沖激響應(yīng)為 h(t)=K0δ(t-td) 輸出信號為 y(t)=s(t)* h(t)=K0s(t-td) 討論：該恒參信道滿足無失真條件，所以信號在傳輸過程中無畸變。 【例3-2】 黑白電視圖像每幀含有3105個(gè)像素，每個(gè)像素有16個(gè)等概出現(xiàn)的亮度等級。要求每秒鐘傳輸30幀圖像。若信道輸出S/N=30 dB，計(jì)算傳輸該黑白電視圖像所要求的信道的最小帶寬。 解： 每個(gè)像素?cái)y帶的平均信息量為 H(x)=(log216) bit/符號=4 bit/符號 一幀圖像的平均信息量為 I=(43105) bit=12105 bit 每秒鐘傳輸30幀圖像時(shí)的信息速率為 Rb=(1210530) bit/s=36 Mbit/s 令 Rb=C=Blog2（1+） 得 B= 即傳輸該黑白電視圖像所要求的最小帶寬為3.61 MHz。 【例3-3】 設(shè)數(shù)字信號的每比特信號能量為Eb，信道噪聲的雙邊功率譜密度為n0/2，試證明：信道無差錯(cuò)傳輸?shù)男旁氡菶b/n0的最小值為-1.6 dB。 證： 信號功率為 S=EbRb 噪聲功率為 N=n0B 令C=Rb，得 由此得 ， dB 【例4-1】 根據(jù)右圖所示的調(diào)制信號波形，試畫出DSB及AM信號的波形圖，并比較它們分別通過包絡(luò)檢波器后的波形差別。 解：DSB及AM波形分別如下圖(a)、(b)所示。 DSB信號通過包絡(luò)檢波后的波形圖如下圖(a)所示，AM信號通過包絡(luò)檢波后的波形圖如(b)所示?？梢?，m1(t)有嚴(yán)重失真，m2(t)無失真，說明不能用包絡(luò)檢波法解調(diào)DSB信號。 【例4-2】 某調(diào)制方框圖如下圖(b)所示。已知m(t)的頻譜如下圖(a)所示，載頻ω1<<ω2，ω1>ωH，且理想低通濾波器的截止頻率為ω1，試求輸出信號s(t)，并說明s(t)為何種已調(diào)信號。 解： 方法一：時(shí)域法 兩個(gè)理想低通輸出都是下邊帶信號，上支路的載波為cosω1t，下支路的載波為sinω1t。 d(t)=Am(t)cosω1t+A(t)sinω1t e(t)=Am(t)sinω1t-A(t)cosω1t 由此得 s(t)=f(t)+g(t) =Am(t)(cosω1t+sinω1t)cosω2t+A(sinω1t-cosω1t)sinω2t =Am(t)cos(ω2-ω1)t-Asin(ω2-ω1)t 可知，s(t)是一個(gè)載頻為ω2-ω1的上邊帶信號。 方法二：頻域法 上支路各點(diǎn)信號的頻譜表達(dá)式為 Sb(ω)=［M(ω+ω1)+M(ω-ω1)］ Sd(ω)=［M(ω+ω1)+M(ω-ω1)］HL(ω) Sf(ω)=［Sd(ω+ω2)+Sd(ω-ω2)］ 下支路各點(diǎn)信號的頻譜表達(dá)式為 Sc(ω)=［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］ Se(ω)=［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］HL(ω) Sg(ω)=Se(ω)*［δ(ω+ω2)-δ(ω-ω2)］ =［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］HL(ω)*［δ(ω-ω2)-δ(ω+ω2)］ S(ω)=Sf(ω)+Sg(ω) 各點(diǎn)信號頻譜圖如下圖所示。由圖可知，s(t)是一個(gè)載頻為ω2-ω1的上邊帶信號，即 s(t)=Am(t)cos(ω2-ω1)t-Asin(ω2-ω1)t 【例4-3】設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度Pn(f)=0.510-3 W/Hz，在該信道中傳輸振幅調(diào)制信號，并設(shè)調(diào)制信號m(t)的頻帶限制于5 kHz，載頻是100 kHz，邊帶功率為10 kW，載波功率為40 kW。若接收機(jī)的輸入信號先經(jīng)過一個(gè)合理的理想帶通濾波器，然后再加至包絡(luò)檢波器進(jìn)行解調(diào)。試求： (1) 解調(diào)器輸入端的信噪功率比； (2) 解調(diào)器輸出端的信噪功率比； (3) 制度增益G。 解： (1) Si=Sc+Sm=(40+10) kW=50 kW Ni=2Pn(f)B=(20.510-325103) W=10 W (2) SAM(t)=［A+m(t)］cosωct=Acosωct+m(t)cosωct 由已知邊帶功率值可得 包絡(luò)檢波器輸出信號和噪聲分別為 mo(t)=m(t) no(t)=nc(t) 所以，包絡(luò)檢波器輸出信號功率和噪聲功率分別為 So= =20 kW No= =Pn(f)2B=10 W 檢波器輸出信噪功率比為 (3) 制度增益為 【例4-4】 設(shè)有一個(gè)頻分多路復(fù)用系統(tǒng)，副載波用SSB調(diào)制，主載波用FM調(diào)制。如果有60路等幅的音頻輸入通路，則每路頻帶限制在3.3 kHz以下，防護(hù)頻帶為0.7 kHz。 (1) 如果最大頻偏為800 kHz，試求傳輸信號的帶寬； (2) 試分析與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的程度(假定鑒頻器輸入的噪聲是白噪聲，且解調(diào)器中無去加重電路)。 思路 本系統(tǒng)的原理方框圖如下圖所示。 因?yàn)殍b頻器輸出噪聲功率譜密度與頻率平方成正比，所以接收端各個(gè)帶通濾波器輸出噪聲功率不同，帶通濾波器中心頻率越高，輸出噪聲功率越大。鑒頻器輸出的各路SSB信號功率與它們所處的頻率位置無關(guān)，因此，各個(gè)SSB解調(diào)器輸入信噪比不同。第一路SSB信號位于整個(gè)頻帶的最低端，第60路SSB信號處于頻帶的最高端。故第60路SSB解調(diào)器輸入信噪比最小，而第1路信噪比最高。只要求出第1路和第60路SSB解調(diào)器輸入噪聲，就可以確定第60路輸出信噪比相對于第1路信噪比的降低程度。 解： (1) 60路SSB信號的帶寬為 B=［60(3.3+0.7)］ kHz=240 kHz 調(diào)頻器輸入信號的最高頻率為 fH=fL+B 當(dāng)頻分復(fù)用SSB信號的最低頻率fL=0時(shí)，fH=B=240 kHz，F(xiàn)M信號帶寬為 BFM=2(Δf+fH)=［2(800+240)］ kHz=2080 kHz (2) 鑒頻器輸出噪聲功率譜密度為 第1路SSB信號的頻率范圍為0～4000 Hz，第60路SSB信號的頻率范圍為236000～240000 Hz。對Pn(f)在不同頻率范圍內(nèi)積分，可得第1路和第60路SSB解調(diào)器的輸入噪聲。 與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的分貝數(shù)為 (10lg)dB=(10lg10621) dB≈40 dB 頻分復(fù)用SSB信號的最低頻率fL不可能為0，Ni1、Ni60隨fL增加而增加，但兩者之比減小，即與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的分貝數(shù)小于40 dB。 【例5-1】已知信息代碼為1010000011000011，試確定相應(yīng)的傳號差分碼、CMI碼、數(shù)字雙相碼、AMI碼以及HDB3碼，并分別畫出它們的波形。 解： 【例5-2】 有4個(gè)連1和4個(gè)連0交替出現(xiàn)的序列，畫出單極性非歸零碼、AMI碼、HDB3碼所對應(yīng)的波形圖。 思路 單極性非歸零碼、AMI碼的編碼規(guī)律比較簡單。對HDB3碼的編碼規(guī)律比較熟悉后即可直接由信息代碼求出HDB3碼，并進(jìn)而畫出波形圖。由于序列中4個(gè)連1和4個(gè)連0是交替出現(xiàn)的，故相鄰的4個(gè)連0碼組之間1碼的個(gè)數(shù)肯定是偶數(shù)個(gè)，因此HDB3碼中的每個(gè)取代節(jié)都應(yīng)是B00V。 解： 單極性非歸零碼、AMI碼、HDB3碼及其波形圖如下圖所示。 【例5-3】 設(shè)隨機(jī)二進(jìn)制序列中的1碼出現(xiàn)的概率為0.5，對應(yīng)一個(gè)振幅等于1、寬度等于碼元間隔Ts的矩形脈沖，0碼對應(yīng)0電平。 (1) 求其功率譜密度及功率，并畫出功率譜曲線，求譜零點(diǎn)帶寬； (2) 若1碼對應(yīng)一個(gè)占空比等于0.5的矩形脈沖，0碼仍為0電平，重新回答(1)中的問題； (3) 能否從上述兩個(gè)信號中用濾波法直接提取碼元同步所需的頻率fs=1/Ts的分量?若能，給出該分量的功率； (4) 分析離散譜fs的功率與1碼概率P的關(guān)系。 思路 第一個(gè)信號為單極性非歸零碼，第二個(gè)信號為占空比等于0.5的單極性歸零碼，它們的基本波形為DTs(t)和D0.5Ts(t)。這兩個(gè)信號都是相同波形隨機(jī)序列，可用式(5-3)求其功率譜。若功率譜中含有fs=1/Ts的離散譜，則可用濾波法直接提取頻率為fs=1/Ts的位定時(shí)信號，否則不能。 Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) (5-3) 傅氏變換對 Dτ(t)←→τSa=τ 是本課程中常用公式，此題中τ=Ts或τ=0.5Ts。 解: (1) P=0.5,a1=1,a2=0 G(f)=TsSa(πfTs)=TsSa(πf/fs) 代入式(5-3)得 Ps(f)=fs0.50.5T2sSa2(πf/fs)+f2s0.52T2sSa2(mπfs/fs)δ(f-mfs) =0.25TsSa2(πf/fs)+0.25 Sa2(mπ)δ(f-mfs) 由于 sin(mπ)=0 所以 Sa(mπ)=0 故 Ps(f)=0.25TsSa2(πf/fs) 功率譜密度曲線如下圖所示。 由圖可知，譜零點(diǎn)帶寬為Bs=fs。 信號功率為 S=Ps(f)df=0.25 TsSa2(πf/fs)df =0.25fs T2sSa2(πf/fs)df 根據(jù)帕塞瓦爾定理 T2sSa2(πf/fs)df= |G(f)|2df=D2Ts(t)dt=T2s 得 S=0.25fsTs2 =0.25Ts (2) P=0.5 G(f)=0.5TsSa(0.5πfTs)=0.5TsSa(0.5πf/fs) Ps(f)=0.0625TsSa2(0.5πf/fs)+0.0625(0.5mπ)δ(f-mfs) 功率譜密度曲線如下圖所示。 由圖可知，譜零點(diǎn)帶寬為Bs=2fs。 信號功率為 S=0.0625 TsSa2(0.5πf/fs)df+0.0625 Sa2(0.5mπ)δ(f-mfs)df =0.0625fsT2sSa2(0.5πf/fs)df+0.0625Sa2(0.5mπ) =0.0625Ts+0.0625Sa2(0.5mπ) (3) 在(1)中無頻率等于fs的離散譜，在(2)中有頻率等于fs的離散譜，故可以從(2)中用濾波法提取碼元同步信號(即位同步信號)。 頻率為fs離散譜的功率為 S=20.0625Sa2(0.5π)=(0.125sin2(0.5π)/(0.5π)2 W=0.05 W (4) 在第2個(gè)信號中有離散譜fs，若P為任意值，則此信號的離散譜為 0.25P2Sa2(0.5mπ)δ(f-mfs) 頻率為fs的離散譜功率為 S=(0.5P2sin2(0.5π)/(0.5π)2) W=0.2P2 W 小結(jié) 以矩形脈沖為基本波形的二進(jìn)制相同波形隨機(jī)序列的譜零點(diǎn)帶寬等于脈沖寬度的倒數(shù)，占空比為1時(shí)，譜零點(diǎn)帶寬在數(shù)值上等于碼速率；單極性歸零碼中含有頻率等于碼速率的離散譜，離散譜的功率隨1碼的概率增大而增大(設(shè)1碼傳送脈沖)。上述結(jié)論也可以推廣到各碼元獨(dú)立的M進(jìn)制相同波形隨機(jī)序列。 【例5-4】 設(shè)某二進(jìn)制數(shù)字基帶信號的基本脈沖為三角形脈沖，如右圖所示。圖中Ts為碼元間隔，數(shù)字信息“1”“0”分別用g(t)的有無表示，且“1”和“0”出現(xiàn)的概率相等。 (1) 求該數(shù)字基帶信號的功率譜密度； (2) 能否用濾波法從該數(shù)字基帶信號中提取碼元同步所需的頻率fs=1/Ts的分量?若能，試計(jì)算該分量的功率。 思路 將底部寬度為τ、高度為1的三角形時(shí)域函數(shù)表示為Δτ(t)，傅氏變換對為 Δτ(t)←→ 據(jù)此式可求得本題中g(shù)(t)所對應(yīng)的G(f)，再由式(5-3)即可求解。 Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) (5-3) 解： (1) P=0.5,a1=1,a2=0 G(f)= Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) =+δ(f-mfs) (2) 頻率fs=1/Ts離散譜分量為 所以可以用濾波法從該數(shù)字基帶信號中提取碼元同步所需要的頻率fs=1/Ts的分量，該分量的功率為 S=2A2/π4=0.02A2 【例5-5】 某基帶系統(tǒng)的頻率特性是截止頻率為1 MHz、幅度為1的理想低通濾波器。 (1) 試根據(jù)系統(tǒng)無碼間串?dāng)_的時(shí)域條件求此基帶系統(tǒng)無碼間串?dāng)_的碼速率。 (2) 設(shè)此系統(tǒng)傳輸信息速率為3 Mbps，能否無碼間串?dāng)_? 思路 此題需求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率特性是一個(gè)幅度為1、寬度為ω0=4π106 rad/s的門函數(shù)(雙邊頻率特性)Dω0(ω)，根據(jù)傅氏變換的對稱性可得 Dω0(ω)←→=2106Sa(2π106t) 無碼間串?dāng)_的時(shí)域條件為 式中，Ts為碼元間隔。所以，根據(jù)沖激響應(yīng)波形就可確定此系統(tǒng)無碼間串?dāng)_的碼速率。 設(shè)進(jìn)制數(shù)為任意值，根據(jù)信息速率與碼速率之間的關(guān)系求3 Mbps所對應(yīng)的碼速率，從而判斷傳輸3 Mbps信號有無碼間串?dāng)_。 解: (1) h(t)=2106Sa(2π106t) 波形如下圖所示。由圖可知，當(dāng)Ts=0.5 μs/k(k為正整數(shù))時(shí)無碼間串?dāng)_，即此系統(tǒng)無碼間串?dāng)_的碼速率為 (2) 設(shè)傳輸獨(dú)立等概的M進(jìn)制信號，則 RB=(MBd) 令 = 得 M==8n(n=1,2,…) 即當(dāng)采用8n進(jìn)制信號時(shí)，碼速率RB= (MBd)，可以滿足無碼間串?dāng)_條件。 【例5-6】 設(shè)某基帶傳輸系統(tǒng)具有右圖所示的三角形傳輸函數(shù)： (1) 當(dāng)RB=ω0/π時(shí)，用奈奎斯特準(zhǔn)則驗(yàn)證該系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)無碼間串?dāng)_傳輸? (2) 求該系統(tǒng)接收濾波器輸出基本脈沖的時(shí)間表達(dá)式，并用此來說明(1)中的結(jié)論。 思路 因RB=ω0/π，即RB=2f0，無碼間串?dāng)_頻域條件如下式 H(ω+nωs)= (5-5) 或 H(ω+nωs)=C,ω為任意值 (5-6) 對于此題給定的條件，有 根據(jù)傅氏變換的對稱性，可得 ΔΩ(ω)←→ 由此式可求得本題所給系統(tǒng)的接收濾波器輸出基本脈沖時(shí)間表達(dá)式，再根據(jù)碼速率決定抽樣時(shí)刻，從而決定有無碼間串?dāng)_。 解： (1) 方法一 將H(ω)在頻率軸上以2ω0為間隔切開，由于H(ω)的頻率范圍為(-ω0,ω0)，故切開、平移、迭加后仍為H(ω)，在|ω|<ω0范圍內(nèi)H(ω)不為常數(shù)，故系統(tǒng)有碼間串?dāng)_。 方法二 將H(ω)向左右平移2ω0的整數(shù)倍，如下圖所示。可見平移后各圖不重合，相加后不為常數(shù)，故碼速率為ω0/π時(shí)有碼間串?dāng)_。 (2) h(t)=Sa2 此即為接收濾波器輸出基本脈沖時(shí)間表達(dá)式。 因 Ts= 所以 h(kTs)= 可見 k=0,1,3,…時(shí)，h(kTs)≠0，故有碼間串?dāng)_。 【例5-7】若要求基帶傳輸系統(tǒng)誤比特率為10-6，求采用下列基帶信號時(shí)所需要信噪比 (1) 單極性非歸零碼； (2) 雙極性非歸零碼； (3) 采用格雷碼的8電平雙極性非歸零碼； (4) 7電平部分響應(yīng)信號。 解： (1) Peb=Q 查Q(x)函數(shù)表得 =45 所以 （2） Peb=Q 查Q(x)函數(shù)表得 (3) Pb=Peb/log28=Pe/3 由此得 查Q(x)函數(shù)表得=4.75 所以 (4) 當(dāng)部分響應(yīng)為7電平信號時(shí)，此系統(tǒng)傳輸?shù)臑?進(jìn)制信號 Peb=Pe/log24=Pe/2 由此得 查Q(x)函數(shù)表得=4.75 所以 【例6-1】 已知碼元傳輸速率RB=103 Bd，接收機(jī)輸入噪聲的雙邊功率譜密度n0/2=10-10 W/Hz，今要求誤碼率Pe=10-5，試分別計(jì)算出相干OOK、非相干2FSK、差分相干2DPSK以及2PSK等系統(tǒng)所要求的輸入信號功率。 思路 只要求出接收機(jī)帶通濾波器輸出噪聲功率就可以由誤碼率公式得到Pe=10-5的信噪比，從而得出信號功率。題中已給出噪聲的功率譜密度，但沒有給定收濾波器帶寬。由于OOK(即2ASK)系統(tǒng)、2DPSK系統(tǒng)、2PSK系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，它們的頻帶利用率為1/(1+α)(Bd/Hz)。若收濾波器為升余弦滾降特性，其等效噪聲帶寬為1000 Hz，可用此等效帶寬求噪聲功率。設(shè)α=1，且收濾波器的頻率特性是帶寬為2000 Hz的理想矩形，我們以此為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。非相干2FSK解調(diào)器由兩個(gè)非相干2ASK解調(diào)器構(gòu)成，兩個(gè)收濾波器的帶寬與線性系統(tǒng)一樣。 解： 設(shè)OOK、差分相干2DPSK以及2PSK的收濾波器的頻率特性是帶寬為2000 Hz的理想矩形，非相干2FSK接收機(jī)的兩個(gè)支路帶通濾波器的頻率特性也是帶寬為2000 Hz的理想矩形。在此條件下，接收機(jī)輸入噪聲功率為 N=(10-1022000) W=410-7 W (1) 相干OOK(2ASK)系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe==10-5 得 r==36.13 S=(36.13410-7) W=1.4510-5 W (2) 非相干2FSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe= 得 r=21.6 S=(21.6410-7) W=0.8610-5 W (3) 差分相干2DPSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe= 得 r=10.8 S=(10.8410-7) W=0.4310-5 W (4) 相干2PSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe=Q()=10-5 得 r=9.03 S=(9.03410-7) W=0.3610-5 W 【例6-2】 已知2FSK信號的兩個(gè)頻率f1=980 Hz，f2=2180 Hz，碼元速率RB=300 Bd，信道有效帶寬為3000 Hz，信道輸出端的信噪比為6 dB。試求： (1) 2FSK信號的譜零點(diǎn)帶寬； (2) 非相干解調(diào)時(shí)的誤比特率； (3) 相干解調(diào)時(shí)的誤比特率。 解： (1) 2FSK信號的譜零點(diǎn)帶寬為 Bs=|f2-f1|+2Rb=(2180-980+2300) Hz=1800 Hz (2) 設(shè)非相干接收機(jī)中帶通濾波器BPF1和BPF2的頻率特性為理想矩形，且?guī)挒? Hz 信道帶寬為3000 Hz，是接收機(jī)帶通濾波器帶寬的5倍，所以接收機(jī)帶通濾波器輸出信噪比是信道輸出信噪比的5倍。當(dāng)信道輸出信噪比為6 dB時(shí)，帶通濾波器輸出信噪比為 r=5100.6=54=20 2FSK非相干接收機(jī)的誤比特率為 Pb=e-r/2=e-10=2.2710-5 (3) 同理可得2FSK相干接收機(jī)的誤比特率為 Pb=Q()=Q()=Q(4.47)=3.9310-6 【例6-3】待傳送二元數(shù)字序列{ak}=1011010011： (1) 試畫出QPSK信號波形。假定fc=Rb=1/Ts，4種雙比特碼00，10，11，01分別用相位偏移0，π/2，π，3π/2的振蕩波形表示； (2) 給出QPSK信號表達(dá)式和調(diào)制器原理方框圖。 解： (1) QPSK信號波形如下圖所示。 (2) QPSK信號的表達(dá)式為 eQPSK(t)=cosφkcosωct+sinφksinωct=cos(ωct-φk) QPSK調(diào)制器原理方框圖如下圖所示，圖中x與i(t)的對應(yīng)關(guān)系為：x為1碼時(shí)，i(t)為負(fù)脈沖，x為0碼時(shí)，i(t)為正脈沖；y與q(t)的對應(yīng)關(guān)系同x、i(t)之間的關(guān)系。 【例6-4】 已知電話信道可用的信號傳輸頻帶為600～3000 Hz，取載頻為1800 Hz，試說明： (1) 采用α=1升余弦滾降基帶信號時(shí)，QPSK調(diào)制可以傳輸2400 bit/s數(shù)據(jù)； (2) 采用α=0.5升余弦滾降基帶信號時(shí)，8PSK調(diào)制可以傳輸4800 bit/s數(shù)據(jù)； (3) 畫出(1)和(2)傳輸系統(tǒng)的頻率特性草圖。 解： (1) 信道帶寬為 Bc=(3000-600) Hz=2400 Hz α=1時(shí)QPSK系統(tǒng)的頻帶利用率 ηb= bps/Hz=1 bps/Hz 數(shù)據(jù)傳輸速率 Rb=Bcηb=24001 bit/s=2400 bit/s (2) α=0.5時(shí)8PSK系統(tǒng)的頻帶利用率 ηb==2 bps/Hz 數(shù)據(jù)傳輸速率 Rb=Bcηb=24002 bit/s=4800 bit/s (3) (1)和(2)傳輸系統(tǒng)的頻率特性草圖如下圖(a)和(b)所示。 【例6-5】 QPSK系統(tǒng)，采用α=1的升余弦基帶信號波形，信道帶寬為20 MHz： (1) 求最大信息速率； (2) 將信息碼進(jìn)行(2，1，3)卷積碼編碼后再進(jìn)行傳輸，設(shè)信源信息速率、基帶波形及信道帶寬不變，設(shè)計(jì)一種調(diào)制方式并畫出系統(tǒng)方框圖； (3) 畫出QPSK系統(tǒng)的頻率特性草圖(設(shè)載頻為50 MHz)。 解：(1) ηb=log2M/(1+α)=［log24/(1+1)］ bps/Hz=1 bps/Hz 所以最大信息速率為 Rb=ηbBc=120 Mbit/s=20 Mbit/s (2) (2，1，3)卷積碼的編碼效率為0.5，故信源輸出數(shù)據(jù)經(jīng)(2，1，3)卷積編碼后，信 息速率由20 Mbit/s增大到40 Mbit/s，此時(shí)頻帶利用率為 ηb=2 bps/Hz 由定義 ηb=log2M/(1+α) 求得 M=16 可采用16QAM調(diào)制方式，16QAM系統(tǒng)的原理方框圖如下圖所示。 (3) QPSK系統(tǒng)的頻率特性草圖如下圖所示。 【例6-6】 設(shè)時(shí)頻調(diào)制信號為四進(jìn)制的四頻四時(shí)的調(diào)制結(jié)構(gòu)，試以傳送二進(jìn)制信息符號序列11100100為例畫出波形示意圖。 解：在四進(jìn)制的四頻四時(shí)調(diào)制方式中，一個(gè)雙比特代碼用四個(gè)時(shí)隙、四個(gè)頻率來表示，四個(gè)雙比特代碼00、01、10、11所對應(yīng)的四個(gè)頻率分別按如下規(guī)則編排：f1f2f3f4、f2f3f4f1、f3f4f1f2、f4f1f2f3。二進(jìn)制信號及四頻四時(shí)已調(diào)信號波形如圖6-48所示，圖中設(shè)f1=Rb、f2=2Rb、f3=3Rb、f4=4Rb。 【例7-1】 已知模擬信號抽樣值的概率密度p(x)如右圖所示。 (1) 如果按4電平進(jìn)行均勻量化，試計(jì)算信號與量化噪聲功率比； (2) 如果按8電平進(jìn)行均勻量化，試確定量化間隔和量化電平； (3) 如果按8電平進(jìn)行非均勻量化，試確定能使量化信號電平等概的非均勻量化區(qū)間，并畫出壓縮特性。 解： (1) 分層電平為 x1=-1， x2=-0.5，x3=0，x4=0.5，x5=1 量化電平為 y1=-0.75， y2=-0.25， y3=0.25， y4=0.75 信號功率為 S=x2p(x)dx=2x2(1-x)dx= 量化噪聲功率為 Nq=(x-yi)2p(x)dx=2[(x-0.25)2(1-x)dx+(x-0.75)2(1-x)dx=1/48 信號與量化噪聲功率比為 SNRq=S/Nq=8 (2) 量化間隔為 Δ=2/8=1/4 量化電平分別為 -7/8，-5/8，-3/8，-1/8，1/8，3/8，5/8，7/8 (3) 設(shè)分層電平依次為-1，-x1，-x2，-x3，0，x3，x2，x1，1，依題意 可得下列方程 解之，得 x1=0.5, x2=≈0.29, x3=≈0.13 量化電平為相鄰分層電平的平均值，依次為-0.75，-0.40，-0.21，-0.07，0.07，0.21，0.40，0.75。壓縮特性曲線如下圖所示。 【例7-2】 已知正弦信號的頻率fm=4 kHz，試分別設(shè)計(jì)一個(gè)線性PCM系統(tǒng)和一個(gè)簡單ΔM系統(tǒng)，使兩個(gè)系統(tǒng)的最大量化信噪比都滿足30 dB的要求，比較兩個(gè)系統(tǒng)的信息速率。 解: (1) LPCM系統(tǒng) ［SNRq］max=(1.76+6N) dB 令1.76+6N=30得 N=5 設(shè)抽樣頻率fs=8 kHz，則LPCM的信息速率為 Rb LPCM=85 kbit/s=40 kbit/s (2) ΔM系統(tǒng) ［SNRq］max= 令fk=4 kHz，fH=4 kHz，得 fs=118 kHz 碼速率為 Rb ΔM=118 kbit/s 可見，當(dāng)LPCM系統(tǒng)和ΔM系統(tǒng)的量化信噪比相同時(shí)，ΔM系統(tǒng)的信息速率遠(yuǎn)大于LPCM系統(tǒng)的信息速率。 【例7-3】 6路獨(dú)立信源的最高頻率分別為1 kHz、1 kHz、2 kHz、2 kHz、3 kHz、3 kHz，采用時(shí)分復(fù)用方式進(jìn)行傳輸，每路信號均采用8位對數(shù)PCM編碼。 (1) 設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的幀結(jié)構(gòu)和總時(shí)隙數(shù)，求每個(gè)時(shí)隙占有的時(shí)間寬度及碼元寬度； (2) 求信道最小傳輸帶寬。 解: (1) 若選擇抽樣頻率為6 kHz，則每路信號都符合抽樣定理的要求。不考慮幀同步碼、信令碼，幀結(jié)構(gòu)如右圖所示。每幀共6個(gè)時(shí)隙，每個(gè)時(shí)隙占有的時(shí)間寬度為27.8 μs，碼元寬度為3.5 μs。 (2) 信息速率為 Rb=(6000幀/秒)(6時(shí)隙/幀)(8 bit/時(shí)隙)=288 kbit/s 信道最小傳輸帶寬為 Bc=Rb/2=144 kHz 討論 根據(jù)抽樣定理，這6路信號的抽樣頻率可以分別為2 kHz、2 kHz、4 kHz、4 kHz、6 kHz、6 kHz。幀周期為500 μs，每幀12個(gè)時(shí)隙，6路信號占有的時(shí)隙數(shù)分別為1、1、2、2、3、3，此時(shí)幀結(jié)構(gòu)如圖7-24所示。每幀共12個(gè)時(shí)隙，每個(gè)時(shí)隙占用的時(shí)間寬度為41.7 μs，碼元寬度為5.2 μs，信息速率為Rb=(2000幀/秒)(12時(shí)隙/幀)(8 bit/時(shí)隙)=192 kbit/s，最小傳輸帶寬為96 kHz。 【例7-4】若對12路語音信號(每路信號的最高頻率均為4 kHz)進(jìn)行抽樣和時(shí)分復(fù)用，將所得脈沖用PCM基帶系統(tǒng)傳輸，信號占空比為1： (1) 抽樣后信號按8級量化，求PCM信號譜零點(diǎn)帶寬及最小信道帶寬； (2) 抽樣后信號按128級量化，求PCM信號譜零點(diǎn)帶寬及最小信道帶寬。 解：(1) Rb=(128log28) kbit/s=288 kbit/s 頻零點(diǎn)帶寬為 Bs==Rb=288 kHz 最小信道帶寬為 Bc=Rb=144 kHz (2) Rb=(128log2128) kbit/s=672 kbit/s Bs==Rb=672 kHz Bc=Rb=336 kHz 【例7-5】采用13折線A律編碼，設(shè)最小的量化級為1個(gè)單位，已知抽樣脈沖值為 -95單位。 (1) 試求此時(shí)編碼器輸出碼組，并計(jì)算量化誤差（段內(nèi)碼用自然二進(jìn)制碼）； (2) 寫出對應(yīng)于該7位碼（不包括極性碼）的均勻量化11位碼。 解：（1）設(shè)編碼器輸出8位碼組為C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 已知抽樣脈沖值Is = ―95，因?yàn)镮s<0，故 C1=0 又64<│Is│<128，故碼組位于第4段，段落碼C2 C3 C4= 011，段內(nèi)量化級間隔為4。由 95=64 + 47 +3知，碼組位于第4段內(nèi)第7量化級 故 C5 C6 C7 C8=0111 因此，輸出碼組為C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8=00110111 輸出量化電平Iw = ―(64+ 47 + 0.54) = ―94 量化誤差為│―95―(―94)│= 1個(gè)量化單位。 （2）對應(yīng)于該7位碼的均勻量化11位碼為 C1～C11=00001011110 【例8-1】設(shè)到達(dá)接收機(jī)輸入端的二進(jìn)制信號碼元s1(t)及s2(t)的波形如下圖(a)、(b)所示，輸入高斯噪聲功率譜密度為n0/2 (W/Hz)。 (1) 畫出匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)； (2) 確定匹配濾波器的沖激響應(yīng)； (3) 求系統(tǒng)誤碼率； (4) 設(shè)信息代碼為101100，1碼對應(yīng)波形為s1(t)，0碼對應(yīng)波形為s2(t)，畫出匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)各點(diǎn)波形。 解 ：(1) 匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)如下圖所示。 (2) 由題意得 h1(t)=s1(T-t)=s2(t) h2(t)=s2(T-t)=s1(t) h1(t)波形如左上圖(b)所示，h2(t)波形如左上圖(a)所示。 (3) 所以系統(tǒng)的誤碼率為 (4) 當(dāng)y(t)=s1(t)或s2(t)時(shí)，a(t)、b(t)的波形如下圖(a)、(b)、(c)、(d)所示。 根據(jù)匹配濾波器對s1(t)、s2(t)的響應(yīng)，可得當(dāng)信息代碼為101100時(shí)，最佳接收機(jī)各點(diǎn)波形，如下圖所示。 【例8-2】設(shè)二進(jìn)制FSK信號為 式中，φ1及φ2為均勻分布的隨機(jī)變量，ω2=2ω1=8 π/Ts，s1(t)和s2(t)等可能出現(xiàn)。 (1) 構(gòu)成包絡(luò)匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)； (2) 設(shè)信息代碼為10100，畫出各點(diǎn)波形； (3) 若接收機(jī)輸入高斯噪聲功率譜密度為n0/2 (W/Hz)，試求系統(tǒng)的誤碼率。 解： (1) 包絡(luò)匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)方框圖如下圖(a)所示。 (2) 當(dāng)信息代碼為10100時(shí)，最佳接收機(jī)各點(diǎn)波形如上圖(b)所示。 (3) s1(t)、s2(t)的相關(guān)系數(shù)ρ=0，每比特信號能量Eb=A20Ts/2，所以系統(tǒng)的誤碼率為 【例9-1】已知A律PCM二次群的幀同步碼為1111010000，信息速率為8448 kbit/s，每幀848個(gè)碼元且第1～10個(gè)碼元為幀同步碼，后方保護(hù)參數(shù)α=3，前方保護(hù)參數(shù)β=4，設(shè)Pe=10-6，判決門限為10。 (1) 求幀同步器的假同步概率、漏同步概率和同步建立時(shí)間； (2) 構(gòu)造一個(gè)幀同步碼識別器。 解：(1) 由題意可知 n=10， N=848， Ts=1/8448 ms， α=3， β=4， Pe=10-6 所以，漏同步概率為 Pl=(nPe)β=(1010-6)4=10-20 假同步概率為 Pj=N2-nα=848(2-30)=8.4810-7 同步建立時(shí)間為 ms=0.8 ms (2) 幀同步碼識別器如下圖所示。 《通信原理》習(xí)題 第３３頁