數(shù)字通信基礎(chǔ)與應(yīng)用第二版課后答案8章答案.doc

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8.1確定下面的多項(xiàng)式是否為本原多項(xiàng)式。提示：最簡(jiǎn)單的方法就是用LFSR，類似于圖8.8的例子。 a）1+X2+X3 b）1+X+X2+X3 c）1+X2+X4 d）1+X3+X4 e）1+X+X2+X3+X4 f）1+X+X5 g）1+X2+X5 h）1+X3+X5 i）1+X4+X5 在（a） (d) (g)還有（h）的多項(xiàng)式是簡(jiǎn)單的，剩余的為復(fù)雜的，我們采用經(jīng)典的方法來(lái)解決part(a),那就是一個(gè)不能簡(jiǎn)化的多項(xiàng)式,f(X),在m度被認(rèn)為是簡(jiǎn)單的，如果對(duì)于最小的正整數(shù)n f(X)分隔+1，n=-1,因此，對(duì)于（a）部分來(lái)說(shuō)，我們證明m=3的度時(shí)多項(xiàng)式是簡(jiǎn)單的，使得+1=+1=+1,但并沒(méi)有分隔+1,n 在1~7之間的時(shí)候，我們給出+1除以+1的式子。 ++1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0 接下來(lái)我們將全面的檢查剩余的狀況同樣適用 +X +1 1 +1 +1 +X X+1 表格8-3 題8.2 a）（7，3）R-S碼的碼元糾錯(cuò)性能如何？每碼元多少個(gè)比特？ b）計(jì)算用于表示a)中（7，3）R-S碼的標(biāo)準(zhǔn)陣的行數(shù)和列數(shù)（見(jiàn)6.6節(jié)）。 c）利用b)中的矩陣維數(shù)來(lái)提高a)中所得到的碼元糾錯(cuò)性能。 d）（7，3）R-S碼是否是完備碼？如果不是，它具有多少殘余碼元糾錯(cuò)能力？ 8.3 a）根據(jù)有限域GF(2m)（其中m=4）中的基本元素定義元素集{0，σ1，σ2，…，σ2m-2}，。 b) 對(duì)于a）中的有限域，構(gòu)造類似于表8.2的加法表。 c）構(gòu)造類似于表8.3的乘法表。 d）求解（31，27）R-S碼的生成多項(xiàng)式。 e）用（31，27）R-S碼以系統(tǒng)形式對(duì)信息{96個(gè)0，后面為10010001111}（最右端為最早出現(xiàn)的比特）進(jìn)行編碼。為什么此信息要構(gòu)造如此多的0序列？ X0 X1 X2 X3 0 0 0 0 0 α0 1 0 0 0 α1 0 1 0 0 α2 0 0 1 0 α3 0 0 0 1 α4 1 1 0 0 α5 0 1 1 0 α6 0 0 1 1 α7 1 1 0 1 α8 1 0 1 0 α9 0 1 0 1 α10 1 1 1 0 α11 0 1 1 1 α12 1 1 1 1 α13 1 0 1 1 α14 1 0 0 1 因?yàn)殡娮璧脑?，我們僅顯示這個(gè)表格中一半的內(nèi)容（即三角形部分） 加法表  乘法表  8.4用（7，3）R-S碼的生成多項(xiàng)式對(duì)信息010110111（最右端為最早出現(xiàn)的比特）進(jìn)行編碼。用多項(xiàng)式除法求解監(jiān)督多項(xiàng)式，并以多項(xiàng)式形式和二進(jìn)制形式表示最終碼字。 （除法公式 p8-7） 余數(shù)(監(jiān)督)多項(xiàng)式 P(X)=Xn-km(X)模g(X) 余數(shù)多項(xiàng)式＝監(jiān)督多項(xiàng)式＝1+α2X+α4X2+α6X3 最終碼字多項(xiàng)式U(X)＝1+α2X+α4X2+α6X3+α1X4+α3X5+α5X6 ＝ 100 001 011 101 010 110 111 監(jiān)督項(xiàng) 數(shù)據(jù)項(xiàng) 8.5 a）利用LFSR，采用（7，3）R-S碼以系統(tǒng)形式對(duì)信息{6，5，1}（最右端為最早出現(xiàn)的比特）進(jìn)行編碼，并以二進(jìn)制形式表示出最終碼字。 b）通過(guò)求碼字多項(xiàng)式在（7，3）R-S生成多項(xiàng)式g(X)根處的值，驗(yàn)證a）中所得到的碼字。 (a)對(duì)于(7,3)R-S碼，如圖8.9所示我們利用LFSR求解 依照?qǐng)D8.7 我們把信息符號(hào){6,5,1}轉(zhuǎn)換為α3α6α2, 最右邊的符號(hào)是最早的。  8.5(b) 因此，U(X)是一個(gè)合法的碼字，因?yàn)楫?dāng)計(jì)算多項(xiàng)式的根時(shí)，得到的校驗(yàn)位全部為0 8.6 a）假設(shè)習(xí)題8.5中得到的碼字在傳輸過(guò)程中由于衰耗，使得最右端6比特的值被反轉(zhuǎn)。通過(guò)求碼字多項(xiàng)式在生成多項(xiàng)式g(X)的根處的值得到每個(gè)校正子。 b）證明通過(guò)求錯(cuò)誤多項(xiàng)式e(X)在生成多項(xiàng)式g(X)根處的值可以得到與a中相同的校正子。 (a) 對(duì)于這個(gè)例子，錯(cuò)誤多項(xiàng)式可以這樣描述： 使用問(wèn)題8.5中的U(X) 接收多項(xiàng)式可以寫為： 通過(guò)計(jì)算r(X)在生成多項(xiàng)式g(X)根處的值可以得到伴隨值 8.7 a）式（8.40）所示的自回歸模型，錯(cuò)誤碼字為習(xí)題8.6中的碼字，求解每個(gè)碼元錯(cuò)誤的位置。 b）求解每個(gè)碼元錯(cuò)誤的取值。 c）利用a）和b）中得到的信息糾正這個(gè)錯(cuò)誤碼字。 使用自回歸方程（8.4.0） 找出錯(cuò)出點(diǎn)數(shù)目和 從等式（8.39）和等式（8.47），我們可以把表示成： 我們通過(guò)測(cè)試取值區(qū)域中的每個(gè)元素來(lái)決定的根。任何滿足的都是根，并且允許我們定位誤差。 說(shuō)明誤差的位置在 說(shuō)明誤差的位置在 (b)現(xiàn)在，我們認(rèn)為誤差值和與以的位置有關(guān)?，F(xiàn)在四個(gè)綜合等式中的任何一個(gè)都可以使用。從等式（8.38），我們使用和。 化成矩陣形式： 為了求出誤差值和，上面的矩陣方程用常規(guī)的辦法來(lái)轉(zhuǎn)換成： 現(xiàn)在我們。。。。。。 (c)我們通過(guò)加入加入誤差多項(xiàng)式修正了從問(wèn)題8.6中所引入的誤差，如下所示： 8.8序列1011011000101100輸入到4ⅹ4交織器，輸出序列是什么？如果將相同的輸入序列輸入到圖8.13所示的卷積交織器，輸出序列又是什么？ 塊交織 輸出 輸入 1 0 01 0 1 01 1 1 1 0 1 0 0 0 輸出 序列= 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 卷積 交織 （output） 輸出 輸入 X X X 1 0 0 1 X X X X X X 0 1 0 1 X X X X X X 1 1 1 0 X X X X X X 1 0 0 0 X X X 輸出序列= 1 X X X 0 0 X X 0 1 1 X 1 0 1 1 X 1 1 0 X X 0 0 X X X 0 8.9對(duì)于下面的各種情況，設(shè)計(jì)一個(gè)交織器，用于一個(gè)以19,200碼元/s傳輸速率工作的突發(fā)噪聲信道通信系統(tǒng)。 a）突發(fā)噪聲持續(xù)時(shí)間為250ms。系統(tǒng)碼由dmin=31的（127，36）BCH碼構(gòu)成。端到端延遲不超過(guò)5s。 b）突發(fā)噪聲持續(xù)時(shí)間為20ms。系統(tǒng)碼由編碼效率為1/2的卷積碼構(gòu)成，其反饋?zhàn)g碼算法可以在21碼元的序列中糾正3碼元錯(cuò)誤。端到端延遲不超過(guò)160ms。 (a) (127.36)碼 解碼得到： 。 因此， 得到 。 bN個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤將使解交織器的輸出不超過(guò)[b]個(gè)突發(fā)碼元錯(cuò)誤。每個(gè)輸出突發(fā)錯(cuò)誤與其余突發(fā)錯(cuò)誤之間至少由M-[b]個(gè)碼元隔開(kāi)。信道碼元率=19.2 kbit/s .突發(fā)噪聲持續(xù)時(shí)間為250ms，bN=4800. 由此，得 b=15； bN=4800; n=4800/b=320. M-b=127; M=127+15=142; 因此，一個(gè)解交織器中的塊交織（142*320）碼將會(huì)產(chǎn)生端對(duì)端延遲。 從 (140*320)碼 的交織器可算得： 延遲2MN=（2*124*320）/（19.2*）=4.8。 所以，所設(shè)計(jì)交織器的符合延遲時(shí)間。 （b）.突發(fā)噪聲持續(xù)時(shí)間為20ms，bN=384，21碼元的序列可以糾正3碼元錯(cuò)誤。 可得 b=3； bN=384; N=384/3=128; 又每個(gè)輸出突發(fā)錯(cuò)誤與其余突發(fā)錯(cuò)誤之間至少由M-[b]個(gè)碼元隔開(kāi) M-b=21; M=21+3=24 因此，一個(gè)解交織器中的塊交織（21*128） 將會(huì)產(chǎn)生端對(duì)端延遲。 延遲2MN=（2*24*128）/（19.2*）=320ms; 為符合延遲要求，選擇一個(gè)（24*128）碼的交織器，使延遲時(shí)間減半，并不超過(guò)160ms。 8.10 a）計(jì)算8.3節(jié)中討論的壓縮磁盤（CD）存儲(chǔ)數(shù)據(jù)譯碼后的字節(jié)錯(cuò)誤概率。假設(shè)磁盤的信道碼元錯(cuò)誤概率為10-3，R-S內(nèi)譯碼器和外譯碼器都具有糾2碼元錯(cuò)碼的能力，所以一個(gè)交織過(guò)程產(chǎn)生的信道碼元錯(cuò)誤與另一個(gè)不相關(guān)。 b） 此磁盤的信道碼元錯(cuò)誤概率為10-2時(shí)，重復(fù)a)的計(jì)算過(guò)程。 (a) ； 。 對(duì)于激光唱盤，解碼過(guò)程有2步，第一步中， 而第二步中， 。 PART #1 ： ； ； = PART #2： ；； ； = （b） PART #1: ; PART #2: 8.11 BPSK系統(tǒng)，信道為AWGN，接收到等概率的雙極性碼（+1或-1）。假設(shè)為單位方差噪聲。時(shí)刻k接收信號(hào)xk的值為0.11。 a）計(jì)算接收信號(hào)的兩個(gè)似然值。 b）最大后驗(yàn)判決是+1還是-1？ c）傳輸碼元為+1的先驗(yàn)概率等于0.3，則最大后驗(yàn)判決是+1還是-1？ d）假設(shè)還是c中的先驗(yàn)概率，計(jì)算對(duì)數(shù)似然比L(dk|xk)。 a)接收信號(hào)可能的比率計(jì)算為： 因?yàn)?和 所以可以得到 b)對(duì)于等概率信號(hào)，MAP的決策和最大決策的可能性相同，那就是 等于+1，因而 c)計(jì)算和 和 因?yàn)? 公式（8.66）的MAP判決條件即等于-1。 用公式（8.66），可以得到 8.12考慮8.4.3節(jié)中所描述的二維監(jiān)督校驗(yàn)碼。正如前面所述，發(fā)送碼元用序列d1，d2，d3，d4，p12，p34，p13，p24表示，編碼效率為1/2。在需要更高數(shù)據(jù)速率的一種特殊應(yīng)用中，允許輸出序列將監(jiān)督位每隔一比特丟棄一比特，由此得到總的編碼效率為2/3。輸出序列為d1，d2，d3，d4，p12，_，p13，_（監(jiān)督比特p34和p24沒(méi)有發(fā)送）。發(fā)送序列為{di},{pij}=+1-1-1+1+1-1，這里i和j為位置坐標(biāo)。噪聲將數(shù)據(jù)和監(jiān)督序列改變?yōu)閧xk}=0.75，0.05，0.10，0.15，1.25，3.0，這里k是時(shí)間序號(hào)。計(jì)算經(jīng)過(guò)二次平行和二次垂直迭代后的軟輸出。假設(shè)單位噪聲方差。 該通道的測(cè)量值為以下LLR的值 接受信號(hào)的軟輸出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： 我們可以寫成橫向和縱向公式計(jì)算如下 使用公式（8.73）的近似關(guān)系和前提條件，我們可以計(jì)算出的值。因?yàn)檫@些檢驗(yàn)位不被傳輸，L(d)開(kāi)始也設(shè)置為零。計(jì)算的產(chǎn)率值為: 計(jì)算的產(chǎn)率值為： 產(chǎn)率值的第二個(gè)迭代： 我們注意到，在這種情況下，震蕩的值第二次迭代后等于第一次迭代后的值。因此，進(jìn)一步的迭代不會(huì)有任何性能上的改善。軟輸出的可能值計(jì)算公式為： 因此，我們得到： 使用公式（8.111）的MAP判決公式，解碼器決定發(fā)送序列+1-1-1 +1是正確的。如果沒(méi)有編碼，四個(gè)數(shù)據(jù)位中的兩個(gè)就會(huì)出錯(cuò)。 8.13考慮如圖8.26所示的兩個(gè)RSC編碼器的并行鏈接。交織器的分組大小為10，將輸入序列{dk}映射到{dk}，交織器的置換為[6,3,8,9,5,7,1,4,10,2]，也就是說(shuō)，輸入的第1比特映射到位置6，第2比特映射到位置3，等等。輸入序列為（0,1,1,0,0,1,0,1,1,0）。假設(shè)分量編碼器開(kāi)始于全零狀態(tài)，并且沒(méi)有強(qiáng)加的終止比特使其返回到全零狀態(tài)。 a）計(jì)算10比特監(jiān)督序列{v1k}。 b）計(jì)算10比特監(jiān)督序列{v2k}。 c）開(kāi)關(guān)對(duì)序列{vk}執(zhí)行穿插操作，使其為：v1k，v2(k+1)，v1(k+2)，v2(k+3)，編碼效率為1/2。計(jì)算輸出碼字的重量。 d）以MAP算法進(jìn)行譯碼，如果編碼器不終止，則初始化狀態(tài)量度和分支量度需要做哪些改變？ a)輸出校驗(yàn)序列被賦值為0,1,0,0,1,0,1,1,1,1。在這個(gè)例子中，編碼器不是被迫回到全0狀態(tài)，所以沒(méi)有尾巴位。 b)輸入序列是根據(jù)模式插入的。根據(jù)給定的輸入序列和插入模式，插入序列為:0,0,1,1,0,0,1,1, 0,1. c)根據(jù)a)、b)部分的兩個(gè)檢驗(yàn)序列和震蕩模式，我們可以得到整個(gè)編碼的校驗(yàn)序列。它是： 0,0,0,0,1,1,1,0,1,1。 由給定的傳輸序列：0,1,1,0,0,1,0,1,1,0。我們得到：總長(zhǎng)度=數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度+檢驗(yàn)序列長(zhǎng)度=5+5=10。 d)由于編碼器左未結(jié)束，我們要改變反向狀態(tài)度量初始化的條件。塊結(jié)束反向狀態(tài)指標(biāo)都設(shè)置為相同的值。即替代用值1僅代表全零的狀態(tài)和值1代表其他狀態(tài)。而且先驗(yàn)中的最后一個(gè)分支度量特利斯概率都設(shè)置為0.5，因?yàn)闆](méi)有可用的先驗(yàn)信息。 8.14 a）對(duì)于圖P8.1所示的非遞歸編碼器，計(jì)算所有碼字的最小距離。 b）對(duì)于圖8.26所示的遞歸編碼器，計(jì)算所有碼字的最小距離。假設(shè)沒(méi)有穿插操作，編碼效率為1/2。 c）對(duì)于圖8.26所示的編碼器，如果每個(gè)分量編碼器的輸入都是重量為2的序列（00…00100100…00），試討論它對(duì)輸出碼字重量有何影響。 d）假設(shè)重量為2的序列為（0…0010100…00），重復(fù)c）的討論。 圖P8.1 非遞歸分量碼的編碼器 a)雖然生成多項(xiàng)式對(duì)兩個(gè)組件代碼是相同的，但是它們的最小距離不同，因?yàn)榈谝徊糠值拇a，數(shù)據(jù)和奇偶校驗(yàn)位被傳輸，而第二部分的代碼只有序列部分被傳輸。而且我們不傳輸交錯(cuò)數(shù)據(jù)位。最小長(zhǎng)度為輸入序列的寬度-1 (000. . . 000 1000…000).不管怎么交錯(cuò)選擇，具有重量1的輸入序列總是出現(xiàn)在第二個(gè)編碼器的輸入。在圖P8.1所示的編碼器，分量碼有3個(gè)和2個(gè)最小距離。因此，整體的代碼將有一個(gè)最小距離等于3 +2 = 5。 （b）由于編碼已在8.26給出了，組件代碼有個(gè)遞推的表格。如果我們輸入無(wú)限長(zhǎng)序列碼1進(jìn)入組件代碼。輸出的代碼為（000……0001110110110……110……）。因此，對(duì)于輸入時(shí)無(wú)限的編碼1輸出也是無(wú)限的。當(dāng)碼3序列輸入已知時(shí)，最小的無(wú)限長(zhǎng)的代碼的輸出碼字可以求出。對(duì)于碼3輸入，輸出是（000…… 000101000…… 000）。當(dāng)碼3是交錯(cuò)的，所以序列3的連續(xù)性受到破壞。因此，第二次編碼是不可能產(chǎn)生其他的最小輸出碼字。我們可以確定的最小輸出碼字距離比最小碼字更有意義。 (c)在8.26，碼二序列被輸入到編碼器中，輸出地編碼是（00…… 00111100…… 00）。輸出序列是自終止的，如果錯(cuò)位沒(méi)有打亂（００……?。埃埃保埃埃保埃啊。埃埃?，從第二級(jí)的輸出編碼格式是（００……?。埃埃保保保保埃啊。埃埃?。最后的輸出地碼是２＋２（４）＝１０． （ｄ）　碼二序列（00…… 0010100…… 00）輸出到編碼器中，輸出地是（00…… 001101011011011011011……）。輸出系列不是自終止的。如果錯(cuò)碼器沒(méi)有打亂（00…… 0010100…… 00）序列，兩個(gè)編碼器的輸出都將有很大的碼。（c）(d)強(qiáng)調(diào)turbo碼重要的方面以便錯(cuò)碼器可以改變輸入序列。當(dāng)數(shù)據(jù)輸入，輸出碼字將有更高比重。 8.15考慮圖8.25a所示的用于turbo分量碼的編碼器。其4狀態(tài)網(wǎng)格圖如圖8.25b所示。編碼效率為1/2，分支上的標(biāo)號(hào)uv分別表示每個(gè)輸出分支碼字，u表示數(shù)據(jù)比特（系統(tǒng)碼），v表示監(jiān)督比特，每個(gè)時(shí)刻k傳輸一個(gè)數(shù)據(jù)比特和一個(gè)監(jiān)督比特。從解調(diào)器接收到的信號(hào)在時(shí)刻k=1受噪聲干擾的u，v為1.9，0.7，在時(shí)刻k=2為-0.4，0.8。假設(shè)數(shù)據(jù)比特為1或0的先驗(yàn)概率是相等的，而且編碼器開(kāi)始于時(shí)刻k=1的全零狀態(tài)，并假設(shè)噪聲方差為1.3?；仡橬比特的數(shù)據(jù)序列是由N個(gè)轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔和N+1個(gè)狀態(tài)來(lái)描述的。所以在這個(gè)例子中，數(shù)據(jù)比特開(kāi)始于時(shí)刻k=1和2，我們感興趣的狀態(tài)度量在時(shí)刻k=1，2，3。 a）計(jì)算用于MAP算法的時(shí)刻k=1和k=2的分支量度。 b）計(jì)算時(shí)刻k=1，2和3的前向狀態(tài)量度。 c）時(shí)刻k=2和3的后向狀態(tài)量度由表P8.1給出。根據(jù)表中的值和a）、b）中計(jì)算得到的值，計(jì)算時(shí)刻k=1和k=2的各個(gè)數(shù)據(jù)比特的似然率。根據(jù)MAP判決準(zhǔn)則求解最可能的數(shù)據(jù)比特序列。 表P8.1 βkm k=2 k=3 m=a 4.6 2.1 m=b 2.4 11.5 m=c 5.7 3.4 m=d 4.3 0.9 度量科的計(jì)算使用公式（8.140）。我們假設(shè)=1,在任意k下。的經(jīng)驗(yàn)值是1.5對(duì)所有k 。00,10,01和11分別代表a,b,c,d四個(gè)狀態(tài)。 使用在8.25b中所示的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，我們計(jì)算度量科在k=1情況下。 編碼器在a狀態(tài)開(kāi)始在k=1時(shí)，因此我們假設(shè)字母表上的其他均為0除了a為1。在這兒我們僅需要的值，其他的六個(gè)是不需要的。由于===0,我們可以重復(fù)計(jì)算在k=2時(shí)， （b）我們只需要的值，其他的四個(gè)不需要。由于==0.我們有下述的初始化條件： 我們可以獲得下面的值在k=2時(shí)。 在k=3時(shí)的近似值如下： d的值代表在k=3時(shí)的各個(gè)狀態(tài)。因此沒(méi)有使用在計(jì)算對(duì)數(shù)似然比上。 （c） K=1時(shí)， K=2時(shí)， 8.16假設(shè)題8.15所得到的序列其實(shí)是通過(guò)穿插1/2編碼效率（由圖8.25b定義）所得到的2/3碼率的編碼。穿插就是每產(chǎn)生兩個(gè)監(jiān)督比特只發(fā)送一個(gè)。所以這個(gè)4信號(hào)的序列分別表示數(shù)據(jù)碼元，監(jiān)督碼元，數(shù)據(jù)碼元，數(shù)據(jù)碼元。計(jì)算用于MAP算法的時(shí)刻k=1和k=2的分支量度和前向狀態(tài)量度。 在時(shí)間k=1,分支量度和題目8.15中計(jì)算出來(lái)的是相同的，這是由于就編碼效率來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)比特和奇偶效驗(yàn)位都被傳送。然而，在下一個(gè)區(qū)間中，奇偶效驗(yàn)位被穿插，所以我們只獲得數(shù)據(jù)比特。當(dāng)計(jì)算分支量度時(shí)，我們要考慮到這個(gè)。我們忽略了奇偶效驗(yàn)位元素，因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)間內(nèi)，它對(duì)分支量度的值沒(méi)有任何影響。 在k=1, =0.07 =3.69。只有在這里才需要這兩個(gè)的值。另外六個(gè)并不需要，因?yàn)?=。 當(dāng)時(shí)間k=2時(shí)，我們只考慮對(duì)數(shù)據(jù)比特的貢獻(xiàn)，計(jì)算如下： = (1)(0.5) exp[(1/1.3)(-0.4)(-1)]=0.68 = (1)(0.5) exp[(1/1.3)(-0.4)(1)]=0.37 = (1)(0.5) exp[(1/1.3)(-0.4)(-1)]=0.68 = (1)(0.5) exp[(1/1.3)(-0.4)(1)]=0.37 這里我們只需要四個(gè)值。另外四個(gè)并不需要，因?yàn)?=0。根據(jù)以上所述我們能用一般方法計(jì)算出正向狀態(tài)量度。在時(shí)間k=2時(shí)，正向狀態(tài)量度與前面的題目有相同的值，但是對(duì)于時(shí)間k=3, 正向狀態(tài)量度需要根據(jù)分支量度的新值重新計(jì)算。 在時(shí)間k=2, =0.07和=3.69，然而==0 在時(shí)間k=3: = - =(0.07)(0.68)=0.05 =-=(0.07)(0.37)=0.03 =-=(3.69)(0.37)=1.37 =-=(3.69)(0.68)=2.5 通過(guò)公式（8.140）來(lái)計(jì)算分支量度。假設(shè)=1對(duì)于所有k都成立，的一個(gè)算術(shù)值是0.5。使用圖8.25b中的框架，我們計(jì)算時(shí)間k=1023時(shí)，八個(gè)分支度量中的每一個(gè)，在k=1024時(shí)對(duì)于那些分支度量，重復(fù)同樣的工作就行。 對(duì)于時(shí)間k=1023: =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(-1)+(-0.8)(-1)]﹜=0.41 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(1)+(-0.8)(1)]﹜=0.61 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(-1)+(-0.8)(1)]﹜=0.22 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(1)+(-0.8)(-1)]﹜=1.16 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(-1)+(-0.8)(-1)]﹜=0.41 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(1)+(-0.8)(1)]﹜=0.61 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(-1)+(-0.8)(1)]﹜=0.22 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(1.3)(1)+(-0.8)(-1)]﹜=1.16 對(duì)于時(shí)間k=1024,我們只需要下面兩個(gè)分支量度： =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(-1.4)(-1)+(-0.9)(-1)]﹜=1.26 =(1)(0.5)exp﹛(1/2.5)[(-1.4)(1)+(-0.9)(1)]﹜=0.2 譯碼器以狀態(tài)a結(jié)束，所以在終端時(shí)間k=1025時(shí)，我們假設(shè)反向狀態(tài)量度值，都是0除了在狀態(tài)a處值是1。的值可以通過(guò)式（8.136）計(jì)算。所以我們有如下初始情況： =1 ===0 8.17用作turbo碼分量碼的4狀態(tài)碼的框圖如圖8.25b所示。編碼效率為1/2，分支上的標(biāo)號(hào)uv表示每個(gè)輸出分支碼字，u表示數(shù)據(jù)比特（系統(tǒng)編碼），v表示監(jiān)督比特。解調(diào)器接收到N=1024個(gè)樣值的分組。假設(shè)第一個(gè)信號(hào)到達(dá)的時(shí)刻為k=1，每個(gè)時(shí)刻k接收到一個(gè)含噪數(shù)據(jù)比特和監(jiān)督比特。在時(shí)刻k=1023，接收的含噪信號(hào)u，v的值分別為1.3,-0.8，在時(shí)刻k=1024，其值分別為1.4,-0.9。假設(shè)數(shù)據(jù)比特取值為1或0的先驗(yàn)概率相等，編碼器在時(shí)刻k=1025結(jié)束于狀態(tài)a=00。噪聲方差等于2.5。 a）計(jì)算時(shí)刻k=1023和k=1024的分支量度。 b）計(jì)算時(shí)刻k=1023，1024和1025的后向狀態(tài)量度。 c）時(shí)刻k=1023和k=1024的前向狀態(tài)量度值由表P8.2給出。根據(jù)表中的值和a）、b）中計(jì)算得到的值，計(jì)算時(shí)刻k=1023和k=1024的各個(gè)數(shù)據(jù)比特的似然率。根據(jù)MAP判決準(zhǔn)則確定最可能的數(shù)據(jù)比特序列。 表P8.2 αkm k=1023 k=1024 m=a 6.6 12.1 m=b 7.0 1.5 m=c 4.2 13.4 m=d 4.0 5.9 從格子圖和方程（8.136）,我們得到如下關(guān)系。對(duì)于k=1024: ==(1)(1.26)=1.26 ==(1)(0.2)=0.2 對(duì)于這個(gè)例子，我們不需要計(jì)算k=1023時(shí)的反向狀態(tài)量度： 對(duì)數(shù)似然比的值由下面方程給出： L()=log 當(dāng)k=1023時(shí)： L()=log=0.31 當(dāng)k=1024時(shí)： L()=log= -1.74 由于L()>0, 我們選擇數(shù)據(jù)比特1023等價(jià)于二進(jìn)制1。 由于L()<0, 我們選擇數(shù)據(jù)比特1024等價(jià)于二進(jìn)制0。 下面的格子圖（有量度注釋）能夠簡(jiǎn)化上面的計(jì)算。 8.18給定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的含噪信號(hào)的觀測(cè)值x1和x2，證明對(duì)數(shù)似然率（LLR）L(d|x1,x2)可由單個(gè)LLR表示為： L(d|x1,x2)=L(x1|d)+L(x2|d)+L(d) 這里L(fēng)(d)是數(shù)據(jù)比特d的先驗(yàn)LLR。 L（d｜x）=log[] 單獨(dú)觀察和 L（d｜,）=log[] 從方程（8.67），我們可以寫出對(duì)數(shù)似然比（LLR） L（d｜x）=log[]+ log[]= L（d｜x）+ L（d） 運(yùn)用貝葉斯公式，我們可以觀察到 P（d=j｜,=== 和是獨(dú)立統(tǒng)計(jì)的，那么我們可以寫出 P（d=j｜, 我們可以把對(duì)數(shù)似然比LLR寫成 L（d｜,）=log[] = log[]+ log[]+ log[] = L（｜d）+ L（｜d）+ L（d） 8.19 a）根據(jù)Bayes定理，描述式（8.129）和式（8.130b）中的變換αkm的詳細(xì)步驟。提示：采用形如式（8.121）和（8.122）的簡(jiǎn)單字母標(biāo)號(hào)機(jī)制。 b）解釋由式（8.130a）中的狀態(tài)m總和如何得到式（8.130b）的表達(dá)式。 c）重復(fù)a）詳細(xì)說(shuō)明如何由式（8.133）推導(dǎo)出式（8.135），并解釋由時(shí)刻k+1的狀態(tài)m的總和如何得到式（8.135）的表達(dá)式。 （a） 從方程（8.129） = A B C D E P(A,B,C,D｜E)= = = = P( (b) 對(duì)所有從0到制定從狀態(tài)m到對(duì)應(yīng)的輸入j的狀態(tài)的返回，得出方程（130b）。 P( 先前給予一個(gè)輸入j和狀態(tài)，完全定義了路徑這個(gè)狀態(tài)。 （c） 方程（8.133） = A B C D E P(A,B,C,D｜E)= = = = P( 完全定義了路徑這下一個(gè)狀態(tài),得出方程（8.135）。 P( 8.20從式（8.139）的分支量度δki,m開(kāi)始，解釋推導(dǎo)出式（8.140）的詳細(xì)步驟，并指出哪些項(xiàng)可以看作是式（8.140）中的常量Ak，為什么式（8.141a）無(wú)Ak項(xiàng)？ 起始于方程（8.139） =exp[-]d exp[-] d 考慮到指數(shù)項(xiàng)不同，我們有 exp{-[-2+]}=exp{-[]}exp{} 對(duì)于第二項(xiàng)指數(shù)同樣地，我們得到 exp{-[]}exp{} 然后 exp{-[]} exp{-[]} exp{} 觀察=1，=1，然后 exp{-[]} exp{-[]} exp{} 在方程（8.140）中第一個(gè)三類項(xiàng)被定義為，而在方程（8.141a）形成了項(xiàng)，它在分子分母在都出現(xiàn)。。。 8.21利用圖8.27所示的交織器（與編碼器的交織器相同）來(lái)確認(rèn)DEC1的輸出序列與序列{y2k}的時(shí)間順序是否相同。這能否以一種比較簡(jiǎn)單的方式實(shí)現(xiàn)？在較低的線上使用解交織器結(jié)果會(huì)如何？如果這樣做，那么可以去掉輸出端前面的兩個(gè)解交織器。解釋不能這樣做的原因。 8.22在Viterbi譯碼算法的實(shí)現(xiàn)中，使用了相加-比較-選擇（ACS）處理過(guò)程。但是在turbo譯碼的最大后驗(yàn)概率（MAP）算法中不存在這種轉(zhuǎn)移之間的比較和選擇。MAP算法在每個(gè)時(shí)間間隔結(jié)合了分支和狀態(tài)量度。解釋兩種算法之間存在這種差異的原因。 在維特比算法中，增加的比較選擇處理器展示了一種通過(guò)一個(gè)特定序列的一個(gè)解碼格子高效率地產(chǎn)生最大概似法途徑的技術(shù)。最大值推納(MAP)算法，不同于維特比算法，能夠發(fā)現(xiàn)每個(gè)信號(hào)時(shí)間間隔的似然比，為了形成似然比，需要從此時(shí)刻起使用與那間隔時(shí)間相關(guān)分支的所有統(tǒng)計(jì)信息 做最大值推納算法。其中所有的信息都不能丟失。 8.23圖P8.2所示為遞歸系統(tǒng)卷積（RSC）編碼器，碼率為1/2，K=4。注意此圖采用1比特延遲單元而不是存儲(chǔ)單元（見(jiàn)8.4.7.4節(jié)）。所以電路的當(dāng)前狀態(tài)可以用結(jié)點(diǎn)ak-1，ak-2和ak-3處的信號(hào)電平描述，類似于使用存儲(chǔ)單元時(shí)的狀態(tài)描述方式。構(gòu)造一張類似于表8.5的表格，指出電路所有可能的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，并根據(jù)表格畫出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖。 圖P8.2 遞歸系統(tǒng)卷積（RSC）編碼器，碼率1/2，K=4 uv 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 哪里的v是,,和的模數(shù)-2集合？ 8.24圖P8.3所示為遞歸系統(tǒng)卷積（RSC）編碼器，碼率為2/3，K=3。注意此圖采用1bit延遲單元的表示形式而不是存儲(chǔ)單元（見(jiàn)8.4.7.4節(jié)）。構(gòu)造一張類似于表8.5的表格，指出這個(gè)電路所有可能的轉(zhuǎn)移，并根據(jù)該表格畫出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖。利用類似于表8.6的表格，求出信息序列1100110011的輸出碼字。每個(gè)時(shí)鐘周期，數(shù)據(jù)比特以{d1k，d2k}的形式輸入電路，每個(gè)輸出碼字{d1k，d2k，vk}由這一數(shù)據(jù)對(duì)和一個(gè)監(jiān)督比特vk組成。 圖P8.3 遞歸系統(tǒng)卷積（RSC）編碼器，碼率為2/3，K=3 啟動(dòng)狀態(tài) 輸入位 平價(jià)輸出 當(dāng)前位 結(jié)束狀態(tài) a a d d v= a+d a= d +d +v a a+ d v 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 8.24(contd) 序數(shù) k 輸入比特 奇偶輸出 當(dāng)前比特 k時(shí)刻狀態(tài) k+1時(shí)刻結(jié)束狀態(tài) d1k d2k vk= ak-2+d2k ak=d1k +d2k+vk ak-1 ak-2 ak ak-1+d1k+vk 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 輸出比特流（數(shù)據(jù)位+奇偶位）為：111 000 110 001 110 8.25考慮由兩個(gè)4狀態(tài)卷積碼作為分量碼組成的Turbo碼，每個(gè)卷積碼如圖7.25b的網(wǎng)格圖所示。編碼效率等于1/2，分組長(zhǎng)度等于12。第二個(gè)編碼器是無(wú)左終端接頭的。與帶終端編碼器相關(guān)聯(lián)的分支量度、前向狀態(tài)量度、后向狀態(tài)量度由下面的矩陣描述。接收到的12個(gè)信號(hào)矢量由數(shù)據(jù)信號(hào)、監(jiān)督信號(hào)、數(shù)據(jù)信號(hào)、監(jiān)督信號(hào)…等等組成，取值如下： 1.2 1.3 -1.2 0.6 -0.4 1.9 -0.7 -1.9 -2.2 0.2 -0.1 0.6 分支δki,m矩陣為 阿爾發(fā)（αkm）矩陣為 貝塔（βkm）矩陣為 計(jì)算這6個(gè)數(shù)據(jù)比特的對(duì)數(shù)似然率，并根據(jù)MAP判決準(zhǔn)則，確定最可能的發(fā)送數(shù)據(jù)比特序列。 可能性速率的表達(dá)式如下： 我們?cè)趉=6次的區(qū)間上計(jì)算上述。按照?qǐng)D8.25b中的網(wǎng)格得出的四態(tài)字符編碼，這一關(guān)系可以表述如下： 現(xiàn)在，我們所給矩陣中的元素用以上公式替換相應(yīng)的指數(shù)。以下是求得的可能性速率值： 這樣，MAP的最終6比特序列為：1 0 0 0 0 0。