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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)
一、單項(xiàng)選擇題
1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ A ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x
2. 若= 2，則k =（ A ）．
A．1 B．-1 C．0 D．
3．下列等式不成立的是（ D ）．
A． B．
C． D．
4．若，則=（ D ）
2、.
A. B. C. D.
5. （ B ）．
A． B． C．
D．
6. 若，則f (x) =（ C ）．
A． B．- C． D．-
7. 若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )．
A． B．
C． D．
8．下列定積分中積分值為0的是（ A ）．
A． B．
C．
3、 D．
9．下列無(wú)窮積分中收斂的是（ C ）．
A． B． C． D．
10．設(shè)(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（ B ）．
A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不對(duì)
11．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程．
A． B．
C． D．
12．微分方程的階是（ C ）.
A. 4 B. 3
4、 C. 2 D. 1
13．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1, 3）的曲線為（ C ）．
A． B． C． D．
14．下列函數(shù)中，（ C ）是的原函數(shù)．
A．- B． C． D．
15．下列等式不成立的是（ D ）．
A． B．
C． D．
16．若，則=（ D ）.
A. B. C. D.
17. （ B ）．
5、
A．B． C． D．
18. 若，則f (x) =（ C ）．
A． B．- C． D．-
19. 若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )．
A． B．
C． D．
20．下列定積分中積分值為0的是（ A ）．
A． B．
C． D．
21．下列無(wú)窮積分中收斂的是（ C ）．
A． B． C． D．
22．下列
6、微分方程中，（ D ）是線性微分方程．
A． B．
C． D．
23．微分方程的階是（ C ）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
24.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（ A ）.
A. 奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)
25. 若，則( A )．
A. B. C. D.
26. 曲線在處的切線方程為( A ).
A．
7、 B．
C． D．
27. 若的一個(gè)原函數(shù)是, 則=（ D）．
A． B． C． D．
28. 若, 則（ C ）.
A. B. C. D.
二、填空題
1． ．
2．函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) ．
3．若，則 .
4．若，則= .
5． 0 .
6． 0 ．
7．無(wú)窮積分是 收斂的 ．（判別其斂散性）
8．設(shè)邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，
8、則平均收入函數(shù)為2 + ．
9. 是 2 階微分方程.
10．微分方程的通解是 ．
11．
12．。答案：
13．函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是 ．
14．若，則 . 答案：
15．若，則= .
答案：
16． . 答案：0
17． ．答案：0
18．無(wú)窮積分是 ．答案：1
19. 是 階微分方程. 答案：二階
20．微分方程的通解是 ．答案：
21. 函數(shù)的定義域是(-2,-1)U(-1,2]．
22. 若，則 4 ?。?
23.
9、 已知，則= 27+27 ln3 ．
24. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，
且則 1?。?
25. 若, 則 -1/2 ?。?
(三) 判斷題
11. . ( )
12. 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則一定在點(diǎn)處可微. ( )
13. 已知，則= （ √ ）
14. . （ ）.
15. 無(wú)窮限積分是發(fā)散的. ( √
三
10、、計(jì)算題
⒈ ⒈ 解
2． 2．解
3．
3．解
4．
4．解 =
=
5．
5．解 =
= =
6．
6．解
7．
7．解 ===
8．
8．解 =-==
9．
9．解法一 =
=＝=1
解法二 令，則
11、 =
10．求微分方程滿足初始條件的特解．
10．解 因?yàn)? ，
用公式
由 ， 得
所以，特解為
11．求微分方程滿足初始條件的特解．
11．解 將方程分離變量：
等式兩端積分得
將初始條件代入，得 ，c =
所以，特解為：
12．求微分方程滿足 的特解.
12．解：方程兩端乘以，得
即
兩邊求積分，得
12、 通解為：
由，得
所以，滿足初始條件的特解為：
13．求微分方程 的通解．
13．解 將原方程分離變量
兩端積分得 lnlny = lnC sinx
通解為 y = eC sinx
14．求微分方程的通解.
14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程，
，
用公式
13、
15．求微分方程的通解．
15．解 在微分方程中，
由通解公式
16．求微分方程的通解．
16．解：因?yàn)椋?，由通解公式?
= =
=
17．
解
= =
18．
解：
19．
解：
=
20．
解：
=（答案：
21．
解：
22．
解 =
23．
24.
14、
25．
26．設(shè)，求
27. 設(shè)，求.
28．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.
29．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
四、應(yīng)用題
1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元)，且邊際成本為=2x + 40(萬(wàn)元/百臺(tái)). 試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低.
1．解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為
== 100（萬(wàn)元）
又 = =
15、
令 ， 解得.
x = 6是惟一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小.
2．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？
2．解 因?yàn)檫呺H利潤(rùn)
=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500
x = 500是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)
16、，利潤(rùn)最大.
當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為
=500 - 525 = - 25 （元）
即利潤(rùn)將減少25元.
3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為(x)=100-2x（萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？
3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百臺(tái)）
又x = 10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問(wèn)題確實(shí)存在最大
17、值，故x = 10是L(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大.
又
4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬(wàn)元)，求最低平均成本.
4．解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為
=
當(dāng)x = 0時(shí)，C(0) = 18，得 c =18
即 C(x)=
又平均成本函數(shù)為
令 ， 解得x = 3 (百臺(tái))
該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時(shí)，平均成本最低. 最底平均成本為
18、 (萬(wàn)元/百臺(tái))
5．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬(wàn)元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時(shí)的邊際收入為（萬(wàn)元/百噸），求：
(1) 利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；
(2) 在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？
5．解：(1) 因?yàn)檫呺H成本為 ，邊際利潤(rùn) = 14 – 2x
令，得x = 7
由該題實(shí)際意義可知，x = 7為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.
(2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為
=112
19、 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬(wàn)元）
即利潤(rùn)將減少1萬(wàn)元.
6．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元)，且邊際成本為=2x + 40(萬(wàn)元/百臺(tái)). 試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低.
解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為
== 100（萬(wàn)元）
又 = =
令 ， 解得.
x = 6是惟一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小.
7．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本
20、為18(萬(wàn)元)，求最低平均成本.
解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為
=
當(dāng)x = 0時(shí)，C(0) = 18，得 c =18
即 C(x)=
又平均成本函數(shù)為
令 ， 解得x = 3 (百臺(tái))
該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時(shí)，平均成本最低. 最底平均成本為
(萬(wàn)元/百臺(tái))
8．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為(x)=100-2x（萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大
21、時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？
解：已知(x)=8x(萬(wàn)元/百臺(tái))，(x)=100-2x，則
令，解出唯一駐點(diǎn)
由該題實(shí)際意義可知，x = 10為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 因此，當(dāng)產(chǎn)量為10百臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大.
從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)的改變量為
（萬(wàn)元）
即利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元.
9．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬(wàn)元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時(shí)的邊際收入為（萬(wàn)元/百噸），求：
(1) 利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；
(2) 在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？
解：(1) 因?yàn)檫呺H成本為 ，邊際利潤(rùn) = 14 – 2x
令，得x = 7
由該題實(shí)際意義可知，x = 7為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.
(2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬(wàn)元）
即利潤(rùn)將減少1萬(wàn)元.
8
