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1、
基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì)
1、 數(shù)字帶阻IIR濾波器設(shè)計(jì)
IIR數(shù)字濾波器在很多領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用。與FIR數(shù)字濾波器相比,它可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性,所用存儲單元少,經(jīng)濟(jì)而效率高,在相同門級規(guī)模和相同時(shí)鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的方法。
設(shè)計(jì)步驟如下：
步驟1：將數(shù)字濾波器H(z)的技術(shù)指標(biāo)ωp和ωs，通過Ω＝tan(ω/2)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo)Ωp和Ωs，作歸一化處理后，得到ηp＝1，ηs＝Ωs/Ωp；
步驟2：化解為模擬原型濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo)；
步驟3：設(shè)計(jì)模擬
2、原型濾波器G(p)；
步驟4：將G(p)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s)；
步驟5：將G(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)，s=(z–1)(z+1)。
所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節(jié)主要討論通過IIR數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)法和IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器其轉(zhuǎn)換方法主要有3種：一是直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器；二是先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器；三是將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再通過變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。
數(shù)字IIR濾波器的
3、設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖：
模擬低通原型
頻率變換
模擬離散化
IIR數(shù)字濾波器
圖1、IIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟
2、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)規(guī)范：
本設(shè)計(jì)中分別用h(t)、H(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位脈沖相應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：
Ha(s) = LT[ha(t)] =edt
Ha(j)=FT[ha(t)] =edt
可以用h(t)、H(s)、Ha(j)中任一個(gè)描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻相應(yīng)函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。
工
4、程實(shí)際中通常用所謂的損耗函數(shù)即衰減函數(shù)A（）來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性，對歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)，A（）定義如下：
A（）=-20lg|Ha(j)|=-10lg|Ha(j)| dB
模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有、、、、。和分別表示帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率；和分別表示帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度
圖2、帶阻濾波器
帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求必須是幾何對稱的。如果帶阻濾波器不是幾何對稱的，為了使對稱的帶阻濾波器滿足最小阻帶衰減要求，在由非對稱的帶阻濾波器變換為對稱的帶阻濾波器時(shí)，保留非對稱帶阻濾波器的阻帶截止
5、頻率調(diào)整兩個(gè)通帶截止頻率中的一個(gè)，調(diào)整過程步驟如下：
1、 計(jì)算=
2、 計(jì)算=，如果>,用代替；
3、 如果，計(jì)算=，并用代替；
4、 如果A A，選擇A=min{ A, A}。
所有類型的變換，包括各自與低通原型的頻率變換如表1所示。用頻率變換法設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器的步驟如下：
1、確定低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器的技術(shù)要求。當(dāng)要求的帶通或帶阻濾波器是非幾何對稱時(shí)，根據(jù)上面描述的過程使這些技術(shù)要求成幾何對稱的；
2、根據(jù)表1中的變換關(guān)系，確定歸一化低通濾波器的技術(shù)要求：通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，阻帶衰減為A(dB),阻帶衰減為A (dB)；
3、根據(jù)、、A 和A，用
6、巴特沃斯設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器；
4、根據(jù)表1最右欄的變換關(guān)系，得到要求的非歸一化模擬濾波器。
表1 模擬濾波器的頻率變換
濾波器類型
歸一化低通濾波器H(p)的技術(shù)指標(biāo)要求
要求的濾波器H(s), H(s)= H(p)
低通H(p)低通H(s)
P=
低通H(p)高通H(s)
P=
低通H(p)帶通H(s)
P=
低通H(p)帶阻H(s)
P=
下面我們用巴特沃斯濾波法來設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字IIR帶阻型濾波器：
濾波器規(guī)范：通帶下邊界頻率： 50HZ
通帶上邊界頻率： 450H
7、Z
阻帶下邊界頻率： 200HZ
阻帶上邊界頻率： 300HZ
通帶最大衰減： 3dB
阻帶最小衰減： 20dB
抽樣頻率： 1KHZ
3、帶阻濾波器的系數(shù)計(jì)算：
首先確定所要求的帶阻濾波器是否為幾何對稱的：
=2*50*2*450=4*2.25*10
=2*200*2*300=4*6*10
因?yàn)?，而且設(shè)計(jì)的是帶阻濾波器，所以需要調(diào)整這個(gè)帶阻濾波器的通帶上下邊界頻率。
因?yàn)椋?
=，=，則
= >
用值代替值，即令==2*133.3HZ。
因此，所要求的帶阻
8、濾波器的指標(biāo)調(diào)整為：
=2*133.3/1000 rad/s
=2*450/1000 rad/s
=2*200 /1000rad/s
=2*300 /1000rad/s
B=2*266.7 /1000rad/s
=2*245 /1000rad/s
A= A=3 dB
A= A=20 dB
根據(jù)表1中間欄的變換關(guān)系式，將上述給定的帶阻濾波器指標(biāo)要求轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的歸一化低通技術(shù)要求，有
=1
===2.6
根據(jù)上面的技術(shù)要求，可以采用查表法或計(jì)算法來設(shè)計(jì)歸一化的巴特沃斯低通濾波器，這里采用計(jì)算法。
由式
確定最小的的濾波器階數(shù)，得
N
9、==1.9
取N=2，計(jì)算巴特沃斯濾波器的歸一化極點(diǎn)
p=ee k=0,1
p=e=-0.5000+0.8660j
p= e=-1.0000+0.0000j
因此，低通濾波器的歸一化傳輸函數(shù)H(p)為
H(p)= =
根據(jù)表1最右邊欄的變換關(guān)系式，把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數(shù)H(s)
H(s) =H(p)
=
由雙線性變換法求得數(shù)字巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數(shù)為：
H（Z）= H(s)=
軟件設(shè)計(jì)部分
Fs=100
10、0;
Ap=3;
As=20;
Wp=[50/500,450/500];
Ws=[200/500,300/500];
[b,a]=butter(N,Ws,’stop’)
系統(tǒng)指標(biāo)：
傳輸函數(shù)系數(shù)A：
系數(shù)B：
4、帶阻濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：
令H（Z）=H(Z)H(Z)：
其中 H(Z)=
H(Z)=
對應(yīng)的定義濾波器的差分方程如下：
濾波器部分1：
w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2)
y(n)= w(n)s/s+ w(n-2) s/s
濾波器部分2：
w(n)= y(n)-
11、 w(n-2)
y(n)= w(n) s+ w(n-2) s
系數(shù)和的精確值依賴于我們對H（Z）的多項(xiàng)式的分子和分母如何組對，以及實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的二階濾波器部分是如何排序的。最好的組對和排序只能通過有限字長分析來確定。
實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)圖如下：
x(n) y(n)
-a s/s s
Z Z
圖3、濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)
12、構(gòu)圖
5、有效字長效應(yīng)分析：
由給定的性能規(guī)范，我們將假設(shè)使用的算法是定點(diǎn)的2的補(bǔ)碼算術(shù)，每一個(gè)系數(shù)被舍入量化到16位字長。
這里我們主要的是評估不同量化誤差對濾波器性能的影響，以及根據(jù)信噪比確定最好的濾波器結(jié)構(gòu)用于實(shí)現(xiàn)，所要考慮的誤差源主要是：
1、 溢出誤差
2、 舍入誤差
3、 系數(shù)量化誤差
但由于DSP本身有限字長和精度的因素，加上IIR濾波器在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路，是遞歸型的，再者高階濾波器參數(shù)的動態(tài)范圍很大。這樣一來造成兩個(gè)后果：結(jié)果溢出和誤差增大，從而導(dǎo)致算法無法在DSP上實(shí)現(xiàn)。
解決此問題的有效方法是把高階IIR數(shù)字濾波器簡化成幾個(gè)2階濾波器來設(shè)計(jì)，即采用級聯(lián)
13、結(jié)構(gòu)。因此系統(tǒng)函數(shù)為：
H(z)=H1(z)H2(z)…Hn(z) (3)
上述4階IIR數(shù)字濾波器采用級聯(lián)的結(jié)構(gòu)后變成2個(gè)濾波器級聯(lián)的形式，每個(gè)濾波器的系數(shù)表如下所示。
量化前濾波器系數(shù)
為了設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的IIR濾波器:需要對上一步分解獲得的二階基本節(jié)的濾波器系數(shù)進(jìn)行量化,即用一個(gè)固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會導(dǎo)致濾波器的頻率響應(yīng)出現(xiàn)偏差,嚴(yán)重時(shí)會使IIR濾波器的極點(diǎn)移到單位圓之外,系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)
量化后濾波器的系數(shù)：
除了系數(shù)存在量化誤差,數(shù)字濾波器運(yùn)算過
14、程中有限字長效應(yīng)也會造成誤差,因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數(shù)據(jù)寬度要也進(jìn)行合理的設(shè)計(jì),以防止產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。
量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導(dǎo)致濾波器的頻率響應(yīng)出現(xiàn)偏差，嚴(yán)重時(shí)會使IIR濾波器的極點(diǎn)移到單位圓之外，系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性
圖4、量化前后系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖
由圖4可看出系統(tǒng)零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定可實(shí)現(xiàn)。這兩個(gè)可能的濾波器結(jié)構(gòu)的每一個(gè)都有不同的比例因子，以及不同的信號舍入誤差。這個(gè)步驟的目標(biāo)是根據(jù)信噪比性能方面來確定最好的組對和排序。溢出和舍入誤差是緊密相連的，所以伸縮變換和舍入分析應(yīng)該同時(shí)進(jìn)行。
利用有限字長的分析程序，可以得到
15、對于上面兩個(gè)可能的濾波器的比例因子，它們是基于L 、L 和L的范數(shù)。在這個(gè)例子里，我們利用了L的范數(shù)，對于一個(gè)以兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)部分串聯(lián)實(shí)現(xiàn)的四階濾波器，在伸縮變換以后，輸出端的舍入噪聲為：
=[3s|| H(Z)H(Z)||+5s||H(z)||+3]
其中q 是量化步長或舍入，||.||是L范數(shù)的平方。H(Z)是第一級濾波器的傳遞函數(shù)，H(Z)是第二級濾波器的傳遞函數(shù)，s是第一個(gè)濾波器階段的伸縮比例因子，s是第二個(gè)濾波器的比例因子。
系統(tǒng)的量化誤差的效應(yīng)：我們檢查那些給出的系數(shù)字長是否滿足穩(wěn)定和頻率響應(yīng)的規(guī)范。當(dāng)極點(diǎn)不是非?？拷鼏挝粓A時(shí)，16位的系數(shù)字長對保持穩(wěn)定是足夠的。例如，對于第一個(gè)濾
16、波器部分，實(shí)驗(yàn)程序表明2位就足以滿足穩(wěn)定要求，把系數(shù)量化成16位僅改變極點(diǎn)半徑。采用16位系數(shù)字長時(shí)，濾波器的響應(yīng)實(shí)際上和未量化的濾波器的響應(yīng)是一樣的。圖5描繪了量化前后的濾波器的頻率響應(yīng)。
圖5、帶阻濾波器量化前后的幅頻響應(yīng)
-----為量化前 ———量化后
6、帶阻濾波器的軟件實(shí)現(xiàn)：
由系統(tǒng)指標(biāo)規(guī)范可編程：
N為濾波器的階數(shù)；zz和pz為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)；kz為系統(tǒng)的增益：
Fs=1000;
Ap=3;
As=20;
Wp=[50/500,450/500];
Ws=[200/500,300/500];
[N,Wc]=buttord
17、(Wp,Ws,Ap,As);
[zz,pz,kz]=butter(N,Ws,’stop’);
[b,a]=butter(N,Ws,’stop’);
Subplot(2,1,1)
[H,f]=freqz(b,a,512,Fs);
Plot(f,abs(H))
Xlabel(‘頻率/(HZ)’)
Ylabel(‘幅度/(dB)’)
Subplot(2,1,2)
Zplane(b,a)
極點(diǎn)(pz)：
增益（kz）：
圖6、帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)，零極點(diǎn)圖
圖7、量化前后階躍響應(yīng)
圖8、群延時(shí)響應(yīng)
圖9、量化前后脈沖
18、響應(yīng)
總結(jié)
在信號與信息的過濾、檢測和預(yù)測等處理中，都要使用濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用最廣泛的一種方法。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程中，可以借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果或直接采用典型的濾波器類型，減少工作量.。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，對設(shè)計(jì)帶通數(shù)字濾波器的整個(gè)過程有了很好的掌握。其中雙線性變換法，巴特沃斯設(shè)計(jì)模擬濾波器的運(yùn)用，也比較熟悉了。
通過對數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，熟悉了MATLAB的運(yùn)行環(huán)境，初步掌握了MATLAB語言在數(shù)字信號處理中一些基本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫基本程序等應(yīng)用；熟悉了濾波器設(shè)計(jì)的一般原理，對濾波器有了一個(gè)感性的認(rèn)識；學(xué)會了數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟；加深了對濾波器設(shè)計(jì)中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)的理解和認(rèn)識?？傊?，使理論聯(lián)系了實(shí)際，鞏固并深化了對課本基本知識的認(rèn)識和理解，使理論得以升華。
參考文獻(xiàn)：
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18
課程設(shè)計(jì)（論文）基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì)
