《Matlab課程設(shè)計(jì)》數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器

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1、《Matlab課程設(shè)計(jì)》 目錄 摘要 2 ABSTRACT 3 1 MATLAB簡(jiǎn)介 4 1.1 MATLAB的概況 4 1.2 MATLAB產(chǎn)生的歷史背景 4 1.3 MATLAB的語(yǔ)言特點(diǎn) 5 1.4 MATLAB界面介紹 6 1.4.1工作環(huán)境窗口 6 1.4.2當(dāng)前路徑窗口 7 2. 數(shù)字濾波器 8 2.1數(shù)字濾波器的概念 8 2.2數(shù)字濾波器的分類 8 2.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求 10 3. IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 10 3.1設(shè)計(jì)原理 10 3.2設(shè)計(jì)步驟 11 4.切比雪夫IIR數(shù)字濾波器 12 5.雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 13

2、 5.1設(shè)計(jì)原理 13 5.2雙線性變換的優(yōu)缺點(diǎn) 15 6. 數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì) 18 6.1設(shè)計(jì)流程圖 18 6.2程序設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果 19 6.2.1設(shè)計(jì)過(guò)程 19 6.2.2運(yùn)行結(jié)果 21 7小結(jié) 23 8參考文獻(xiàn) 24 《Matlab課程設(shè)計(jì)》 摘要 在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)分析都是基于濾波器而進(jìn)行的，而數(shù)字濾波器是通過(guò)數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(I

3、IR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲(chǔ)單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。Matlab軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化及程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號(hào)處理工具箱使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究與工程應(yīng)用。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計(jì)要求。接著又逐步介紹了IIR數(shù)字濾波器，切比雪夫IIR數(shù)字濾波器，以及用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。本文重點(diǎn)設(shè)計(jì)了基于雙線性變換的數(shù)字切比雪

4、夫高通IIR濾波器。 關(guān)鍵詞：Matlab 雙線性 切比雪夫IIR 高通濾波器 ABSTRACT In modern communication systems, Because often mixed with various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter wi

5、th high precision, stability and flexibility, dont exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve filter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impu

6、lse response (IIR) digital filter and finite impulse response (FIR digital filters). The order of realizing IIR filter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix com

7、putation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for digital filter, and the research and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox pers

8、onnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digital filters, classification and design requirements.Then he gradually introduced the IIR digital filter, Chebyshev IIR digital filters, and using the bilinear transform IIR digital filter d

9、esign.This article focuses on the design of the figures based on the bilinear transform Chebyshev high-pass IIR filter. Keywords: Matlab bilinear IIR Chebyshev high-pass filter 1 MATLAB簡(jiǎn)介 1.1 MATLAB的概況 MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix　Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號(hào)計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和

10、實(shí)時(shí)控制等功能。 MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來(lái)解算問(wèn)題要比用C、FORTRAN等語(yǔ)言完相同的事情簡(jiǎn)捷得多。 MATLAB包括擁有數(shù)百個(gè)內(nèi)部函數(shù)的主包和三十幾種工具包(Toolbox)。工具包又可以分為功能性工具包和學(xué)科工具包。功能工具包用來(lái)擴(kuò)充MATLAB的符號(hào)計(jì)算、可視化建模仿真、文字處理及實(shí)時(shí)控制等功能。學(xué)科工具包是專業(yè)性比較強(qiáng)的工具包、控制工具包、信號(hào)處理工具包、通信工具包等都屬于此類。 開(kāi)放性使MATLAB廣受用戶歡迎.除內(nèi)部函數(shù)外，所有MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件，用

11、戶通過(guò)對(duì)源程序的修改或加入自己編寫(xiě)程序構(gòu)造新的專用工具包。 1.2 MATLAB產(chǎn)生的歷史背景 在70年代中期，Cleve Moler博士和其同事在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金的資助下開(kāi)發(fā)了調(diào)用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序庫(kù)。 到70年代后期，身為美國(guó)New Mexico大學(xué)計(jì)算機(jī)系系主任的Cleve Moler，利用業(yè)余時(shí)間為學(xué)生編寫(xiě)EISPACK和LINPACK的接口程序。Cleve Moler給這個(gè)接口程序取名為MATLAB。在以后的數(shù)年里，MATLAB在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用，并作為面向大眾的免費(fèi)軟件廣為流傳。 1983年，工程師John Litt

12、le.John Little和Cleve Moler，Steve Bangert一起，用C語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了第二代專業(yè)版。這一代的MATLAB語(yǔ)言同時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能。 1984年，Cleve Moler和John Little成立了Math Works公司，正式把MATLAB推向市場(chǎng)，并繼續(xù)進(jìn)行MATLAB的研究和開(kāi)發(fā)。MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流，在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖示能力的基礎(chǔ)上又率先在專業(yè)水平上開(kāi)拓了其符號(hào)計(jì)算、文字處理、可視化建模和實(shí)時(shí)控制能力，開(kāi)發(fā)了適合多學(xué)科、多部門(mén)要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB。 時(shí)至今日，經(jīng)過(guò)MathWorks公

13、司的不斷完善，MATLAB已經(jīng)發(fā)展成為適合多學(xué)科，多種工作平臺(tái)的功能強(qiáng)大大大型軟件。在國(guó)外，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)，自動(dòng)控制理論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)字信號(hào)處理，時(shí)間序列分析，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具；成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生，碩士生，博士生必須掌握的基本技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門(mén)，MATLAB被廣泛用于科學(xué)研究和解決各種具體問(wèn)題。在國(guó)內(nèi)，特別是工程界，MATLAB一定會(huì)盛行起來(lái)?？梢哉f(shuō)，無(wú)論你從事工程方面的哪個(gè)學(xué)科，都能在MATLAB里找到合適的功能。 1.3 MATLAB的語(yǔ)言特點(diǎn) MATLAB最突出的特點(diǎn)就是簡(jiǎn)潔。MATLAB用更直觀的，符合人們思維習(xí)慣的代碼，代替

14、了C和FORTRAN語(yǔ)言的冗長(zhǎng)代碼。MATLAB給用戶帶來(lái)的是最直觀，最簡(jiǎn)潔的程序開(kāi)發(fā)環(huán)境。以下簡(jiǎn)單介紹一下MATLAB的主要特點(diǎn)： 1．語(yǔ)言簡(jiǎn)潔緊湊，使用方便靈活，庫(kù)函數(shù)極其豐富。MATLAB程序書(shū)寫(xiě)形式自由，利用起豐富的庫(kù)函數(shù)避開(kāi)繁雜的子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫(kù)函數(shù)都由本領(lǐng)域的專家編寫(xiě)，用戶不必?fù)?dān)心函數(shù)的可靠性。 2．運(yùn)算符豐富。由于MATLAB是用C語(yǔ)言編寫(xiě)的，MATLAB提供了和C語(yǔ)言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用MATLAB的運(yùn)算符將使程序變得極為簡(jiǎn)短。 3．MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語(yǔ)句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語(yǔ)句和if

15、語(yǔ)句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴? 4．程序限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無(wú)需對(duì)矩陣預(yù)定義就可使用。 5．程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。 6．MATLAB的圖形功能強(qiáng)大。在FORTRAN和C語(yǔ)言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡(jiǎn)單。MATLAB還具有較強(qiáng)的編輯圖形界面的能力。 7．MATLAB的缺點(diǎn)是，它和其他高級(jí)程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所以速度較慢。 8．功能強(qiáng)大的工具箱是MATLAB的

16、另一特色。MATLAB包含兩個(gè)部分：核心部分和各種可選的工具箱。核心部分中有數(shù)百個(gè)核心內(nèi)部函數(shù)。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。 9．源程序的開(kāi)放性。開(kāi)放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點(diǎn)。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過(guò)對(duì)源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。 1.4 MATLAB界面介紹 1.4.1工作環(huán)境窗口 MATLAB7.0啟動(dòng)后，產(chǎn)生的工作環(huán)境界面如圖所示，它包含一個(gè)工具欄、三個(gè)區(qū)域、四個(gè)工作窗口。四個(gè)工作窗口分別為指令窗口(Command Windows)、指令歷史窗口(c

17、ommand history)、工作空間窗口(workspace)和當(dāng)前路徑窗口(current directory)。MATLAB工作環(huán)境窗口如圖1所示： 圖1.1 MATLAB工作環(huán)境窗口 1.4.2當(dāng)前路徑窗口 當(dāng)前路徑窗口如圖2所示： 圖1.2 當(dāng)前路徑窗口 2. 數(shù)字濾波器 2.1數(shù)字濾波器的概念 濾波器是指用來(lái)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個(gè)計(jì)算程序或算法，將代表輸入信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列，并在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，使信號(hào)按預(yù)定的形式變化。數(shù)字濾波實(shí)

18、質(zhì)上是一種運(yùn)算過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因?yàn)樾盘?hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過(guò)特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過(guò)程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。 時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性： （式2.1） 其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜

19、，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過(guò)濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。 2.2數(shù)字濾波器的分類 按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來(lái)可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器

20、等最佳濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地回復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。 經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。 圖2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來(lái)實(shí)現(xiàn)， 其差分方程為： （式2.2） 系統(tǒng)函數(shù)為： （式2.3）

21、 設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。 2.3數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求 濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： （式2.4） 其中，||稱為幅頻特性函數(shù)，Φ(w)稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。一般IIR數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)||來(lái)描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。 IIR濾

22、波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，ωp和ωs分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ1和δ2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為αp和αs表示： （式2.5） （式2.6） 一般要求： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。 3. IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3.1設(shè)計(jì)原理 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為： （式3.1） 假設(shè)M≤N，當(dāng)M＞N時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)和，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問(wèn)

23、題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。 3.2設(shè)計(jì)步驟 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這是因?yàn)?/p>

24、模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。 為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求: 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過(guò)程是： (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指

25、標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 4.切比雪夫IIR數(shù)字濾波器 在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來(lái)給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時(shí)在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過(guò)選擇一種具

26、有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的（稱為I型切比雪夫?yàn)V波器），也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的（稱為II型切比雪夫?yàn)V波器）。I型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是： = (4.1) 式中為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為： (4.2) 從定義切比雪夫多項(xiàng)式的 (4.5)式可以直接得出由和求的遞推公式。將三角恒等式代入 (4.2)式，得： =2x-

27、 (4.3) 從 (4.5)式我們注意到，當(dāng)01時(shí)，是虛數(shù)，所以像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考(4.1)式，對(duì)于01呈現(xiàn)出在1和1/（）之間的波動(dòng)；而對(duì)于〉1單調(diào)地減小。需要用三個(gè)參量來(lái)確定該濾波器：，和N。在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶波紋來(lái)確定，而用希望的通帶截止頻率來(lái)確定。然后選擇合適的階次N，以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。 切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)在S平面上呈橢圓分布。他們的直徑分別等于橢圓短軸和長(zhǎng)軸。短軸的長(zhǎng)度等于2a ,其中： a=-Error! Reference source not found.) (4.4) 式中：

28、 =+ (4.5) 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度等于2b，其中： B=(+Error! Reference source not found.) (4.6) 為了求切比雪夫?yàn)V波器在橢圓上極點(diǎn)的位置，我們首先要這樣確定，在大圓和小圓上以等角度 等間隔排列的那些點(diǎn)：這些點(diǎn)對(duì)于虛軸呈對(duì)稱分布，并且沒(méi)有一個(gè)點(diǎn)落在虛軸上；但當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)要有一個(gè)點(diǎn)落在實(shí)軸上，而當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，就都不會(huì)落在實(shí)軸上。切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)落在橢圓上，起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)表示，起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)表示。 切比雪夫?yàn)V波器是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。

29、在通帶波動(dòng)的為“I型切比雪夫?yàn)V波器”，在阻帶波動(dòng)的為“II型切比雪夫?yàn)V波器”。切比雪夫?yàn)V波器在過(guò)渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動(dòng)。 5.雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 5.1設(shè)計(jì)原理 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-π/

30、T～π/T一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 圖5.1雙線性變換的映射關(guān)系 為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： （式5.1） 式中,T仍是采樣間隔。 當(dāng)Ω1由-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω由-∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式（5.1）寫(xiě)成 （式5.2） 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1

31、，則得： （式5.3） 再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面： （式5.4） 從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： （式5.5） （式5.6） 式（5.5）與式（5.6）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。 式（5.1）與式（5.5）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 首先,把z=ejω，可得： （式5.7） 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 其次，將s=σ+jΩ代入式（5.7），得： （式5.8） 因此： （式5.9） 由此看出，

32、當(dāng)σ<0時(shí)，|z|<1；當(dāng)σ>0時(shí)，|z|>1。也就是說(shuō)，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 5.2雙線性變換的優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（5.5）所示，重寫(xiě)如下： （式5.10） 上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖5.1所示。

33、由圖5.1看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)Ω→∞時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖5.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（5.7）及圖5.1所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾

34、波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖5.2所示。 圖5.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)畸變來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。

35、 6. 數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì) 6.1設(shè)計(jì)流程圖 數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì)流程圖如下： 開(kāi)始 確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 把數(shù)字濾波器頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征 Chebyshev II型濾波器參數(shù)計(jì)算（模擬域） 創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型 表達(dá)式從零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式 實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換 采用雙線性變換法，從模擬高通到數(shù)字高通 繪出頻率響應(yīng)及幅頻曲線 繪出輸入信號(hào)及輸出信號(hào)波形

36、 繪出輸入信號(hào)及輸出信號(hào)頻譜圖 結(jié)束 圖6.1數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì)流程圖 6.2程序設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果 6.2.1設(shè)計(jì)過(guò)程 數(shù)字濾波器的各項(xiàng)指標(biāo)： fp=3000;fr=1500;fs=15000; rp=1;rs=50; 把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征： WP=fp*2*pi; WR=fr*2*pi; Chebyshev II型濾波器參數(shù)計(jì)算（模擬域）： [N,wn]=cheb1ord(WP,WR,rp,rs,s); 創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型： [Z,P,K]=cheb1ap(N,rp); 表達(dá)式從

37、零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式： [A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K); 實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換： [AA,BB,CC,DD]=lp2hp(A,B,C,D,wn); 采用雙線性變換法，從模擬高通到數(shù)字高通： [a,b,c,d]=bilinear(AA,BB,CC,DD,fs); 表達(dá)式從狀態(tài)方程形形式轉(zhuǎn)換成傳輸函數(shù)形式： [P,Q]=ss2tf(a,b,c,d); 繪出頻率響應(yīng)及幅頻曲線： figure(1);subplot(211); freqz(P,Q);[H,W]=freqz(P,Q); axis([0,1,-100,20]); subpl

38、ot(212); plot(W*fs/(2*pi),abs(H));grid on; xlabel(頻率/Hz); ylabel(幅值); 繪出輸入信號(hào)及輸出信號(hào)波形： n=0:399;t=n/fs; x=sin(2*pi*1500*t)+2*sin(2*pi*3000*t)+3*sin(2*pi*4000*t); figure(2); subplot(211);plot(t,x);axis([0,0.005,-6,6]); title(輸入信號(hào)); grid on; y=filter(P,Q,x); ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*

39、t-(n/fs)*ones(1,length(t)))); subplot(212);plot(t,ya); axis([0,0.005,-6,6]); title(輸出波形); grid on; 繪出輸入信號(hào)及輸出信號(hào)頻譜圖： X=fft(x,512);fx=15000*(0:511)/512; figure(3); subplot(211);plot(fx,X); title(輸入信號(hào)頻譜圖); grid on; YA=fft(ya,512);fy=15000*(0:511)/512; subplot(212);plot(fy,YA); title(輸出信號(hào)頻譜

40、圖); grid on; 6.2.2運(yùn)行結(jié)果 1.頻率響應(yīng)與幅頻曲線。 圖6.2頻率響應(yīng)與幅頻曲線 2.輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形。 圖6.3輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形 3.輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖。 圖6.4輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖 7小結(jié) 這次課設(shè)下來(lái)，對(duì)設(shè)計(jì)帶通數(shù)字濾波器的整個(gè)過(guò)程有了很好的掌握，懂得了設(shè)計(jì)濾波器的基本方法，對(duì)雙線性變換法，切比雪夫?yàn)V波器有了一定了解，同時(shí)呢也熟悉了MATLAB的環(huán)境，鞏固了相關(guān)知識(shí)。最大的收獲是初步了解了數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)方法，加深了對(duì)濾

41、波器的認(rèn)識(shí)，一切從零開(kāi)始，雖然沒(méi)有以絕對(duì)完美結(jié)束，但在這么短的時(shí)間內(nèi)能夠設(shè)計(jì)成功已經(jīng)出乎意料之外了，總之，收獲還是很大的。 在課程設(shè)計(jì)的過(guò)程中，我學(xué)到了很多東西，比如設(shè)計(jì)濾波器的一些基本函數(shù)的用 法，各種模擬濾波器的特性，設(shè)計(jì)濾波器的一些基本方法。但更為重要的是，我對(duì)于解決一個(gè)問(wèn)題的思路更加清晰，找到了屬于自己的方法。當(dāng)然，在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不可能避免的遇到了很多問(wèn)題，如剛開(kāi)始思路比較混亂，沒(méi)有明確的方向。主要是如何將理論計(jì)算的模型轉(zhuǎn)換為仿真模型。因?yàn)樵诶碚撋希瑢⒌屯ㄞD(zhuǎn)換成高通，一般是變換將高通頻率特征轉(zhuǎn)換成低通原型頻率特征；而在軟件設(shè)計(jì)中，是對(duì)其傳遞函數(shù)進(jìn)行修改，即變換其z域的表達(dá)式，設(shè)計(jì)初

42、期一直不知道如何將其聯(lián)系起來(lái)。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)變換傳遞函數(shù)，也就是變換頻率特征，是將變換后的頻率代入原低通模型，而后得到高通模型的。 通過(guò)這次課程設(shè)計(jì)，最重要的不是學(xué)到了多少東西，而是學(xué)會(huì)了在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，如何通過(guò)各種資源，各種途徑去尋找解決問(wèn)題的方法，這將會(huì)使自己受益終生。 8參考文獻(xiàn) [1]《數(shù)字信號(hào)處理及其MATLAB實(shí)現(xiàn)》，Vinay K.Ingle主編,電子工業(yè)出版社，1998年出版。 [2]《Digital Signal Processing Laboratory Using Matlab》，Sanjit K. Miltra編著：McGraw-

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44、krfVqULT5fn2t6MpJR6rbzVPSortZvIj5NB5ndVvSr4iWr1TwLFKgLSPzuhRjQ3CmZU98eUOuijdLSZqPmvrw9zKupxf8WFUG9l2G9277g2rTipa1YpCZEuqxpKBhtVDCooQOzxUz3vJrZmOcijyM62zchmeooTYes8EBMm932tbz2Yo09RtsZEYS8Zrd2Yktj8l6jEAzVAjnfbtryLvsm6oFbfToXVRFFn7OwIYgJlamkUNXJYbz5Rrb7r4VsuR9zpfZFMfsjhcfCA37lNW2VVLRKN7R8psz1BN6oRic5hU

45、5Z6HCxAYqyNPOG8duYbAwqSl20CSg06Dh2sM8HLtgPkIcSkrgOPDpuHBj1LmPk7lYdvC6NNMwL3fwhZFTFVYAARY7lHSSxJ10V3pH3Y19BxYR77Ib7CpZSu2tijqe3hKqkKAu9KSkCpHKXUIKvvyJZpg2YijRkqfbGgOvyqKuxNWI9oMnJtt6QilZxtyrF7d20FbmabcfiixrQKUsVNXBPPFUXyQ1fJSKFSUbkgs2DUVQC9sz4JkbgN4Qqv66pyoARjurNFJ3TxyfclZiEePtwFJthphEipDFNqnR2HjQKV2

46、DzWtMPDJQkBcXmovdsjqCTJagjMdLsKPgaD2s0H0vmZGAHt36gyUEZ7UmANk1ndREuBeqdgrx0venqGnsyIB2ilq3SIQrNL4m56t7Z8Y8da5K0KUpn5Nzg4JvjdtfFHyt82AoGQkXo4VBLmLEiy2P7HtHBho07rCfttxodYDPPdtQsO7wxD0J6fKKlGm4woDzplhtRr2XgqN13hqy59zU1GegDyQniHNTaVSieueFQcYfUCJwd3vk5I7YKmhunDmIZ ut2ApOdfXXc02GyBKsKCWw97MrqqWhoj5TL15Zt6j

47、IPYytYCummtARp3v1N5luizi3xh3BhWYreKO8d9g7nmZQoWPJeTLDrw08gVS8DsDQQYGC3cE7moO2tLF0Jf1gK74IUXyBmtIVR97CkrfVqULT5fn2t6MpJR6rbzVPSortZvIj5NB5ndVvSr4iWr1TwLFKgLSPzuhRjQ3CmZU98eUOuijdLSZqPmvrw9zKupxf8WFUG9l2G9277g2rTipa1YpCZEuqxpKBhtVDCooQOzxUz3vJrZmOcijyM62zchmeooTYes8EBMm932tbz2Yo09RtsZEYS8Zrd2Yktj8l6jE

48、AzVAjnfbtryLvsm6oFbfToXVRFFn7OwIYgJlamkUNXJYbz5Rrb7r4VsuR9zpfZFMfsjhcfCA37lNW2VVLRKN7R8psz1BN6oRic5hU5Z6HCxAYqyNPOG8duYbAwqSl20CSg06Dh2sM8HLtgPkIcSkrgOPDpuHBj1LmPk7lYdvC6NNMwL3fwhZFTFVYAARY7lHSSxJ10V3pH3Y19BxYR77Ib7CpZSu2tijqe3hKqkKAu9KSkCpHKXUIKvvyJZpg2YijRkqfbGgOvyqKuxNWI9oMnJtt6QilZxtyrF7d20Fbmab

49、cfiixrQKUsVNXBPPFUXyQ1fJSKFSUbkgs2DUVQC9sz4JkbgN4Qqv66pyoARjurNFJ3TxyfclZiEePtwFJthphEipDFNqnR2HjQKV2DzWtMPDJQkBcXmovdsjqCTJagjMdLsKPgaD2s0H0vmZGAHt36gyUEZ7UmANk1ndREuBeqdgrx0venqGnsyIB2ilq3SIQrNL4m56t7Z8Y8da5K0KUpn5Nzg4JvjdtfFHyt82AoGQkXo4VBLmLEiy2P7HtHBho07rCfttxodYDPPdtQsO7wxD0J6fKKlGm4woDzplhtRr2XgqN13hqy59zU1GegDyQniHNTaVSieueFQcYfUCJwd3vk5I7YKmhunDmIZ 24