2、1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．由點P(2，)在橢圓上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝22c，＝，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.
答案：A
3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋y2＝1的兩個焦點，P為橢圓上一動點，則使|PF1||PF2|取最大值的點P為( )
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)
解析：由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1||PF2|≤2＝4，當且僅當
3、|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或(0,1)時，取“＝”．
答案：D
4．(2015年長春模擬)在以O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上存在一點M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：不妨設F1為橢圓的左焦點，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，過點M作x軸的垂線，交x軸于N點，則N點坐標為.設||＝2||＝2||＝2t(t>0)，根據(jù)勾股定理可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，而a＝，則e＝＝，故選C.
答案：C
5．(2014年高考全國大綱卷)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過
4、F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由橢圓的性質(zhì)知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周長＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴橢圓的方程為＋＝1，故選A.
答案：A
二、填空題
6．已知橢圓的焦點在x軸上，一個頂點為A(0，－1)，其右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3，則橢圓的方程為________．
解析：據(jù)題意可知橢圓方程是標準方程，故b＝1.設右焦點為(c,0)
5、(c>0)，它到已知直線的距離為＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故橢圓的方程為＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
7．橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
解析：依題意得∠MF1F2＝60，∠MF2F1＝30，∠F1MF2＝90，設|MF1|＝m，則有|MF2|＝m，|F1F2|＝2m，該橢圓的離心率是e＝＝－1.
答案：－1
8．(2014年高考江西卷)過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，
6、若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1， ①
＋＝1.?、?
①、②兩式相減并整理得＝－.
把已知條件代入上式得，－＝－，
∴＝，故橢圓的離心率e＝ ＝.
答案：
三、解答題
9．(2014年高考新課標全國卷Ⅱ)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直．直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解析：(1)根據(jù)c＝ 及題設知M，2b2＝3ac
7、.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．
故C的離心率為.
(2)由題意，得原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故＝4，即b2＝4a.?、?
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設N(x1，y1)，由題意知y1<0，
則即
代入C的方程，得＋＝1. ②
將①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
10．(2014年高考安徽卷)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1
8、B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率．
解析：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)設|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由橢圓定義可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|
9、cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0.
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
△AF1F2為等腰直角三角形．
從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝.
B組 高考題型專練
1．設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為( )
A．30 B．25
C．24 D．40
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝
10、14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.
∴＝|PF1||PF2|＝86＝24.
答案：C
2．已知橢圓＋＝1以及橢圓內(nèi)一點P(4,2)，則以P為中點的弦所在的直線斜率為( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：設弦的端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，
y1＋y2＝4，
兩式相減，得＋＝0，
∴＝－，∴k＝＝－.
答案：B
3．(2015年海淀模擬)已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上點A滿足AF2⊥F1F2.若點P是橢圓C上的動點，
11、則的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：設向量，的夾角為θ.由條件知|AF2|為橢圓通徑的一半，即為|AF2|＝＝，則＝||cos θ，于是要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此時點P在橢圓短軸的上頂點，所以＝||cos θ≤，故選B.
答案：B
4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1) B.
C. D．(－1,1)
解析：根據(jù)正弦定理得＝，所以由＝可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|P
12、F2|＋|PF2|＝|PF2|(e＋1)＝2a，則|PF2|＝，因為a－c<|PF2|b>0)的一個焦點為F1，若橢圓上存在一個點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點，則橢圓的離心率為________．
解析：如圖，設切點為M，由條件知，OM⊥PF1且OM＝b.
∵M為PF1的中點，∴PF2＝2b，且PF1⊥PF2，從而PF1＝2a－2b.
∴PF＋PF＝F1F，
即(2a－2
13、b)2＋(2b)2＝(2c)2，
整理得3b＝2a，∴5a2＝9c2，
解得e＝＝.
答案：
6．已知點A(0,2)及橢圓＋y2＝1上任意一點P，則|PA|的最大值為________．
解析：設P(x0，y0)，則－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2
＝－3y－4y0＋8＝－32＋.
∵－1≤y0≤1，而－1<－<1，
∴當y0＝－時，|PA|＝，
即|PA|max＝.
答案：
7．(2014年高考遼寧卷)已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為
14、A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________.
解析：解法一 由橢圓方程知橢圓C的左焦點為F1(－，0)，右焦點為F2(，0)．則M(m，n)關于F1的對稱點為A(－2－m，－n)，關于F2的對稱點為B(2－m，－n)，設MN中點為(x，y)，所以N(2x－m,2y－n)．所以|AN|＋|BN|＝＋
＝2[＋]，
故由橢圓定義可知|AN|＋|BN|＝26＝12.
解法二 根據(jù)已知條件畫出圖形，如圖．設MN的中點為P，F(xiàn)1、F2為橢圓C的焦點，連接PF1、PF2.顯然PF1是△MAN的中位線，PF2是△MBN的中位線，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝26＝12.
答案：12
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【優(yōu)化探究】高考數(shù)學一輪復習 85 橢 圓課時作業(yè) 文
