蘇教版 八年級(jí)上 數(shù)學(xué) 勾股定理 ?？碱}型分類(lèi)匯總 知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典例題+變式題

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1、 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家 第二章 勾股定理 類(lèi)型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90 (1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 舉一反三 【變式】:如圖∠B=∠ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少? 類(lèi)型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在中，，，. 求：BC的長(zhǎng).

2、 舉一反三【變式1】如圖，已知：，，于P. 求證：. 【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 類(lèi)型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題 3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明

3、從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。 （1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。 （2）確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠的廠門(mén)? （二）用勾股定理求最短問(wèn)題 4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造

4、，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線． 舉一反三 【變式1】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程． 【變式2】如圖①是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)AB＝4，寬BC＝2，高CG＝1． (1) 一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn)A沿盒子表面爬到點(diǎn)G，那么它所 行走的最短路線的長(zhǎng)是______． (2)這個(gè)長(zhǎng)

5、方體盒子內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒的長(zhǎng)度為_(kāi)_____． 點(diǎn)評(píng)：把題中的長(zhǎng)方體變成正方體或圓柱時(shí)，找直角三角形運(yùn)用勾股定理的思想方法不變，在計(jì)算的過(guò)程中，可嘗試總結(jié)計(jì)算的公式，如長(zhǎng)方體內(nèi)最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度為． 【變式3】如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5， 如果一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，那么它 需要爬行的最短距離是 ( ) A．5 B．25 C．15 D．35 【變式4】一個(gè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別是3、4、12，則這個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)能容下的

6、最長(zhǎng)木棒的長(zhǎng)度為_(kāi)_____． 【變式5】如圖，將一根25 cm長(zhǎng)的細(xì)術(shù)棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8 cm、6 cm和cm的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是__________cm． 類(lèi)型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段 5、作長(zhǎng)為、、的線段。 思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是，類(lèi)似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； （3）順次這樣做下去，最后

7、做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長(zhǎng)度就是 、、、。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，， 為了有利于畫(huà)圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。 類(lèi)型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對(duì)

8、頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．（正確） 7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 【

9、變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明。 經(jīng)典例題精析 類(lèi)型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則其面積為a。 【變式2】直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積。 【變式3】若直角三

10、角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1，n+2，n+3，求n。 【變式4】（1）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 （2）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)是______． 【變式5】如圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖②所示的“數(shù)學(xué)

11、風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)(圖②中的實(shí)線)是______． 【變式6】如圖，在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，其中，斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______． 【變式7】如圖，已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積為為7，2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正 方形的面積和為4，則a，b，c三個(gè)方形的面積和為 ( ) A．11 B．15 C．10 D．22 【變式8】在△ABC中，∠B＝90，兩直角邊AB＝7，BC＝24

12、，三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是______． 類(lèi)型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00m以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_

13、_________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。 【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱(chēng)之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱(chēng)為單位正三角形。 （1）直接寫(xiě)出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）。 類(lèi)型三：數(shù)學(xué)思想方法 （1） 轉(zhuǎn)化的思想方法 我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決． 3

14、、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長(zhǎng)。 （二）方程的思想方法 4、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90，∠A=60，，求、、的值。 總結(jié)升華：在直角三角形中，30的銳角的所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。 舉一反三： 【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm

15、，BC=10cm，求EF的長(zhǎng)。 類(lèi)型四：平方根、立方根與實(shí)數(shù) 5、(1)若，則x－y的值為 ( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 (2)已知a為實(shí)數(shù)，那么等于 ( ) A．a(chǎn) B．－a C．－1 D．0 【變式】（1）已若“＋(b＋27) 2＝0，則_____

16、_． （2）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且y＝，則xy＝_______． （3）若＋(y＋6) 2＝0，則x＋y＝_______． (4)若，則a－b＋c＝_______． 6、 已知的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則(－a)3＋(b＋2)2＝______． 【變式1】（1）估計(jì)20的算術(shù)平方根在 ( ) A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間 （2）估算－2的值在 ( ) A．1和2之間

17、 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間 （3）估算＋1的值在 ( ) A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間 【變式2】若的整數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值． 7、已知2a－l的平方根是，3a－2b＋l的平方根是3，求4a－b的算術(shù)平方根． 【變式】（1）若5x＋6的平方根是1，則x＝_______ 。 (2)一個(gè)正數(shù)x的算術(shù)平方根是a，那么x＋2的算術(shù)平方根是_____，x＋1的立方根是

18、_____． (3)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是8，則這個(gè)數(shù)的立方根是______；的平方根是_______． （4）已知(x＋y＋2)(x＋y－2)＝45，則x＋y的值是______． （5）如果一個(gè)數(shù)的平方根是a＋3與2a－15，那么這個(gè)數(shù)是_______； （6）如果5x＋4的平方根是1，那么x＝_______． (7)如果3x+12的立方根是3，求2x+6的平方根； (8)已知一個(gè)正數(shù)的平方根是2a－1與－a+2．求a2009的值． 8、在實(shí)數(shù)－，－，，57，0.121 121 112

19、…，π，18，0.351，，3.141 59中，無(wú)理數(shù)有 ( ) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【變式】 下列各數(shù)：3.5，，3. 141 6，－π，902，3.51，，，4.121121112…，7.030 303中，有理數(shù)有____________________________，無(wú)理數(shù)有_________________________． 類(lèi)型五：科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字 9、用四舍五入法，按括號(hào)內(nèi)的要求取下列各數(shù)的近似數(shù)． (1) 60 340(保留2個(gè)有效數(shù)字)； (2)0.038 49(保留2個(gè)有效數(shù)字)； (3)0.000 077(精確到0.000 01)； (4) 81595(精確到百位)． 【變式】 (1) 3.4萬(wàn)精確到_______位，有_______個(gè)有效數(shù)字． (2)5.82104精確到_______位，有_______個(gè)有效數(shù)字． （3）6.510104精確到______位，有______個(gè)有效數(shù)字，分別是_______． 10