曲線積分與曲面積分 期末復(fù)習(xí)題 高等數(shù)學(xué)下冊(cè) (上海電機(jī)學(xué)院)

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1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 第十章 曲線積分與曲面積分答案 一、選擇題 1．曲線積分與路徑無關(guān)，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則 B A. B. C. D.0 2．閉曲線C為的正向，則 C A.0 B.2 C.4 D.6 3．閉曲線C為的正向，則 D A. B. C.0 D. 4．為YOZ平面上，則 D A.0 B. C. D. 5．設(shè)，則 C A.

2、 B. C. D. 6. 設(shè)為球面，則曲面積分的值為 [ B ] A. B. C. D. 7. 設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段，則曲線積分[ C ] A. B. C. D. 8. 設(shè)I= 其中L是拋物線上點(diǎn)（0, 0）與點(diǎn)(1, 1)之間的一段弧, 則I=[D ] A. B. C. D. 9. 如果簡(jiǎn)單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ，那么 是（ D ） A. ；

3、 B. ； C. ； D. 。 10．設(shè)，為在第一卦限中部分，則有 C A. B. C. D. 二、填空題 1. 設(shè)L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點(diǎn)的正方形邊界正向一周，則曲線積分 -2 2.S為球面的外側(cè),則0 3. = 4．曲線積分，其中是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓周，則積分值為 5．設(shè)∑為上半球面，則曲面積分= 32π 6. 設(shè)曲線為圓周,則曲線積分

4、 . 7. 設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形邊界，則曲線積分1+ 8. 設(shè)為上半球面，則曲面積分的值為 。 9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，則曲面z=f（x，y）的面積是 10．設(shè)是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，則曲線積分 12 11、 。 12、設(shè)為的正向，則 。 三、計(jì)算題 1．，其中為圓周，直線及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。 解：記線段方程，圓弧方程 線段方程。 則原式＝＋＋＝＋＋ ＝

5、 ＃ 2．，其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。 解：利用格林公式，，，則 ， 故原式＝ ＝ ＃ 3．，其中為圓周的上半部分，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針。 解：的參數(shù)方程為，從0變化到。 故原式＝ ＝＝ ＃ 4．求拋物面被平面所割下的有界部分的面積。 解：曲面的方程為，這里為在XOY平面的投影區(qū)域。 故所求面積＝ ＃ 5、計(jì)算，其中為圓的上半圓周，方向?yàn)閺狞c(diǎn)沿到原點(diǎn)O。 解：添加從原點(diǎn)到點(diǎn)A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D，利用格林公式 ，，， 于是＋ ＝ 而＝，于是便

6、有 ＝ ＃ 6．，其中為球面在第一 卦限部分的邊界，當(dāng)從球面外看時(shí)為順時(shí)針。 解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧的參數(shù)方程 ，從變化到0。 于是 ＝＝ 由對(duì)稱性即得 ＃ 7．，其中為平面 所圍立體的表面的外側(cè)。 解：記為該表面在XOY平面內(nèi)的部分，為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分， 為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分，為該表面在平面內(nèi)的部分。 的方程為，根據(jù)定向，我們有 ＝＝ 同理

7、， 的方程為，故 ， 由對(duì)稱性可得 ， 故 于是所求積分為 ＃ 8．計(jì)算曲面積分：，其中 為曲面的外側(cè)。 解：利用高斯公式，所求積分等于==8 ＃ 9. 計(jì)算I=，其中S為x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍立 體的表面外側(cè) 解：設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體 由Gass公式得: I= = =

8、 ＃ 10．計(jì)算I=,其中是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0) 的直線段AB 解：直線段AB的方程是；化為參數(shù)方程得： x=3t, y=2t, z=t, t從1變到0， 所以： I= ＝＝ ＃ 11. 計(jì)算曲線積分I= 其中是由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0, 0) 的上半圓周 解：在x軸上連接點(diǎn)O(0, 0), A(a, 0)

9、 將擴(kuò)充成封閉的半圓形AMOA 在線段OA上, 從而 又由Green公式得: ＃ 12. 計(jì)算曲線積分其中L是z=2與z=3 的交線沿著曲線的正向看是逆時(shí)針方向 解：將L寫成參數(shù)方程: x=cost, y=sint, z=2 t: 0 于是: = = 另證：由斯托克斯公式得 = 上側(cè)，則： ＃ 13. 設(shè)曲面S為平面x+

10、y+z=1在第一卦限部分，計(jì)算曲面S的面積I 解：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋? I==＝＝ ＃ 14. 計(jì)算曲線積分其中L是沿著圓 從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(2, 1)的上半單位圓弧 解：設(shè)， 當(dāng)時(shí)， 故：所求曲線積分在不包圍原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān) 則：= = =ln5-arctan2 ＃ 15. 確定的值，使曲線積分在平面上與路徑無關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)為，終點(diǎn)為時(shí)，求此曲線積分的值。 解：由已知，； 由條件得 , 即 , ＃ 16. 設(shè)曲面S

11、為球面被平面z=1截出的頂部，計(jì)算I= 解：S的方程為： S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋? I=＝ ＝ ＃ 17. 計(jì)算I=，其中是，，取下側(cè) 解：作輔助曲面: z=a，取上側(cè) 設(shè)為,所圍閉區(qū)域 為平面區(qū)域 == = ＃ 18.．為上半橢圓圓周，取順時(shí)針方向，求

12、 A B x y 0 解： ＃ 19．計(jì)算曲面積分，其中為錐面與所圍的整個(gè)曲面的外側(cè)。 解： 由高斯公式，可得 ＃ 20．計(jì)算曲線積分，其中是橢圓的正向。 解：令, , 則。 設(shè)所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，則其面積。 從而由格林公式可得

13、 . ＃ 21．設(shè)為柱面在使得，的兩個(gè)卦限內(nèi)被平面及所截下部分的外側(cè)，試計(jì)算。 解：將分成與，其中：（取上側(cè)），：（取下側(cè)），與在面上的投影為，故 ＃ 22． 計(jì)算曲面積分，其中是柱面介于的部分。 解：設(shè)為在第一卦限的部分曲面。，得。在面上的投影域?yàn)椤? 故 ＃ 23. 計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間部分的下側(cè)。 解：利用高斯公式，取且。取上側(cè)，與構(gòu)成封閉的外側(cè)曲

14、面，所圍的閉域?yàn)?，?duì)應(yīng)的為：。 ＃ 24．計(jì)算曲線積分，其中是自點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的曲線段。 解：, 取小圓周充分小,取逆時(shí)針方向,則由Green公式可得: ＃ 25．用高斯公式計(jì)算，其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側(cè)。 解： 原式= = = = = 26．計(jì)算曲面積分，其中是曲面被平面所截下的部分，取下側(cè)。 解：補(bǔ),取上側(cè),, 而 ,其中 ,

15、 ＃ 27．計(jì)算曲線積分，其中L是區(qū)域0≤x≤1， 0≤y≤1的邊界正向。 解：利用Green公式 = ＃ 28、計(jì)算曲面積分，其中∑為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。 解：= 或由對(duì)稱性：， 而，故。 或可知。 ＃ 29. 計(jì)算，其中L是由點(diǎn)A（0，0）到B（π，2π）的直線段。 解：AB的方程 ＃ 30、設(shè)可微，且曲線積分與路徑無關(guān)。求。 解：

16、因該項(xiàng)積分與路徑無關(guān)，所以。令， 得微分方程，解得，（2分）代入條件得C=1 從而有 ＃ 31、計(jì)算對(duì)面積的曲面積分 。 解:曲面在XOY平面上的投影為 原式== == 32、計(jì)算曲面積分，其中Σ是曲面在的部分的下側(cè)。 解：補(bǔ)充曲面且取上側(cè)，又，由高斯公式 == ＃ 四、綜合題 1、證明在整個(gè)XOY平面上，是某個(gè)函數(shù)的全微分，求這樣的一個(gè)函數(shù)并計(jì)算，其中L為從到的任意一條道路。 解：令，，則有 ， 故知是某個(gè)函數(shù)的全微分。 取路徑， 則一個(gè)原函數(shù)為 ＝＝ 最后＝ ＃ 2、證明曲線積分在XOY面與路徑無關(guān)，并求值。 解： ， 可知該曲線積分與路徑無關(guān)。 ＃ 14 / 14